全微分方程

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三、一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
14
习题 12 5
P285
1(1 )( 3 )( 5 )( 7 ), 2 (1 )( 3 )( 5 ), 4
15
思考题
方程
2x y
3
dx
y 3x
2
2
y
4
dy 0
是否为全微分方程？
16
思考题解答
2x 6x 3 4 , y y y y P
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式
du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
则 P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
例如
xdx ydy 0 ,
全微分方程 或恰当方程
1 2 (x
2
u( x , y)
y ),
即
d
1 2
x
2
d
1 2
y x
0, 或 d
2
y x
0
故原方程的通解为
x
y x
C
5
例3
求方程( x 3 xy )dx ( y 3 x y )dy 0
3 2 3 2
的通解.
解
P y
6 xy
Q x
3
,
是全微分方程,
2
u( x , y )
x
5
3 2
x y xy
2 2
3
1 3
y C
3
o (x,0) x
4
例2. 求解 ( x 解: 因为
P y
y x
2
)dx
Q x
1 x
dy0
1 x
2

, 所以这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程写为
xdx xd y ydx x
2
0
1 2 x
2
9
常用的微分倒推式有
(1) d x d y d ( x y ) (2) x d y y d x d ( x y ) 1 2 2 (3) x d x y d y d ( ( x y ) ) 2 x y y d x xd y y d x xd y (4) d( ) (5) d( ) 2 2 y x y x y d x xd y x (6) d ( ln ) xy y
1 2
1 x y
2 2
C )
四、 f (x) e (x
x
) , e (x
)y C .
20
2
, 同乘方程两边 ,
1 xy
因此通解为
即
x y
Ce
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
11
例6 求微分方程
2 x(1 x y )dx
2
2
x ydy 0的通解.
2
解
2 xdx 2 x d( x )
2 2
x ydx
2
x ydy 0,
2
练习题答案
一 、 1 、 xe
y
y
2 2
2
C ；
2、 不 是 全 微 分 方 程 ；
3、 (e 二 、 1、
x y
1) C .
C ；
1
x 2
2、 x
2
y
2
Ce
2x
；
3、
x y
Ce
1
2
xy
. x y
2
三 、 x Cy e
2
x
y
2
. ( 或 ln
1 2
x
1
0 0


y
Q( x , y )dy
y0

x
x0
P ( x , y0 )d x , u( x , y ) C ;
(2) 用直接凑全微分的方法.
3
例1. 求解
(5 x 3x y y ) d x (3x y 3x y y ) d y 0
4 2 3 2 2 2
解: 因为
P y
1
这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成 例2 的方程 . 对一个非全微分方程 , 若有一个适当的函数 ( x, y )
使
( x, y) P( x, y ) d x ( x, y )Q( x, y ) d y 0
为全微分方程 , 则称函数 ( x, y ) 为原方程的积分因子. 在简单情况下, 求积分因子可凭观察和经验得到 .
2
解 将方程左端重新组合,有
（2 xy ln ydx x dy ) y
2 2
1 y dy 0,
2
易知 ( x , y )
1
,
则 ( 2 x ln ydx
y 2 x
dy ) y 1 y dy 0,
2
y 3 可积组合法 1 2 2 2 即 d ( x ln y ) d (1 y ) 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y (1 y 2 ) 2 C . 3
( x , y ) P ( x , y ) dx ( x , y ) Q ( x , y ) dy 0 成 为 全
微 分 方 程 .则 称 ( x, y)为 方 程 的 积 分 因 子 .
问题: 如何求方程的积分因子?
8
思考:
如何求解方程 ( x 3 y ) d x x d y 0 ?
dy ( 2x y
3
将左端重新组合
d ( 1 y ) d( x y
2 3
1 y
2
dx
3x y
4
2
dy )
) d (
1 y

x y
2
3
),
原方程的通解为
1 y

x y
2 3
C.
7
二、积分因子法
定义: ( x , y ) 0 连 续 可 微 函 数 ， 使 方 程
Q
y 3x 6x , 4 4 x x y y
2 2

P y

Q x
原方程是全微分方程.
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练 习 题
一 、 判 别 下 列 方 程 中 哪 些 是 全 微 分 方 程 ,并 求 全 微 分 方 程的通解: 1 、 e dx ( xe
y y
2
du ( x , y ) xdx ydy ,
全微分方程 P y Q x .
所以是全微分方程.
2
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
为全微分方程
P y
y
(1)应用曲线积分与路径无关.
x

Q x
通解为 u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
x yd ( x )
x ydy 0,
2
将方程左端重新组合,有
d( x )
2
x yd ( x y ) 0,
2 2
原方程的通解为 x ( x 2 y ) 2 C .
2
2 3
3
12
例7 求微分方程
2 xy ln ydx ( x y
2 2
1 y )dy 0的通解.
(7) yd x xd y x y
2 2
d ( arctan
x y
)
(8)
xd x y d y x y
2 2
d(
x y
2
2
)
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例5 求解 (1 x y ) y d x (1 x y ) x d y 0
解: 分项组合得 ( y d x x d y ) x y ( y d x x d y ) 0


x
( x 3 xy )d x
3 2
x 4
4
0
4 4

y
y dy
3
0
x 4
x y
2 2
y 4
,
y 4
6
4
原方程的通解为

3 2
x y
2 2
C.
例4 求方程 解
P y
2x y
3
dx
Q x
y 3x
2
2
y
,
4
dy 0的通解.
6x y
4
是全微分方程,
即
d ( xy) x y (
2 2
dx x 1
2

dy y
)0
微分倒推公式 得
选择积分因子 ( x, y )
即
来自百度文库
x y d ( x y ) dx dy 0 2 x y ( x y) 1 d ( ln x ) d ( ln y ) 0 d xy
1 xy ln x y ln C ,
6x y 3 y
2
Q x
故这是全微分方程 , 取 x0 0 , y0 0 , 则有
x y 4
u ( x, y )
5x
0
d x (3 x y 3 x y y ) d y
0
2
2
2
x
5
3 2
x y xy
2
2
3
1 3
y
3
y
( x, y )
因此方程的通解为
2
2 、 xdx ydy ( x y ) dx ； 3 、 ( 1 xy ) ydx ( 1 xy ) xdy 0 .
2 2
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三、验证
1 xy [ f ( xy ) g ( xy )]
2 2
是微分方程
yf ( xy ) dx xg ( xy ) dy 0 的 积 分 因 子 , 并 求 方 程
2 y ) dy 0 ；
2
2、 ( x
2
y ) dx xydy 0 ；
2
3 、 (1 e
2
)d 2 e
d 0 .
二、利 用 观 察 法 求 出 下 列 方 程 的 积 分 因 子,并求 其 通 解: 1 、 ydx xdy y xdx 0 ；
y( x y
2 ) dx x ( 2 2 x y ) dy 0 的 通 解 .
2 2
四 、 已 知 f (0)
[e
x
1 2
,试 确 定 f ( x ),使
f ( x )] ydx f ( x ) dy 0 为 全 微 分 方 程 , 并 求 此
全微分方程的通解 .
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