数学分析课件 一致收敛性

当 x 0 和 x 1时, 则对任何正整数 n, 都有
| fn(0) f (0) | 0 ，
| fn(1) f (1) | 0 .
这就证明了 { fn } 在( 1, 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当| x | 1时, 有 | x |n (n ), 当 x 1时,
这时就称 D为级数(9)的收敛域. 级数(9)在 D上每一
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点 x 与其所对应的数项级数(11)的和 S( x)构成一个 定义在 D 上的函数, 称为级数(9)的和函数, 并记作
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx
,
所以函数列
n
sin nx
n
在(-,+)上一致收敛于
f
(x)
0.
函数列 fn 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0, 对任何正数 N, 都有某一点 x0 D 和
某一正整数 n0 N( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
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fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
由例1 中知道, xn 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.
下面来证明这个结论.
事实上,
若取
0
1, 2
对任何正整数
N
2,
取正整
1
数
n0
N
及
x0
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任给 >0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切
x D, 都有
|
fn(x)
f
( x) |
. 2
(5)
于是当n,m N ,由(5)得
| fn(x) fm(x) || fn(x) f (x) | | f (x) fm(x) |
.
22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
O
1x
图 13 2
y 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列 { xn}
只限于在区间 0, b (b 1)上, 则容易看到, 只要
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n ln (其中 0 1), 曲线 y xn 就全部落在
ln b
y 和 y 所夹成的带状区域内，所以 xn 在
0, b上是一致收敛的.
1
1 N
N
(0,
1),
就有
x0n0 0
1 1 1. N2
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函数列 fn 一致收敛于 f 的几何意义:如图所示,
0, N 0, 对于序 y
号大于 N 的所有曲线
y fn( x) (n N ),
y f (x) y f (x)
y f (x) y fn(x)
都落在曲线 y f ( x)
(见图13-4), 因此对任何不含原点的区间[a,1] (0 a
1), { fn ( x) n2 xen2x2 } 在该区间上一致收敛于零.
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图13 – 4
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二、函数项级数及其一致收敛性
设 {un ( x)} 是定义在数集 E上的一个函数列,表达式
u1( x) u2( x) un( x) , x E
对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 函数列 { xn } 在区间 (1, 1]外都是发散的. 故所讨论
的函数列的收敛域是 (1, 1].
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例2
定义在 (,
) 上的函数列
fn( x)
sin nx , n
n 1,2, .
由于对任何实数 x, 都有
sin nx 1 , nn
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
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xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
根据一致收敛定义可推出下述定理:
f (x) ,
Hale Waihona Puke Baidu
xD
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或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
sin nx
1
lim sup
0 lim 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
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例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn( x) 2n 2n2 x,
| fn( x) f ( x) | .
使函数列 { fn }收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ fn }的收敛域.
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例1 设 fn( x) xn, n 1,2, 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1], 且有极限函数
0, | x | 1,
f
(
x)
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
| fn( x) f ( x) | sup | fn( x) f ( x) | .
xD
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故由 (7) 式得 fn( x) f ( x) , 于是 fn 在 D 上
一致收敛于 f .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,
只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致
故对任给的 0, 只要 n N 1 , 就有
sin nx 0 .
n
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所以函数列 sin nx n的收敛域为 (, ), 极限
函数为 f ( x) 0. 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.
1 x 1,
2n
n
n 1, 2,
,
(8)
0,
1 x 1, n
由于
fn(0) 0,
故
f (0) lim n
fn(0) 0.
当 0 x 1时,
只要 n
1, x
就有
fn( x) 0,
故在(
0,
1
]上有
f
(
x)
lim
n
fn(
x)
0.
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其中 n 1, 2, 3 的图 y
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
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如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数
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定义1 设函数列{ fn } 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数 , 总存在某一正整数 N , 使当 n N 时，对一切 x D, 都有
| fn( x) f ( x) | ， 则称函数列 { fn} 在 D 上一致收敛于 f ,记作
fn( x) f ( x)(n ) , x D. 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
n N 时, 有 | fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有
sup | fn( x) f ( x) | .
3
f3
像如图13-3 所示.
2
f2
1
f1
图13 3
f (x)
O 11 1 1 64 3 2
1
x
于是(8)在[0, 1]上的极限函数为 f ( x) 0. 又由于
sup
x[0, 1]
fn(x)
f (x)
fn
1 2n
n
(n ),
所以函数列 (8) 在 [0, 1] 上不一致收敛.
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与 y f ( x) 所夹的带 O a
bx
状区域之内.
图 13-1
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函数列 {xn} 在区间(0, 1)上 y 不一致收敛, 从几何意义上 1
看, 就是存在某个预先给定
的 (<1), 无论 N 多么大,
总存在某条曲线
x1
x2 x3
y xn(n N ),
不能全部落在由 y 与
定理13.2（余项准则）函数列{ fn }在区间 D 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是:
limsup |
n xD
fn(x)
f ( x) |
0.
(6)
证 必要性 若 fn( x) f ( x) (n ), x D. 则对
任给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数N , 当
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1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
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列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
(9)
称为定义在E上的函数项级数, 简记为 un( x) 或 n1
un( x). 称
n
Sn( x) uk ( x), x E,n 1,2,
(10)
k 1
为函数项级数(9)的部分和函数列.
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若 x0 E, 数项级数
u1( x0 ) u2( x0 ) un( x0 )
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为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作
N ( ).
显然, 若函数列 fn 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
x0
1 2n , 因此为最大值点. 于是
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n 1
sup | fn( x) f ( x) |
e 2 2
根据余项准则知该函数列在 [0, 1] 上不一致收敛.
注 { fn ( x) n2 xen2x2 } 不一致收敛是因为函数列余 项的数值在 x 0 附近不能随 n 的增大一致趋于零
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
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一、函数列及其一致收敛性
设
f1, f2 , , fn ,
(11)
n
收敛, 即部分和 Sn( x0 ) uk ( x0 ) 当 n 时极限 k 1
存在, 则称级数(9)在点 x0 收敛, x0 称为级数(9)的收
敛点. 若级数(11)发散, 则称级数(9)在点 x0 发散. 若
级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数
(9)在 D 上收敛. 若 D 为级数(9)全体收敛点的集合,
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在数集 D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 ,
总存在正数N, 使当 n, m N , 对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D，即对
例4 讨论函数例{ fn ( x) n2 xen2x2 }, x [0,1] 的一致
收敛性.
解 为了使用余项准则, 首先求出函数列的极限函数.
易见
f
(x)
lim
n
fn( x)
lim n2 xen2x2
n
0,
x [0,1],
于是
| fn ( x) f (0) | n2 xen2x2 .
容易验证 n2 xen2 x2 在 [0,1] 上只有惟一的极大值点