第十八章 勾股定理小结与复习

第十八章 勾股定理小结与复习
考点呈现
一、运用勾股定理求边长
例1 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC
＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在
边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．
解析：由勾股定理可求AB =10.通过折叠,有BC ˊ＝BC
＝6,故AC ˊ＝AB －BC ˊ＝4．设DC ＝DC ＝x ,在
Rt △ADC ˊ中,由勾股定理得x 2+42=(8-x )2,解得x ＝3.
在Rt △BCD 中，由勾股定理可得 53632222=+=+=CB CD BD .
点评：本题融勾股定理于折叠的动态过程中，把轴对称与勾股定理有机结合起来.解决问题的关键是抓住折叠过程中对应量，运用勾股定理建立方程.
二、运用勾股定理作无理数长度的线段
例2 图2是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________
条. 解析：由于长度为5的线段是以直角边长为1，2的直角三角形的斜边，在“田字格”中最多可以构造8个这样的三角形．故有8条长度为5的线段.
点评：本题考查了运用勾股定理做无理数长度的线段，关键是找到满足斜边长度为5的直角三角形.
三、应用勾股定理解决实际问题
例3 如图3，铁路上A ，B 两站（可以看作直线上的两点）
相距25 km ，C ，D 为两个村庄（可以看作两个点），AB DA ⊥于
A ，A
B CB ⊥于B.已知DA=15 km ，CB=10 km ，现在要在铁路
AB 上建设一个收购站E ，使C ，D 为两个村庄到E 站的距离相等，
则E 站距离A 村多远？
解析：设AE=x km ，则)25(x BE -= km ．
在ADE Rt ∆中，222AE AD DE +=，即22215+=x DE ．
在ADE Rt ∆中，222BC BE CE +=，即2
2210)25(+-=x CE ．
因为DE CE =，所以 222210)25(15+-=+x x ，
图2
E D C B A Ａ C ’ Ｄ Ｃ
Ｂ
解得x=10．即E 站距离A 村10 km ．
点评：本题的考查了学生关建立数学模型以及运用勾股定理解决实际问题的能力.
四、勾股定理的逆定理
例4 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，3 B, 2，3，4 C ．3，4，5 D ．4，5，6
解析：根据勾股定理的逆定理可知，当已知线段长度时，如果最短的两条线段的平方和等于最长线段的平方，则以这三条线段为边可构成直角三角形．因为12＋22≠32，,2 2＋32≠42，32＋42＝52，42＋52≠62，所以以3,4，5为边能构成一个以5为斜边的直角三角形. 故本题应选C.
点评：本题考查了学生运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，关键是验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方.
误区点拨
一、忽视定理存在的条件
例1 在边长都为整数的ABC ∆中，AB AC >，如果cm AC 4=，cm BC 3=，求AB 的长．
错解：由AB AC >，由勾股定理，得222AB AC BC =+， 即)(5342222cm BC AC AB =+=+=．
剖析：此题没有指明ABC ∆是直角三角形，因此不能使用勾股定理求解，只能利用三角形三边关系的定理求解．
正解：根据三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边，得
A C A
B A
C <<+．即47AB <<．
从而得AB 等于5cm 或6cm ．
二、忽视斜边直角边分类
例2 在直角ABC ∆中，5=a ，12=b ，则第三边c 的长度为 .
错解：13
剖析：在不确定斜边的情况下，应该注意分类讨论，即第三边c 有可能是斜边，也有可能是直角边.
正解：当c 是斜边时，有)(131252222cm b a c =+=+=
； 当c 是直角边时，有)(1195122222cm a b c =-=-=.
故第三边c 的长度为13 cm 或cm 119.
三、审题不仔细，受思维定势影响
例3 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足2
))((c b a b a =-+，则（ ）
A. A ∠是直角
B. B ∠是直角
C. C ∠是直角
D. ABC ∆不是直角三角形
错解：选C.
剖析：因为常见的直角三角形在表示时，一般讲直角标注为C ∠，因而有许多同学就习惯性的认为C ∠就一定是直角，导致错误.
正解：因为2))((c b a b a =-+，所以222c b a =-，即2
22a c b =+，所以ABC ∆是直角三角形，且A ∠是直角.故选A.
四、对互逆定理、互逆命题的理解错误
例4 “定理“对顶角相等”有逆定理吗?若有，请你写出其逆定理，若没有，请说明理由。

”
错解：定理“对顶角相等”有逆定理，其逆定理是：相等的角是对顶角.
剖析：对于一个命题而言，不管命题是否正确，它都有逆命题，而定理是要经过证明被确认为正确的命题，显然，只有原命题正确，其逆命题也正确的情况下才有逆定理.
正解：因为命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然，“相等的角是对顶角”是假命题，所以定理“对顶角相等”没有逆定理. 基础盘点
1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ，即直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
2. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
3. 叫做命题， 叫做逆命题， 互逆命题， 叫做定理， 叫做逆定理。

4. 满足的三个正整数叫做勾股数，常见的勾股数有 、 等.
课堂检测
1.在ABC ∆中，︒=∠90A ，则下列式子不成立的是（ ）
A ．222AC A
B B
C += B ．222BC AC AB +=
C ．222AC BC AB -=
D ．222AB BC AC -=
2．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
A ．a=3，b=4，c=5
B ． a=4，b=7，c=8
C ．a=5，b=12，c=13
D ．a=1，b=1，c=2
3．若等腰三角形底边长为cm 10，腰长为cm 13，则底边上的高为（ ）
A ．5 cm
B ．12cm
C ．cm 1360
D ．cm 13
120 4．如图1，点A 表示的实数为（ ） A ．2 B ．21- C ．12- D ．
12+ 5． 甲、乙两人分别从点A 出发，甲向正东方向步行，每小时3.5 km ，乙向正南方向骑自行车，每小时行12km ，则两小时后两人相距 km.
A 0 -1 1 图1
6．如图2，一棵树距离地面10米的点A 处有两只猴子，其中一
只猴子爬下树走到距离树20米的池塘D 处，另一只猴子爬到树顶
后直接跃向池塘的D 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问
这棵树有多高？
跟踪训练
1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能．．
构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 3，2，5 D. 5，12，13
2．图1中甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A ．74
B ．7 6
C ．78
D ． 80
3．图2中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三边a ，b ，c 中，长度为无理数的条数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4
．某楼梯的侧面视图如图3所示，其中
13
=AB 米，高5=BC 米，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 米．
5．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着
拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜
着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
6．如图4，四边形ABCD 中，︒=∠90B ，
AB=4cm ，BC=3cm ，AD=13cm ，CD=12cm ．求四边形ABCD 的面积．
D
C
B A
图3 B C A 图2 图2 C B A D
参考答案
基础盘点：略.
课堂检测：1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｃ 5．25
6．设树AC 的高为x 米，由题意AB=10，BD=20．
AC+CD=AB+BD=30，即CD=30-x ．
在BCD Rt ∆中，根据勾股定理222BC BD BC =+，所以222)30()10(20x x -=++，解得x=5．BC=10+5=15. 所以这棵树的高度为15米．
跟踪训练:1．C 2．B 3．B 4．17
5．设城门高为x 米，则竿长为(x +1)米.
依题意，得32+x 2＝(x +1)2，解得x ＝4，故竿长为5米。

.
6．因为︒=∠90B ，所以ABC ∆为直角三角形．
又因为AB=4cm ，BC=3cm ，所以ABC ∆的面积为
)(64321212cm BC AB =⨯⨯=∙． 根据勾股定理，得)(5342222cm BC AB AC =+=+=
． 此时1691252222=+=+CD AC ，1691322==AD ，即222AD CD AC =+． 根据勾股定理逆定理知ACD ∆是直角三角形，且︒=∠90ACD ．
ACD ∆的面积为)(301252
1212cm CD AC =⨯⨯=∙． 所以四边形ABCD 的面积是)(363062cm =+。