数列全国卷高考真题教师版

2015-2017年全国卷数列真题

1、（2015全国1卷17题）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2

n n a a +=43n S +.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11

646

n -

+ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.

试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，

当

2

n ≥时，

22

11

n n n n a a a a --+--=

14343

n n S S -+--=

4n

a ，即

111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111

[()()(

)]23557

2123

n n -+-+

+-++ =

11

646

n -

+. 2、（2015全国2卷4题）已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ）

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

【解析】设等比数列公比为q ，则24

11121a a q a q ++=，又因为13a =，所以42

60q q +-=，解得2

2q =，所以2

357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．

考点：等比数列通项公式和性质．

3、（2015全国2卷16题）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则

n S =________．

【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得

111

1n n

S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则1

1(1)n

S n n =---=-，所以1n S n

=-

． 考点：等差数列和递推关系．

4、（2016全国1卷3题）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 试题分析：由已知,11

93627

,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=

故选C.

考点：等差数列及其运算

5、（2016全国2卷15题）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64

试题分析：设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2

1

2

1(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812

a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)

1712(1)

222121

18()22n n n n n n n

n a a a a q

--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12

n a a a 取得最

大值6264=.

考点：等比数列及其应用

6、（2016全国2卷17题）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．

（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==， ∴44a =，∴41

13

a a d -=

=，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+

[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+． 当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；

当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；

当lg 3n a =时，1000n =．

∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=． 7、（2016全国3卷17题）已知数列{}

n a 的前n 项和

1n n

S a λ=+，其中0λ≠．

（I ）证明

{}

n a 是等比数列，并求其通项公式；

（II ）若

531

32S =

，求λ．

由01≠a ，0≠λ得0

≠n a ，所以

1

1-=+λλ

n n a a .