最优控制中的变分法

(1 17 )
(1 18)
代入，得
J ( ) L[ x* (t ) (t ), x* (t ) (t ), t ]dt
t0
tf
(1 19)
J ( ) J ( ) J *
tf t0 tf L L [L (t ) (t ) R]dt L*dt t0 x(t ) x(t ) *
第2章 最优控制中的变分法
2．始端固定，终端时间、状态自由
（1）欧拉方程
L d L ( )0 x dt x
（2）横截条件
(1 30)
L xT
L 0 x t f
L x
0
tf
x(t0 ) x0
第2章 最优控制中的变分法
3．始端固定，终端状态受约束
与（1-5）类似，可得出泛函J[y(x)] 的求解：
(1 5)
J [ y( x)]
J [ y( x) y( x)] 0
(1 6)
第2章 最优控制中的变分法
例：求下列泛函的变分
J x 2 (t )dt
t0
tf
J J [ x(t ) x(t )] | 0 tf t [ x(t ) x(t )]2 dt | 0 0 t 2[ x(t ) x(t )]x(t )dt | 0
J [ y0 ( x)] 0
(1 11)
第2章 最优控制中的变分法
2.2 固定端点的最优控制问题
了解泛函极值的概念后，再来研究最优控制问题。
考虑目标函数为：
J L[ x, y( x), y( x)]dx
0
xf
(1 12)
(1 13)
不失一般性，可写为：
J L[t , x(t ), x(t )]dt
第2章 最优控制中的变分法
第2章 最优控制中的变分法
本章主要内容：
2.1 变分的基本概念
2.2 固定端点的最优控制问题
2.3 变动端点的最优控制问题 2.4 具有等式约束条件的最优控制问题
2.5 角点条件
第2章 最优控制中的变分法
2.1 变分的基本概念
1．泛函的概念 函数： 对于变量x的某一变域中的每一个 值，y都有一个值与之相对应，那 么变量y称作变量x的函数。 记为： y=f (x) x称为函数的自变量 自变量的微分： dx=x-x0 （增量足够小时） 泛函： 对于某一类函数y(· )中的每一个函 数y(x)，变量J都有一个值与之相对 应，那么变量J称作依赖于函数y(x) 的泛函。 记为： J=J [y(x)]
(1 33)
t [t 0 , t f ] x(t 0 ) x0 ,
目标泛函为：J
x(t f ) xt f
(1 34)
0
tf
t 2x(t )x(t )dt
0
tf
第2章 最优控制中的变分法
3．泛函的极值 泛函极值的定义： 对于与y0(x)接近的曲线y(x)，泛函J[y(x)] 的增量
J J [ y( x)] J [ y0 ( x)] 0 或 J J [ y( x)] J [ y0 ( x)] 0
J [ y ( x)] J [ y0 ( x)]
则称泛函J[y(x)]在点y0(x)处是连续的。 两个函数接近度的概念：k阶接近度
零阶接近度
一阶接近度
第2章 最优控制中的变分法
线性泛函： 泛函J[y(x)]如果满足下列两个条件：
1) 2)
J [ y1 ( x) y2 ( x)] J [ y1 ( x)] J [ y2 ( x)] J [cy( x)] cJ[ y( x)]
第2章 最优控制中的变分法
2.4 具有等式约束条件的最优控制问题
在最优控制问题中，泛函J[x(t)]所依赖的函数会受到—定约束条件的 限制。由于受控系统的数学模型往往用微分方程来描述，所以等式约束 主要是指系统的状态方程约束。此外，端点约束通常也是等式约束。 解决具有等式约束条件的最优化问题的基本思路，就是应用拉格朗 日乘子法，将有约束条件的泛函极值问题转化为无约束条件的泛函极值 问题。 1．微分约束 问题：已知受控系统状态方程为 x f [ x (t ), u (t ), t ]
则称为线性泛函。
第2章 最优控制中的变分法
2．泛函的变分 设泛函J[y(x)]为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分： 记为： δ J。 可以证明，泛函的变分是唯一的。
如何求解泛函的变分？
借鉴函数f(x)微分的求解：
f ( x dx) 0 f ( x dx)dx 0 f ( x)dx df ( x) x
整理、简化后可得 若用参数法求解，令
y
c1 1 , c1 . 2 2 1 y 2 gc y ctg ，可得
c1 ( s in ) 2 c1 (1 cos ) 2
x y
这是圆滚线的参数方程。
第2章 最优控制中的变分法
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关于欧拉方程的几点说明：
(1 20 )
J
tf
t0
L L [ x x]dt x x
(1 21)
第2章 最优控制中的变分法
J
tf
t0
L L [ x x]dt x x
(1 21)
对式（1-21）中被积函数第二项分部积分(消去 x ）
J
再积分，得通解
x(t ) at b
x(0) 1, b 1 2 根据终端横截条件，[ L ( x) Lx ]t 1 x (1 a )
根据始端条件：
f
x 1 x
2
0
得最优轨线方程：
x a 1
x* (t ) t 1
(1 27 )
Lx
L c x
(1 28)
第2章 最优控制中的变分法
例2-1 最速降线问题 确立一条连结定点A(0，0)和定点B(xf，yf)的曲线。使质点在重力作 用下从点A滑动到点B所需的时间最短(忽略摩擦和阻力的影响)。 解：最速降线问题的示意图如下
J [ y( x)] dt
t0
tf
问题为：确定一个函数x(t)，使J[x(t)] 达到极小（大）值。这条能使泛函 J[x(t)] 达到极值的曲线称为极值曲线（轨线），记作： x*(t) 对于端点固定的情况，容许轨线x(t)应满足下列边界条件：
x(t0 ) x0
x(t f ) x f
(1 14)
对上述目标泛函求取极值的思路：求取泛函的变分（通过泰勒展开， 求取泛函增量的线性主部，）
第2章 最优控制中的变分法
1．始端固定，终端时间固定、状态自由
（1）欧拉方程
L d L ( )0 x dt x
（2）横截条件
(1 30)
L x
0
tf
x(t0 ) x0
第2章 最优控制中的变分法
例：求使指标
J ( x 2 x3 )dt
0
*
1
取极值的轨迹 x (t ) ，并要求 x* (0) 0 ，但对 x * (1) 没有限制。
d J [ y0 ( x)] J [ y0 ( x) εy( x)] 0 ( ) 0 d
(1 9)
根据函数极值的条件，函数φ (ε)在ε=0时达到极值的必要条件为：
d ( ) 0 0 d
比较（1-9）和（1-10），可见：
(1 10)
y(x)称为泛函的宗量
宗量的变分：
y y ( x) y0 ( x)
第2章 最优控制中的变分法
泛函的连续性：
对任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，当
y ( x) y0 ( x) ,
y ( x) y0 ( x) ,
... ,
( y ( k ) ( x) y0k ) ( x) ,...时
tf
t0
t f L L L t f t f d L d L [ x]dt x t0 x ( )dt [ ( )]xdt (1 22) t0 t0 x x x dt x dt x
根据泛函极值的必要条件，可得欧拉方程
L d L [ ( )] 0 x dt x d Lx Lx 0 dt
0
tf
(1 1)
1 2 mv mgy 2 ds v 2 gy dt
dt
(1 2)
(1 3)
ds (dx) 2 (dy) 2 1 y2 dx 2 gy 2 gy 2 gy
J [ y ( x)]
xf
0
1 y2 dx 2 gy
(1 4)
第2章 最优控制中的变分法
第2章 最优控制中的变分法
容许轨线是由极值曲线微小摄动而成，即
x(t ) x* (t ) (t )
(1 15)
(1 16)
(t0 ) (t f ) 0 x(t ) (t )
J L[ x* (t ), x* (t ), t ]dt
* t0 tf
则泛函J[y(x)] 在曲线y0(x)上达到极值。 泛函极值定理： 若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即
J 0
(1 7)
第2章 最优控制中的变分法
证明如下：
( ) J [ y0 ( x) εy ( x)] 0
(1 8)
（2）横截条件
(1 30)
[ L ( x) Lx ]t0 0
(1 32)
x(t0 ) (t0 ) x(t f ) xt f
第2章 最优控制中的变分法
例：确定点A(0,1)至给定直线
解：由A至 的弧长 性能指标为
(t ) 2 t
的最短的曲线方程。
（1）欧拉方程
L d L ( )0 x dt x
（2）横截条件
(1 30)
L ( x)T
L 0 x t f
x(t f ) (t f )
x(t0 ) x0
第2章 最优控制中的变分法
4．始端变动 （1）欧拉方程
L d L ( )0 x dt x
最速降线问题指标函数为：
J [ y ( x)]

xf
0
1 y2 dx 2 gy
1 y2 2 gy y
L L[ y ( x ), y ( x )]
1 y2 2 gy
代入欧拉方程的变形式：
L yL y y 2 gy (1 y )
2
c
(1 29)
欧拉方程是泛函极值的必要条件，是否充分还需进一步判断。 （泛函极值的充分条件——勒盖特条件） 欧拉方程是二阶微分方程，只有在个别情况下才能得到封闭形式 的解。（如最速降线问题）
第2章 最优控制中的变分法
2.3 变动端点的最优控制问题
始点x0在曲线x=φ(x)上变动
终点xf在曲线x=ψ(x)上变动
tf
ds (dt) 2 (dx) 2 1 x 2 dt
x
2
J [ x (t )] 0
1 x 2 dt
1
0 1 2
d x ( )0 由欧拉方程： 2 dt 1 x x c c, x a, 积分得： 2 2 1 x 1 c t
或
(1 23)
欧拉方程的展开形式： L 2 L 2 L 2L x 2 0 x x tx xx x
或 (1 24)
Lx Ltx Lxx x Lxx 0 x
第2章 最优控制中的变分法
欧拉方程的特殊形式（L不显含t时)
L L[ x, x]
dx L d L dL 2 x L d L dx [ ( )] 2 ( ) [ ( )] 0 dt x dt x dt t x dt x dt d L ]0 [L x dt x
(1 25)
(1 26)