计算机图形学基础教程

ln N D ln S
⑶对于立体：
将立方体八等分， N=8，S=2，即8=23， 所以，分维D=3
⑷对于典型的分形曲线， 例如Koch曲线，构成方法 如下： 取一直线段，将其三等 分，保留两端的两段，将 中间一段拉起为等边三角 形的两条边。 N=4，S=3 分维D=ln4/ln3=1.26186
( ax , a y ) (cx , c y ) (d x , d y )
(bx , by )
bx ax 2(bx ax ) cx a x , c y a y ; d x ax , d y ay 3 3
8.2.2 Koch曲线
1904年，瑞典数学家科和（Koch，1870～1924） 发现一种曲线，其几何表示如下： 生成规则：取一段长度为L0的直线段，如图8-7 n＝0 所示，将其三等分，保留两端的线段，将中间一段改 换成夹角为60°的两个L0/3等长直线段，如图8-7 n ＝1所示；将长度为L0/3的4个直线段分别三等分，并 将它们中间的一段改换成夹角为60°的两个L0/9等长 直线段，如图8-7 n＝2所示。依此类推，便得到具有 自相似结构的折线。如果在等边三角形上按上述规则 在每边的中间各凸起一个小三角形，这样一直进行下 去，则曲线形状近似为似一朵雪花，称为Koch雪花， 如图8-11所示。
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第八章 分形几何
本章内容
8.1 8.2 8.3 8.4 分形和分维 递归模型 L系统模型 IFS迭代函数系统模型
8.1分形和分维
真实的世界却并不规则，闪电不是直线，海岸 线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥体。自 然界的许多对象是如此不规则和支离破碎，以致欧 氏几何学不能真实有效地再现大自然。 为了再现真实世界，必须选择新的工具，分形 几何学应运而生。分形几何是以非规则物体为研究 对象的几何学。由于闪电、海岸线、云团、山峦、 海浪、野草、森林、火光等非规则物体在自然界里 比比皆是，因此分形几何学又被称为描述大自然的 几何学。
分维的计算公式为：
ln N 部形体个数 为相似比
ln N D ln S
⑴对于直线：
将一直线段二等分， 则N=2，S=2，即2=21， 所以，分维D=1
ln N D ln S
⑵对于平面：
将正方形四等分，则N=4，S=2，即4=22，所 以，分维D=2
8.1.3 分形的定义
一般认为，满足下列条件的图形称为分形集： ① 分形集具有任意尺度下的比例细节，或者说 具有精细结构； ② 分形集是不规则的，以致于不能用传统的几 何语言来描述。 ③ 分形集通常具有某种自相似性，或许是近似 的或许是统计意义下的自相似。 ④ 分形集在某种方式下定义的“分维数”一般 大于它的拓扑维数。 ⑤ 分形集的定义常常是非常简单的，或许是递 归的。
英国的海岸线
蕨类植物叶的自相似性
8.1.2 分形的基本特征
1.自相似性
自相似性是指局部与整体相似的性质。图 8-3所示的是蕨类植物叶子上的细叶和整体叶 子的相似性。 分形图形都具有细节的无穷回归性，随着 尺度的缩短都会得到更多的细节。分形理论发 展到今天，如果一个对象的部分和整体具有自 仿射变换的关系，也可以称之为分形。
分形山
8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4
分形的诞生 分形的基本特征 分形的定义 分形维数的定义
8.1.1 分形的诞生
分形（Fractal）这个词，是由美籍法国数学家 曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot）自己创造出 来的，此词来源于拉丁文fractus，意为不规则、支 离破碎。1967年曼德尔布罗特在美国《科学》杂志 上发表了划时代的论文《英国海岸线有多长？统计 自相似与分数维》，成为其分形思想萌芽的重要标 志。1973年，在法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗 特提出了分形几何学的整体思想，并认为分数维是 个可用于研究许多物理现象的有力工具。1982年曼 德尔布罗特出版了《大自然的分形几何学》，引起 了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此一举成 名。
8.2.1 Cantor集
集合论的创始人康托（G.Cantor，1845～1918） 在1883年曾构造了一种三等分Cantor集，其几何表 示如下： 生成规则：取一段长度为L0的直线段，将其三等分， 保留两端的线段，将中间一段抛弃，如图8-9的n＝1 的操作；再将剩下的两段直线分别三等分，然后将其 中间一段抛弃，如图8-9的n＝2的操作；依此类推， 便形成了无数个尘埃似的散点，所以cantor三分集也 称为cantor灰尘。 “病态”原因：数目无穷多，但长度趋近于零。 分形维数：D＝ln2/ln3=0.6309。
从图中n＝5的递归图形中可以看出koch曲线点 点连续，但点点不可导，属于病态曲线；koch 曲线局部和整体相似，具有自相似性。因此可以 使用koch曲线来模拟海岸线。根据曼德布罗特 的计算，英国海岸线的分形维数为D=1.25。
8.2递归模型
分形图形的传统实现模 型是递归模型。在调用一个 函数的过程中，直接或间接 地调用函数自身，称为递归 调用。例如n！可以采用递归 模型实现。即5！＝5×4！， 而4！＝4×3！，……，1！ ＝1，递归公式表示如下：
long fac(int n) { long f; if(n==0||n==1) f=1; else f=fac(n-1)*n; return f; }
1 n! n (n 1)!
(n 0,1) (n 1)
8.2.1 Cantor集 8.2.2 Koch曲线 8.2.3 Peano-Hilbert曲线 8.2.4 Sierpinski垫片、地毯 和海绵 8.2.5 C字曲线 8.2.6 Caley树
2.无标度性
标度是计量单位的刻度。比如长度的 标度是米；重量的标度是公斤；面积的标度 是平方米等。对欧氏几何学内的不同形体， 可以选择不同的标度去度量。 分形却不然，由于分形具有无穷嵌套的 精细结构，自相似性使得其内部结构不存在 特征长度。分形没有特征标度，也就是不能 用标度去度量，成为无标度性。
8.1.4 分形维数的定义
维数是几何对象的一个重要特征量，它是欧氏几 何对学描述点的位置所需的独立坐标数目。为了 定量地刻画分形，引入了分数维数的概念。分数 维数与欧氏几何学中的整数维数相对应。 分形理论认为，维数中可以包含有小数。把分数 维数记为D，一般称为分数维或分维。 分维的定义有很多，有相似维数、容量维数、豪 斯道夫维数等。本章只介绍相似维数。