离散数学试卷六试题与答案

一、 填空
1. 任何(n,m) 图G = (V,E) , 边数与顶点度数的关系是 。

2. 当n 为 时,非平凡无向完全图K n 是欧拉图。

3. 已知一棵无向树T 有三个3顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点,
则T 中有 个1度顶点。

4．设}3,34,2,2,1{,
}
4,3,2,1{><><><==，R X ，则
r (R) = ；
s (R) = ； t (R) = 。

5．设R 为集合A 上的等价关系，对A a ∈∀，集合R a ][= ，称为元素a 形成的R 等价类，Φ≠R a ][，因为 。

6．任意两个不同小项的合取为 ，全体小项的析取式为 。

7．设为偶数
x x Q :)(，为素数
x x P :)(，则下列命题：（1）存在唯一偶素数；（2）至多有一个偶素数；分别形式化：
（1） ；
（2） 。

8．含5个结点，4条边的无向连通图（不同构）有 个，
它们是 。

9. 设T 为根树，若 ，则称T 为m 元树；
若 则称T 为完全m 叉树。

二、 选择
1、下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。

A 、 2,3,4,5,6,7； B 、 1,2,2,3,4； C 、 2,1,1,1,2； D 、 3,3,5,6,0。

2、图 的邻接矩阵为( )。

A 、⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
1
101110100001
；B 、⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111111
1111；C 、⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛00
1
10111100
0010
；D 、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛00
1
10111010
0010。

3、下列几个图是简单图的有( )。

A. G 1=(V 1,E 1), 其中 V 1={a,b,c,d,e},E 1={ab,be,eb,ae,de}；
B. G 2=(V 2,E 2)其中V 2=V 1,E 2={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,d>,<d,a>,<d,e>}；
C. G=(V 3,E 3), 其中V 3=V 1,E 3={ab,be,ed,cc}；
D. G=(V 4,E 4),其中V 4=V 1,E 4={（a,a ）,（a,b ）,（b,c ）,（e,c ）,（e,d ）}。

4、下列图中是欧拉图的有( )。

5、),2(⊕=S
G ，其中}3,2,1{=S ，⊕为集合对称差运算，
则方程}3,1{}2,1{=⊕x 的解为（ ）。

A 、}3,2{；
B 、}3,2,1{；
C 、}3,1{；
D 、Φ。

三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）
1．命题公式B B A A →→∧))((是一个矛盾式。

（ ） 2．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。

（ ） 3．根树中最长路径的端点都是叶子。

（ ） 4．若集合A 上的关系R 是对称的，则1
-R
也是对称的。

（ ）
5．数集合上的不等关系（≠）可确定A 的一个划分。

（ ） 6．设集合A 、B 、C 为任意集合，若A×B = A×C ，则B = C 。

（ ） 7．函数的复合运算“。

”满足结合律。

（ ） 8．若G 是欧拉图，则其边数e 合结点数v 的奇偶性不能相反。

（ ） 9．图G 为（n , m ）图，G 的生成树
G T 必有n 个结点。

（ ）
10．使命题公式)(R Q P ∨→的真值为F 的真值指派的P 、Q 、R 值分别是T 、F 、F 。

（ ） 四.证明
1、若图G 中恰有两个奇数顶点，则这两个顶点是连通的。

2、证明：在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面的面度都是3。

3、某次会议有20人参加，其中每人至少有10个朋友，这20人拟围一桌入席，用图论知识说明是否可能每人邻做的都是朋友？（理由） 五.根树的应用
在通讯中，八进制数字出现的频率如下：
0：30%、1：20%、2：15% 、3：10%、4：10%、5：5%、6：5%、7：5% 求传输它们最佳前缀码（写出求解过程）。

六.设B 4={e , a , b , ab }，运算*如下表，
则<B 4,*>是一个群（称作Klein 四元群）。

答 案
一、填空 15%（每小题3分）
1、∑∈=V
v m
v d 2)(； 2、奇数； 3、5
4．}4,4,2,2,1,1,3,3,4,2,2,1{)(><><><><><><=R r ， }2,4,1,2,3,3,4,2,2,1{)(><><><><><=R s ， }3,3,4,1{2
><><==R R R ， }3,3{2
3
><==R R R
，}3,3{3
4
><==R R R
，
所以， }4,1,3,3,4,2,2,1{)(><><><><=R t 。

5．
}
,{][aRx A x x a R ∈=；R a a ][∈。

6．永假式（矛盾式），永真式（重言式）。

7．（1）)))()(())()(((y x y P y Q y x P x Q x =→∧∃∧∧∃。

（2）))()()()((y x y P y Q x P x Q y x =→∧∧∧∀∀。

8．3。

9．每个结点的出度都小于等于m ；除叶子外，每个结点的出度都等于m 。

二.、选择 15%（每小题 3分）
1．× 命题公式B B A A →→∧))((是一个重言式。

2．× 任何循环群必定是阿贝尔群，但反之不真。

3．× 根树中最长路径的端点不都是叶子。

4．√ 5．× ≠不能确定A 的一个划分。

6．√ 7．√
8．× 欧拉图其边数e 和结点数v 的奇偶性可以相反。

9．√ 10．√
四、证明
1、证：设G 中两个奇数度结点分别为u ，v 。

若 u ，v 不连通，即它们中无任何通路，则至少有两个连通分支G 1、G 2，使得u ，v 分别属于G 1和G 2。

于是G 1与G 2中各含有一个奇数度结点，与握手定理矛盾。

因而u ，v 必连通。

2、证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8。

由图论基本定理知：
242)deg(=⨯=∑m F ，而3)deg(≥i
F ，
所以必有3)deg(=i F ，即每个面用3条边围成。

3、解：可能。

将人用结点表示，当两人是朋友时相应结点间连一条边，则得一个无向图
>=<E V G ,，20人围一桌，使每人邻做都是朋友，即要找一个过每个点一次且仅一次得回路。

由题已知，10)deg(,
10)deg(,
,≥≥∈∀v u V v u ，20)deg()deg(≥+∴v u ，由判定定理，G 中存在一条汉密尔顿回路。

即所谈情况可
能。

五、 根树的应用
解：用100乘各频率并由小到大排列得权数
30,20,15,10,10,5,5,587654321========w w w w w w w w
（1） 用Huffman 算法求最优二叉树：
（2） 前缀码
用 00000传送 5；00001传送 6；0001传送 7；100传送 3；101传送 4；001传送 2；11传送 1；01传送 0 （频率越高传送的前缀码越短）。

六、10% 证明：
（1） 乘：由运算表可知运算*是封闭的。

（2） 群：即要证明)*(**)*(z y x z y x =，这里有43=64个等式需要验证
但：① e 是幺元，含e 的等式一定成立。

②ab=a*b=b*a ，如果对含a ，b 的等式成立，则对含a 、b 、ab 的等式也都成立。

③剩下只需验证含a 、b 等式，共有23=8个等式。

即：
(a*b)*a=ab*a=b=a*(b*a)=a*ab=b ； (a*b)*b=ab*b=a=a*(b*b)=a*e=a ； (a*a)*a=e*a=a=a*(a*a)=a*e=a ； (a*a)*b=e*b=b=a*(a*b)=a*ab=b ； (b*b)*a=e*a=a=b*(b*a)=b*ab=a ； (b*b)*b=e*b=b=b*(b*b)=b*e=b ； (b*a)*a=ab*a=b=b*(a*a)=b*e=b ； (b*a)*b=ab*b=a=b*(a*b)=b*ab=a 。

（3） 幺： e 为幺元
（4） 逆：e -1=e ；a -1=a ；b -1=b ； (ab) -1=ab 。

所以<B 4,*>为群。