递推最小二乘估计及模型阶次辨识

1
2 z (k ) h (k ) (k 1) J (k ) μ J (k 1) h (k ) P (k 1)h(k ) μ
③ 噪声标准差的估计



④ 模型静态增益估计
＝
J ( L) L dim
i K＝ i 1 n 1 ai i 1
设定模型阶次，从 Nbeg 到 Nend
模型参数估计：RLS 算法 损失函数计算
模型阶次辨识 计算性能指标 打印实验结果及性能指标 四、实验步骤 (1) 掌握最小二乘递推算法和 F-Test 模型阶次辨识的基本原理。 (2) 设计实验方案。 (3) 编制实验程序。 (4) 调试程序，研究实验问题，记录数据。 (5) 分析实验结果，完成实验报告。 五、实验报告 实验报告包括实验方案设计、编程说明、源程序清单、数据记录、结果分析、误差计算、 数据列表、曲线打印、实验体会等。 注意：为实验二安排使用计算机时间如下： 时间：2001 年 12 月 17－19 日晚上 7:00-9:45 地点：中央主楼 5 楼计算机实验室
2
A( z 1 ) a 0 a1 z 1 a 2 z 2 a n z n , a 0 0 B( z 1 ) b0 b1 z 1 b2 z 2 bn z n ,
则有
2 y
1 1 B( z ) B( z 1 ) dz 1 dz G ( z ) G ( z ) ＝ 2j l z 2j l A( z ) A( z 1 ) z
A( z 1 ) z(k ) B( z 1 )u(k ) e(k )
为方便起见，取 n a n b n ，即
A( z ) 1 a1 z 1 a 2 z 2 a n z n B( z ) b1 z 1 b2 z 2 bn z n 根 据 仿 真 模 型 生 成 的 数 据 u(k ), k 1,, L 和 z(k ), k 1,, L ， 辨 识 模 型 的 参 数 a1 , a 2 ,, a n 和b1 , b2 ,, bn ；并确定模型阶次 n ，同时估计出模型误差 e(k ) 的方差（应近似等
6、计算性能指标 ① 参数估计平方相对偏差
~ i 1 i 1 i
2n
~ , i i i
2
② 参数估计平方根偏差
Baidu Nhomakorabea
2
③ 静态增益估计相对偏差

i 1
2n
~2
i

i 1
2n
2 i
~ , i i i
~ K K K, K K K
i K＝ i 1 n , K＝ i 1 n 1 ai 1 ai i 1 i 1
~

bi
n
b
n

三、程序流程（供参考） 启动 定维
输入数据 u(534)，输出数据 z(534)，M 序列 M(5) 参数估计向量 THETA(8)， 数据向量 h(8)， 协方差矩阵 P(8,8) 损失函数 J(4)，噪声标准差 LAMBDA
2 其中， e2 为噪声方差， y 为过程输出方差。
2 ● 过程输出方差 y 的计算
2 y
1 dz G( z )G( z 1 ) l 2j z
其中，积分围线 l 是 z 平面内沿逆时间方向的单位圆圆周。若定义 B( z 1 ) 1 G( z ) A( z 1 ) 式中
《系统辨识基础》第 19 讲要点
实验二 递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test） 一、实验目的 ① 通过实验，掌握递推最小二乘参数辨识方法 ② 通过实验，掌握 F-Test 模型阶次辨识方法 二、实验内容 1、仿真模型 实验所用的仿真模型如下： 框图表示 v(k)
1 1.5z 1
平 下的阀值。这时模型的阶次估计值可取 n 1 。 注：F 分布值表（风险水平 ＝ 0。 05 ） 阀值 t 自由度 2 100 300 500 5、噪信比计算 ● 噪信比定义 噪信比
2 e 2 y
自由度 1
2
3.09 3.03 3.01
u(k)
e(k) G(z-1) y(k) z(k)
1
0.7 z 2
e(k) y(k) + + z(k)
u(k) 模型表示
z 1 0.5z 2 1 1.5z 1 0.7 z 2
z(k ) 1.5z(k 1) 0.7 z(k 2) u(k 1) 0.5u(k ) v(k )
其中 u(k)和 z(k)分别为模型的输入和输出变量；v(k)为零均值、方差为 1、服从正态分布的 白噪声； 为噪声的标准差（实验时，可取 0.0、0.1、0.5、1.0）；输入变量 u(k)采用 M 序 列，其特征多项式取 F ( s) s 4 s 1 ,幅度取 1.0。 2、辨识模型 辨识模型的形式取
于模型噪声 v(k ) 的方差，即为 2 ）和模型的静态增益 K。 3、辨识算法 ① 采用递推遗忘因子法： ( k ) ( k 1) K ( k ) z ( k ) h ( k ) ( k 1) 1 K ( k ) P ( k 1) h( k ) h ( k ) P ( k 1) h( k ) μ 1 P ( k ) I K ( k ) h ( k ) P ( k 1) μ 其中，遗忘因子 0 1 (具体值根据情况自已确定)；数据长度 L 可取 100、300、500；初始 (0) 值 。 2 P (0) a I ② 损失函数的递推计算：
1 ＝ a0

i 0
n
b
i
i 2
i a0
k 1 k 1 k 1 k 1 k a0 ai ak 1 a k 1 i a i k 1 a0 k 1 k 1 k a b b k 1 a k 1 k 1 k 1 i b 0 i k 1 i a0 k n 1, n 2, ,1, 0 ; i 0, 1, , k n n a a , b bi i i i
3
赋初值
生成 M 序列参数：a=1, P＝4, M(0),…,M(5)不能全为 0 生成白噪声参数：M＝32768, A=179, x0=11
人机对话
噪声标准差：Lambda；数据长度：L；遗忘因子： Model Order: from Nbeg to Nend
过程仿真
生成 M 序列；生成白噪声；生成过程输入和输出数据
4
b
n

4、F-Test 定阶法 统计量 t
J (n) J (n 1) L 2n 2 ~ F (2, L 2n 2) J (n 1) 2 其中， J () 为相应阶次下的损失函数值， L 为所用的数据长度， n 为模型的估计阶次。 t (n, n 1)
t ,接受 H 0 : n 1 n0 ，其中 t 为风险水 t ,拒绝 H 0 : n n 0 ,若 t (n, N 1〕 若 t (n, n 1〕