立体几何中的成角问题
立体几何所有的定理大总结（绝对全）
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)
专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证． （2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =． 又222BD AB AD =+,所以2AB =． 则23AE =,6ED =． 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22． 【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。
高考真题(立体几何中空间角问题[题目])
![高考真题(立体几何中空间角问题[题目])](https://img.taocdn.com/s3/m/9d2b391cdaef5ef7bb0d3c62.png)
解答题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o .（Ⅰ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB +AD =4，CD =2，︒=∠45CDA ．（I ）求证：平面P AB ⊥平面P AD ；（II ）设AB =AP ．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。
3. 如图5．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，2PA PD ==,PB =2, E ,F 分别是BC ,PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ;（2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．4. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．A B DC FPE5. 如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB=,C是»AB的中点，D为AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC;（Ⅱ）求二面角B PA C--的余弦值。
6. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．8. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值．9. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB =90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ－ＢＦ－Ｃ的大小．10. 如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=o o 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BCD ∠=o 。
高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
立体几何空间成角问题【实用资料】
1、异面直线所成的角
(3)计算。
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就
是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用
Hale Waihona Puke “平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线， 构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
B’
C’
BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。
分析：欲求BC’与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC’在
x
于(0º,9底0º]面, 上的射影。注意到ACAB和ACBC’，即AC平面ABC’，所以，
连例BC结2’：A=平A如12EB图面，C6，Cc的Am1斜BE,交求三，CB棱则’线C柱’平BAA与AB面1上底CC1—A面，EBA为所C’A成，B1C的C’故1’角CB与’。O点B的D为C1底所’所在面成求为底的一的角面等(角或上腰补。直的角角射)，三影角形O，在直平角面边AABB=CA’C和=2c平m，面侧棱与底面成60º角A，BC’
线段在平面内的射影； 通常是从斜线上找特殊点， 作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。
A’
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为 B’
C’
一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底 面成60º角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面
所分成析的：角。欲求BC’与底面ABC所成的角，关键
AC，
O
x
解： ， ， 平面 （1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
AC AB AC BC’ 这实为异面直线上两点的距离公式，但这里 不局限
异面直线所成角详解
E
B
D
M F
C
平移法
㈡.利用平行线分线段成比例的推论平移 例3.空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是AD、BC上的点， 且AE∶ED＝BF∶FC＝1∶2，
EF＝ 7 ，求异面直线AB和CD所成的角
A
E M
B F
D C
平移法
㈢.利用平行四边形平移
例4.正方体AC1中若E、F分别为AB和BB1的中点， 求A1E与CF所成角的余弦
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ①过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处,例如"端 点"或"中点"处 （2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
OB1与A1C1所成的角的度数为
900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
平移法
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
平移法
（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
D (1)以E为特殊点
G.
E
C
B
F A
立体几何中的成角问题
D A E C BD=
5 3 2 15 DE= 8
B
3 COS = 4
P
D
C B
方法二：
方法三：
A
方法四：
（2）方法一 P 作出二面角的棱 来确定平面角 A M D B C
（2）方法二 P
垂面法
M D A B C
（2）方法三 P
射影法
M D A B C
（2）方法四 P
补形法
A1
D
A B
C
例：四棱锥P－ABCD的底边是边长为1的 正方形，PD垂直于底面，PB＝ 3
直线与平面所成角平面与平面所成角当直线与平面垂直时直线与平面所成的角是90当直线在平面内或与平面平行时直线与平面所成的角斜线与平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角
异面直线所成的角 直线与平面所成角
平面与平面所成角
异面直线所成的角：
经过空间任意一点，作两条异面直线 的平行线，则两条相交直线所成的锐角(直 角)即为两条异面直线所成的角。范围：0,
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二面角的求法 (1)三垂线法：利用三垂线定理作出平 面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法：通过做二面角的棱的垂面， 两条交线所成的角即为平面角 (3)射影法:若多边形的面积是S，它在 一个平面上的射影图形面积是S`，则 二面角满足:COS = S`÷ S
斜线与平面所成角 ：
平面的一条斜线和它在平面内的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角。范围：
0, 2
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
立体几何判断题36个经典反例
立体几何判断题36个经典反例1.若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行.【反例图示】【注解】图中两条红线与蓝线都成直角，但两条红线并不平行，反例并不唯一，正方体是分析线面位置关系的常用模型.2.若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.【反例图示】【注解】还是上个例子的图，本例是上个例子的特殊形式，但无论特殊还是一般，只要找到一个反例，皆错.3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线.【反例图示】【注解】图中蓝线和绿线均满足与两条异面红线垂直，但蓝线是公垂线，绿线并不是，概念要清楚，公垂线是一定要和异面直线相交的.4.两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行.【反例图示】【注解】如图，两条红线均平行底面，但它们并不平行。
当然，也会有正确的例子，但以偏概全是这类题的常用套路，本题几乎所有高中生都（将）遇到过.5.若两平面与同一直线等角，则这两个平面平行.【反例图示】【注解】还是以偏概全，图中红线与两个阴影面均成45°角，但两个阴影面并不平行6．若一条直线平行于一个平面，则该直线与平面内所有直线都平行.【反例图示】【注解】红实线平行于下底面，但与红虚线并不平行，仍是以偏概全.7.若一条直线与平面中无数条直线都平行，则该直线平行于该平面.【反例图示】【注解】当这条直线在平面内时，该命题则为假命题。
如图，蓝线与底面无数条红线均平行，但蓝线与底面不平行。
线面平行，一定是线在平面外，这是在教学过程中，需要特别强调的8．AB为平面外的线段，若点A、点B到平面的距离相等，则AB平行于平面.【反例图示】【注解】这是一个相当易错的题，若A、B在平面同侧，则会平行，若A、B在平面异侧，如图所示，则不平行。
线面相交也是线在平面外的情况，线在平面外含线面相交与线面平行两种情况.9.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等.【反例图示】【注解】空间等角定理，本身含相等和互补两种情况，如图所示，∠1的两边与∠2的两边互相平行，但∠1与∠2互补。
第31讲 立体几何中的最大角和最小角定理(解析版)
第31讲 立体几何中的最大角和最小角定理参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2021•浙江月考）如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点．记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ，2θ的大小关系是( )A ．12θθ=B ．12θθ>C ．12θθ<D ．不能确定【解答】解：连接AP ，1AA ⊥平面ABC ，故1A PA ∠为直线1A P 与平面ABC 所成的角，即11A PA θ∠=，故而111sin AA A Pθ=． 过1A 向BC 作垂线，垂足为M ，若M 与P 重合，则直线1A P 与直线BC 所成的角为90︒，即290θ=︒， 此时显然有12θθ<，若M 不与P 重合，则1A PM ∠为直线1A P 与直线BC 所成的角，即12A PM θ∠=， 故而121sin A MA Pθ=， 1AA 是平面ABC 的垂线，故而11AA A M <，12sin sin θθ∴<， 12θθ∴<．故选：C ．2．（2021春•江岸区校级期末）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为α，SE 与面ABCD 所成的角为β，二面角S AB C --的平面角为γ，则( )A ．αβγB ．βαγC ．βγαD ．γβα【解答】解：如图，过S 作底面的垂线SO ，垂足为O ，连接EO ，则SO EO ⊥，SEO β∴∠=．取F 为AB 的中点，连接OF ，则SF AB ⊥，OF AB ⊥，SFO ∠为二面角S AB C --的平面角，等于γ．过E 作BC 的平行线，过O 作AB 的平行线，相交于G ，则SEG ∠为SE 与BC 所成的角，等于α．SO ⊥底面ABCD ，SO EG ∴⊥，又EG OG ⊥，SO OG O =，EG ∴⊥平面SOG ，则EG SG ⊥，在Rt SOF ∆与Rt SOE ∆中，有sin SO SF γ=，sin SOSEβ=，而SE SF >，sin sin γβ∴>，得(γβγ>，β均为锐角）； 在Rt SGE ∆与Rt SOF ∆中，有tan SG EG α=，tan SOOFγ=，而SG SO >，EG OF =，tan tan αγ∴>，得(αγα>，γ均为锐角）． 当E 与F 重合时，αβγ==． 综上，βγα． 故选：C ．3．（2021•湖州期末）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段SA 上的点（不含端点），设直线BE 与CD 所成的角为1θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S BC D --的平面角为3θ，则( )A ．13θθ<，23θθ<B ．21θθ<，23θθ<C ．21θθ<，31θθ<D ．12θθ<，32θθ<【解答】解：过点E 作EM ⊥平面ABCD 于点M ，在平面ABCD 内过M 作MN AB ⊥于点N ，作MP BC ⊥于点P ，在平面SBC 内作PQ BC ⊥与点P ，交SB 于点Q ，连接BM ，EN ，则ABE ∠是异面直线BE 与CD 所成的角1θ，EBM ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角2θ， MPQ ∠是二面角S BC D --所成角的平面角3θ；如图所示，显然1θ，2θ，3θ均为锐角； 在Rt BEN ∆中，1sin ENEB θ=； 在Rt EBM ∆中，2sin EMEBθ=； 在Rt EMN ∆中，EM EN <，所以12sin sin θθ>，即12θθ>； 又3sin EMPQθ=，且EB PQ >，所以23sin sin θθ<，即23θθ<． 故选：B ．4．（2021•宁波期末）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S ABCD -为阳马，且AB AD =，SD ⊥底面ABCD ．若E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与AD 所成的角为α，SE 与底面ABCD 所成的角为β，二面角S AE D --的平面角为γ，则A ．βγα<<B ．βαγ<<C ．αγβ<<D ．αβγ<<【解答】解：四棱锥S ABCD -为阳马，且AB AD =，SD ⊥底面ABCD ．E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与AD 所成的角为α，SE 与底面ABCD 所成的角为β， 二面角S AE D --的平面角为γ， SAD βγα∴<=∠<， βγα∴<<．故选：A ．5．（2021•衢州期中）已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，AD ⊥侧面SCD ，120SDC ∠=︒，E 是线段AB 上的点（不含端点），若侧面SAB ，直线SE ，侧面SAD 与平面ABCD 所成角大小分别为α，β，γ，则下列结论成立的是（注:α指二面角S AB C --的大小，γ指二面角S AD C --的大小）( )A ．αβγ<<B ．βγα<<C ．γβα<<D ．βαγ<<【解答】解：AD ⊥侧面SCD ，AD CD ∴⊥，AD SD ⊥，SDC ∴∠是面SAD 与底面ABCD 所成的二面角，120SDC ∠=︒，侧面SAB ，直线SE ，SAD 与底面ABCD 所成的二面角分别为α，β，γ， 120γ∴=︒，过S 作SO CD ⊥于O ，则AD SO ⊥， SO ∴⊥平面ABCD ，SCD ∴∠为平面SBC 与底面ABCD 所成角，60β∴<︒，tan SOCOβ=， 过O 作OE AB ⊥于E ，则SEO ∠为直线SE 与平面ABCD 所成的二面角， tan tan 2SO SO SOEO COαβ==>=， 0βαγ∴<<<，故选：D ．6．（2021•临川区校级月考）已知正四棱锥S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，则( )A ．123θθθ<<B ．321θθθ<<C ．132θθθ<<D ．231θθθ<<【解答】解：取AB 中点F ，如图，易知1θ，2θ，3θ均为锐角，2SFO θ=∠，3SEO θ=∠，且23sin sin SO SOSF SEθθ=>=， 故23θθ>；将EO 绕着点E 旋转并在其上取一点O '，使得//EO BC '，且12EO OF BC '==，则1SEO θ∠'=，显然SO SO '>，故SEO SEO ∠'>∠，即13θθ>， 显然，EO '⊥平面SOO '，则1tan SO EO θ'='，2tan SO SOOF EO θ=='，由SO SO '>可知，12θθ>； 综上，321θθθ<<．故选：B ．7．（2020•柯桥区二模）如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，Q 是线段PC 上的点（不含端点）．设AQ 与BC 所成的角为α，AQ 与平面ABCD 所成的角为β，二面角Q AB C --的平面角为γ，则( )A ．αβγ<<B ．βαγ<<C ．γβα<<D ．βγα<<【解答】解：取AD 的中点F ，连接PF 、CF ，PA PD =，PF AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PF ∴⊥平面ABCD ，PF ⊂平面PCF ，∴平面PCF ⊥平面ABCD ．过Q 作QO CF ⊥，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，连接QE ，平面PCF ⋂平面ABCD CF =，QO ⊂平面PCF ，QO ∴⊥平面ABCD ． QAO β∴=∠，QEO γ=∠， tan OQ OA β∴=，tan OQOEγ=， OA OE >，tan tan βγ∴<，βγ∴<．矩形ABCD ，//AD BC ∴，DAQ α∴=∠， 过O 作OS AD ⊥于S ，连接SQ ，则AS OE =，QO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，QO AD ∴⊥， OSQO O =，OS 、QO ⊂平面SQO ，AD ∴⊥平面SQO ，AD SQ ∴⊥，tan tan SQ SQ OQAS OE OEαγ∴==>=，αγ∴>． 综上所述，βγα<<． 故选：D ．8．（2016•桐乡市一模）如图，已知ABC ∆，CD 为ACB ∠的角平分线，沿直线CD 将ACD ∆翻折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角为θ，则( )A ．A DB θ∠'，ACB θ∠' B ．A DB θ∠'，ACB θ∠'C ．A DB θ∠'，ACB θ∠'D ．A DB θ∠'，ACB θ∠'【解答】解：①当AC BC =时，A DB θ∠'=，ACB θ∠'<， ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE θ=∠'，连结AA '，ADA AOA ∠'<∠'，A DB AOE ∴∠'>∠'，AOEACE ∠'∠'， 即A ∠ ‘DB θ>．综上，A DB θ∠'，ACB θ∠'． 故选：C ．9．（2021•浙江模拟）ABC ∆是边长为6的正三角形，D 在AB 上，且满足2AD DB =，现沿着CD 将ACD ∆折起至△A CD '，使得A '在平面BCD 上的投影在BDC ∆内部（包括边界），则二面角A CD B '--所成角的余弦值的取值范围是( )A． B． C ．2[0,]5D ．2[,1]5【解答】解：如图1，在ABC ∆中，过点A 作AO CD ⊥，交CD 于O ，交BC 于H ， 点A '在平面BCD 上的投影在BDC ∆内部（包括边界），∴其投影在线段OH 上，如图2，过A '作A M OH '⊥，垂足为M ，则A M '⊥平面BDC ， AOM ∠'为二面角A CD B '--的平面角， 4AD =，6AC =，60CAD ∠=︒，2222cos60CD AD AC AD AC ∴=+-⋅⋅︒ 1636246cos6028=+-⨯⨯⨯︒=．CD ∴=又11sin 6022CD AO AD AC ⋅=⋅⋅︒，即46=⨯，AO ∴=以BC 的中点E 为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系， 则(0A，，(3,0)C，(D -，设(,0)H a ， AH CD ⊥，∴0AH CD ⋅=，即590a --=，即95a =-，AH ∴=，OH = [0OM ∴∈， 在△AOM '中，cos [0OM A OM A O ∠'=='，2]5． 即二面角A CD B '--所成角的余弦值的取值范围是[0，2]5．故选：C ．10．（2021春•金华期末）如图，已知四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形，且||2||AB CD =，沿直线AC 将ADC ∆翻折成△AD C '，所成二面角D AC B '--的平面角为θ，则( )A ．D AB θ∠'B ．D AB θ∠'C ．D CB θ∠'D ．D CB θ∠'【解答】解：如图，不妨设2CD =， 60ABC DAB ∠=∠=︒，||2||AB CD =，4AB ∴=，2AD CD ==，AC BC ⊥．取AC 中点O ，AB 中点E ，连接D O '，OE ，D B '， 则D O AC '⊥，OE AC ⊥，即D OE ∠'为二面角D AC B '--的平面角为θ，由已知可得1D O '=，1OE =，22D A AE '==，2D C '=，2BC =．2211cos 122D E D E θ+-''∴==-， 2244cos 188D E D E D AB +-''∠'==-， 2244cos 188D B D B D CB +-''∠'==-．则cos cos D AB θ∠'，在[0，]π上余弦函数为减函数，D AB θ∴∠'；而22D E '与28D B '的大小不确定，D CB ∴∠'与θ的大小不确定．故选：B ．11．（2021•上虞区期末）如图，已知ABC ∆中，AC AB >，AD 是BAC ∠的平分线，将ABD ∆沿直线AD 翻折成1ADB ∆，在翻折过程中，设所成二面角的平面角1B AD C --为α，1B AC β∠=，1B DC γ∠=，则下列结论中成立的是( )A ．αβ，αγB ．αβ，αγC ．αβ，αγD ．αβ，αγ【解答】解：考虑极限情况，当位于初始位置时，απ=，显然此时αβ>，故排除CD ；当重叠时，0α=，显然此时αγ<，故排除A ； 故选：B ．12．（2020•柯桥区模拟）如图，在矩形ABCD 中，将ACD ∆沿AC 翻折至ACD '∆，设直线AD '与直线BC 所成角为α，直线AD '与平面ABC 所成角为β，二面角A CD B '--的平面角为γ，当γ为锐角时( )A ．αβγ>>B ．γβα>>C ．γαβ>>D ．αγβ>>【解答】解：如图所示，AD D C '⊥'，故二面角A CD B -'-的平面角为γ就为AD '与平面BD C '所成的线面角，由线面角最小性可知，γα<； 另一方面，在三棱锥D ABC '-中，由于111sin sin 222ABC D BCS AB BC S D C CB D CB AB BC D CB ∆'=>='∠'=∠'， 所以D '到平面ABC 的距离1d 小于A 到平面D BC '的距离为2d ，AD ∴'与平面BD C '所成角大于与平面ABC 所成角，即γβ>，所以αγβ>>． 故选：D ．13．（2016•丽水校级模拟）如图，长方形ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 上异于点A 的两点，现把AMN ∆沿着MN 翻折，记AC 与平面BCD 所成的角为1θ，直线AC 与直线MN 所成的角为2θ，则1θ与2θ的大小关系是( )A ．12θθ=B ．12θθ>C ．12θθ<D ．不能确定【解答】解：作AO ⊥平面BCD ，垂足是O ，连接C 过点C 作直线//l MN ，在l 上取点H ，令CH CO =， 在AOC ∆和AHC ∆中，CO CH =，AO ⊥平面BCD ， AO AH ∴<， ACO ACH ∴∠<∠，AC 与平面BCD 所成的角为1θ，直线AC 与直线MN 所成的角为2θ， AO ⊥平面BCD ，//CH MN ， 1ACO θ∴∠=，2ACH θ∠=， 12θθ∴<．故选：C ．14．（2020•浙江模拟）已知三棱锥P ABC -的所有棱长为1．M 是底面ABC ∆内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面PAB ，PBC ，PAC 的距离1h ，2h ，3h 成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是( )A ．αβ=B ．βγ=C ．αβ<D ．βγ<【解答】解：依题意知正四面体P ABC -的顶点P 在底面ABC 的射影是正三角形ABC 的中心O ，由余弦定理可知，cos cos cos PMO MO α=∠<，AB >，其中MO <，AB >表示直线MO 与AB 的夹角，同理可以将β，γ转化，cos cos cos PMO MO β=∠<，BC >，其中MO <，BC >表示直线MO 与BC 的夹角， cos cos cos PMO MO γ=∠<，AC >，其中MO <，AC >表示直线MO 与AC 的夹角，由于PMO ∠是公共的，因此题意即比较OM 与AB ，BC ，AC 夹角的大小， 设M 到AB ，BC ，AC 的距离为1d ，2d ，3d 则11sin h d θ=，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sin θ=， 所以1d ，2d ，3d 成单调递增的等差数列，然后在ABC ∆中解决问题 由于123d d d <<，可知M 在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM 与BC 所成角小于OM 与AC 所成角，所以βγ<， 故选：D ．15．（2015•绍兴一模）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一动点，且满足1||||2PD PB +=+1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为( )A ．[0，1]2B ．[0，1]3C ．1[2，2D ．1[2【解答】解：取1BC 的中点E ，作点1B 在平面11A BC 内的投影O ， 过O 作1//OF BC 交1A B 于点F ，连结1B D 、1A E ，以O 为坐标原点，分别以OF 、OE 、1OB 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图， 根据题意，易得(0D ，0，-，1(0B ，0，B0)，1(C，0)，设(P x ，y ，0)，则(PD x =-，y -，-，1(PB x =-，y -，1(BC =-0，0)，1||||2PD PB +=∴21||2PB ∴=，即221x y +=，记α为直线1B P 与直线1BC 所成的角，则α即为直线1B P 与直线1AD 所成的角， 1cos PB ∴<，1111132||||2PB BC xBC PB BC ⋅>===⨯， 点P 的轨迹在平面11A BC 内是以O 为圆心，1为半径的单位圆，11x ∴-，11cos 2PB ∴-<，112BC >，又α为锐角，10cos PB ∴<，112BC >， 故选：A ．16．（2020秋•昌江区校级期末）如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1||||5DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为( )（参考数据：43sin53,sin37)55︒=︒=A ．[37︒，53]︒B ．[37︒，90]︒C ．[53︒，90]︒D ．[37︒，127]︒【解答】解：如图，建立空间直接坐标系，连结BD ，交平面ABC 于点O ，(0,0.0)D ，1B 、1A 0，、B ，0)，1(0C ，，1(3DB =、1(0A B =，-，1(BC =-0，， 110DB A B ⋅=，110DB BC ⋅=，11DB A B ∴⊥，11DB BC ⊥，11A B BC B =，1DB ∴⊥平面11A BC ，根据等体积转化可知111111B A BC B A B C V V --=，即23111113232O ⨯⨯=⨯⨯，解得13B O =，19B D =，6DO ∴=， 11//AD BC ，∴异面直线1AD 与1B P 所成的角，转化为1BC 与1B P 所成的角，如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取1BC 的中点E ，过点O 作1//OF BC ，则以点O 为原点，OF ，OE ，1OB 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， (P x ，y ，0)，1(0B ，0，3)，(0D ，0，6)-，B0)，1(C0)，1(B P x =，y ，3)-，1(BC =-0，0)，1||||5DP PB +=+，∴5+，2222936x y x y ++<++，即1||5PB =，1||PB =， 即22925x y ++=，即2216x y +=，[4x ∈-，4]，1cos B P <，1111134[55||||3B P BC x BC B P BC ⋅->===-∈-，4]5， 因为异面直线所成的角是锐角，并设为θ， 则cos (0θ∈，4]5，4sin535︒=，4cos375︒=． [37θ∴∈︒，90]︒，故选：B ．17．（2020秋•庐阳区校级期中）在三棱锥A BCDAB=，====，6-中，10BC BD AC AD16CD=，点P在平面ACD内，且BP=设异面直线BP与CD所成角为α，则sinα的最小值为()A B C D【解答】解：取CD中点K，连接AK，BK，CD=，10====，16BC BD AC AD∴==，6AK BKAB=，6∴∆为正△，ABK取AK中点O，连接BO，则BO AK⊥，且BO=易知CD⊥平面ABK，∴⊥，CD BOBO∴⊥平面ACD，BP=P∴在图中圆O上，α=最大，当P与G，H重合时，sin1当P 与M ，N 重合时，sin α==最小． 故选：A ．18．（2021•浙江期中）如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为γ，则( )A ．αβB ．αβC ．αγD ．βγ【解答】解：设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ， 则DEC α∠=，DAO β∠=，MNE γ∠=，DE CE ==，2DC =，1cos3α∴=，23AO CO CE ===，3cos 2AO AD β∴===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥， 又DFAF F =，BC ∴⊥平面AED ，BC AD ∴⊥，90γ∴=︒．γαβ∴．故选：A ．19．（2013春•合浦县期中）二面角l αβ--是直二面角，A α∈，B β∈，设直线AB 与α、β所成的角分别为1∠和2∠，则( )A ．1290∠+∠=︒B ．1290∠+∠︒C ．1290∠+∠︒D ．1290∠+∠<︒【解答】解：如图，AC l ⊥，BD l ⊥，则1BAC ∠∠． 又290BAC ∠+∠=︒，1290∴∠+∠︒．故选：C ．20．直线AB 与直二面角l αβ--的两个面分别交于A ，B 两点，且A ，B 都不在棱l 上，设直线AB 与α，β所成的角分别为θ和ϕ，则θϕ+的取值范围是( )A ．090θϕ︒<+<︒B ．090θϕ︒<+︒C ．90180θϕ︒<+<︒D ．90θϕ+=︒【解答】解：分别过点A ，B 向平面β，α作垂线，垂足为1A ，1B ，连接1BA ，1AB ， 由已知αβ⊥，所以1AA β⊥，1BB α⊥，所以1BAB θ∠=，1ABA ϕ∠=，由最小角定理得1BAA θ∠，而190BAA ϕ∠+=︒，故109090BAA θϕθ<+=+︒-∠︒， 当AB l ⊥时，90θϕ+=︒． 故选：B ．21．（2021•温州期中）在矩形ABCD 中，若8AB =，6AD =，E 为边AD 上的一点，13DE AD =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设直线A B '，A C '与平面BCDE 所成角分别为α，β，二面角A BE C '--的大小为γ，则( ) A ．αβγ<<B ．βγα<<C ．αγβ<<D ．βαγ<<【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形，BA A D ∴'⊥'，当A '点在底面BCD 上的射影O 落在BC 上时，平面A BC '⊥底面BCD ， 又DC BC ⊥，DC ∴⊥平面A BC '，DC BA ∴⊥'，BA ∴'⊥平面A DC '，在Rt △BAC '中，设2BA '=，则BC =2AC ∴'=，O ∴为BC 中点， 当A '点在底面上的射影E 落在BD 上时，A E BD '⊥，设2BA '=，则A D '=A E '=BE =， 要使点A '在平面BCD 上的射影F 在BCD ∆内（不含边界）， 则点A '的射影F 落在线段OE 上（不含端点）， 可知A EF ∠'为二面角A BD C '--的平面角θ， 直线A D '与平面BCD 所成角为A DF α∠'=， 直线A C '与平面BCD 所成的角为A CF β∠'=， 由题意得DF CF >，AC A D ∴'<'，且263A E '=A C '的最小值为2， sin sin sin A DF ACF A EO ∴∠'<∠'<∠'，αβγ∴<<．故选：A ．二．填空题（共4小题）22．（2015•黄冈模拟）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若10BC m =，20AC m =，45BCM ∠=︒，则tan θ的最大值为．（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）【解答】解：如图由点P 向BC 作垂线，连结AG ，则PAG θ∠=， 10BC =，20AC =， 60ACB ∴∠=︒，2cos 40020AG AC CG ACB CG AG ∠=+-， tan 40020PG CG AG AG CGCG θ====，∴当1202400CG =⨯，即40CG =时，tan θ取最大值，此时1600tan 4001600800θ==+- 即tanθ23．（2021•嘉兴一模）如图，已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，点E 满足3DE EC =，点P 在棱AC 上运动，设EP 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为．【解答】解：设棱长为4a ，(04)PC x x a =<，则PE = 设P 到平面BCD 的距离为h4xa=，h x ∴=，sin x θ∴==， 2x a ∴=时，sin θ．24．（2021•浙江期中）已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．【解答】解：连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ， 则ADO ∠是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，设棱长为2，则23DO BO BE ====AO ==3sin 2AO ADO AD ∴∠===∴直线PE 与平面BCD 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为AEO ∠，AE∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：sinAO AEO AE ∠===．25．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一动点，且满足1||||PD PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的最大值为．【解答】解：取1BC 的中点E ，作点1B 在平面11A BC 内的投影O ， 过O 作1//OF BC 交1A B 于点F ，连结1B D 、1A E ，以O 为坐标原点，分别以OF 、OE 、1OB 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图， 根据题意，得(0D ，0，-，1(0B ，0，B，0)，1(C，0)， 设(P x ，y ，0)，则(PD x =-，y -，-，1(PB x =-，y -，1(BC =-0，0)，1||||PD PB +=+，∴=1||5PB ∴=，即222x y +=，记α为直线1B P 与直线1BC 所成的角，则α即为直线1B P 与直线1AD 所成的角，1111113cos ,||||5PB BCPB BC PB BC ∴<>===，点P 的轨迹在平面11ABC 内是以O 为半径的单位圆，22x ，112cos ,5PB BC <>，又α为锐角，11100cos ,5PB BC ∴<>， ∴直线1B P 与直线1AD ． ．三．解答题（共1小题）26．（2021春•鹿城区校级期中）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）其中30BCM∠=︒，AC m=，25=．15AB m（1）试求ACM∠的正弦值；（2）当射程AP最短时，试求仰角的正切值tanθ．【解答】解：（1）过点A作AP CM⊥，垂足为P，连接BP，如图所示：因为平面ABC⊥平面BCM，平面ABC⋂平面BCM BC⊥，所以AB⊥=，且AB BC平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以AB CM⊥，又AB AP A =，所以CM ⊥平面PAB ，所以PC PB ⊥，又15AB cm =，25AC cm =，90ABC ∠=︒，所以20()BC cm =，Rt PBC ∆中，30BCP ∠=︒，所以cos3020)PC BC cm =︒==；Rt PAC ∆中，cos PC ACM AC ∠===，所以sin ACM ∠== （2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为N ，连接AN ，则PAN ∠即为直线AP 与平面ABC 所成的角θ，且tan PNANθ=，计算1sin30)2PN PC cm =︒==，所以222221(20)252BN PB PN =-=⨯-=，22221525250AN AB BN =+=+=，AN =所以tan PN AN θ===，即射程AP 最短时，仰角的正切值tan θ．。
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
论立体几何中的所成角问题
论立体几何中的所成角问题所成角问题是立体几何中很重要的一部分，它包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面和平面所成角。
讨论所成角问题主要是要讨论用什么方法去寻找这些角。
一、直线与直线所成角（就是指异面直线所成角）直线与直线所成角是立体几何的所成角问题中最简单的一种，只需要在固定一点之后把 两条直线都平移，使它们都过这一点就可以了。
通过平移就可以把求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线所夹角的问题了。
要注意的是求直线与直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条直线的所成角或者它的补角。
它的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π。
二、 直线与平面所成角直线与平面所成角的找法就是在直线上找到一点，然后往那个平面内做垂线，得到直线在那个平面内的射影。
线面成角就是直线与它在那个平面内的射影所夹的角。
直线与平面所成角不存在补角的问题。
它的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π。
三、 平面与平面所成角（就是所谓的二面角）面面成角是立体几何中的所成角问题中的重点，一般来说考试测验都会把二面角作为重点考核的对象，也是学生最头痛的一类问题。
我们大概可以把找二面角平面角的方法归结为以下几类：1、 按照定义来找二面角的平面角从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。
2、 利用三垂线定理来寻找二面角的平面角这个方法是寻找二面角的平面角最常用的。
首先要找到一条垂线，这条垂线指的是要垂直于其中的一个面。
垂线上有两点是我们要关注的，一点是垂足，另外一点是它与另一个面的交点。
其次我们可以过这两点中的任意一点在那个平面内做棱的垂线，再连接垂足和另外一点，得到一条我们连接的线段。
我们找到的二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和我们所连接的线段所夹的角。
这种方法不适用与两个互相垂直的面。
3、 二面角中的特殊情况有时候我们可以通过证明两个平面是垂直的以得到它们的二面角的平面角是90度。
人教A版必修二立体几何中的三类角的求解基础练
立体几何中的三类角的求解专基础练习一、 线线角1. 如图，在正方体中，E ，F 分别是的中点，则异面直线AE 与BF所成角的余弦值为___________．1题图 2题图 3题图2. 如图，在长方体 中， 、 分别是棱 、 的中点，若 ，则异面直线 和 所成角为___________．3. 如图，线段AB 的两端在直二面角l αβ--的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB 与l 所成的角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为（ ）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°4题图 5题图5. ★已知 ， ， ， 是空间不共面的四个点，且 ， ，则直线 与 （ ）A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定6. 将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°NMDCB C 11A 1D 1AFECDB7. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为___________．7题图 8题图 10题图8. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面ABCD ，，，则异面直线PB 与AC 所成的角为___________． 9. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________． 10. 如图，在直三棱柱中，，1AC BC ==，则异面直线与AC 所成角的余弦值是______．二、 线面角11. 在正方体 中，直线 与 所成角大小为___________． 12. 已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为___________．13. 在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的余弦值等于______．14. 如图，在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是___________．14题图 15题图 16题图15. 如图，在三棱锥中，侧面底面BCD ，，，，，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为___________． 16. 如图，在矩形ABCD 中，，将沿折起，使得D 折起的位置为，且在平面ABC 的射影恰好落在AB 上，则直线与平面ABC 所成角的正弦值为___________．17. 如图，在三棱锥 中，底面ABC 为等边三角形，，，平面平面ABC ，则S C 与平面ABC 所成角的大小是______ ．17题图 18题图 19题图18. 如图，二面角的大小是，线段，AB 与l 所成的角为则AB与平面所成的角的正弦值是______．19. ★在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则直线 与平面所成角的大小为__________．三、 面面角20. 如图，锐二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________．20题图 21题图CB21.在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是___________．22.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为___________．23.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为___________．24.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABD25.等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．26.如图，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为___________．26题图27题图27.三棱锥的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为___________．立体几何中的各类角的求解专练（答案）一、 线线角1. 如图，在正方体中，E ，F 分别是的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为 DA ．B ．C ．D ．2. 如图，在长方体 中， 、 分别是棱 、的中点，若 ，则异面直线 和 所成角为( D )A ．B ．C ．D ．【解析】∵M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，∴MN ∥AD 1， ∵∠CMN =90∘，∴CM ⊥MN ，∴CM ⊥AD 1， 由长方体的几何特征,我们可得CD ⊥AD 1， ∴AD 1⊥平面CDM ，故AD 1⊥DM 即异面直线AD 1与DM 所成的角为90∘3. 线段AB 的两端在直二面角l αβ--的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB 与l 所成的角是( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【解析】设AB=a ，在平面α内，作AA′⊥l 于A′， 则AA′⊥β，连A′B ，则∠ABA′=30°． 在Rt △AA′B 中，AB=a ，所以AA′=a ． 同理作BB′⊥l 于B′，连AB′，则∠BAB′=30°， 所以BB′=a ，AB′=a ，所以A′B′= ′ ′ =a ， 过B 作BCA′B′．连接A′C ，则A′CBB′，连接AC ，在Rt △AA′C 中，AC= ′′=a ． 由BC ⊥平面AA′C ，所以△ABC 为直角三角形，且AC=BC ， 所以∠ABC=45°，为l 与AB 所成角．4. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，111A则EF 与CD 所成的角为( D )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【解析】设G 为AD 的中点，连接GF GE ，， 则GF GE ， 分别为ABD ，三角形ACD 的中位线．则GF AB ，且112GF AB GE CD ==，，且122GE CD ==， 则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数 又EF AB GF AB EF GF ⊥∴⊥，， 则GEF 为直角三角形，1290GF GE GFE ==∠=︒，， 则在直角GEF 中，1302sin GEF GEF ∠=∴∠=︒．5. ★已知 ， ， ， 是空间不共面的四个点，且 ， ，则直线 与 （ A ）．A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定 【解析】 过点 作 平面 ，垂足为 ．∵ ，由三垂线定理可得 ．同理 ， ，所以 ．6. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( B )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角． 在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC则S＝3×(3)2＝33，V ABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝，∴PO ＝．又AO ＝31，∴tan ∠P AO ＝0PO A =P AO ＝60°． 7. 将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( D )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90° 8. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面ABCD ，，，则异面直线PB 与AC 所成的角为 C A ．B ．C ．D ．【解析】由题意：底面ABCD 为正方形，平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，，，，．是平行四边形，，所以MCA ∠就是异面直线PB 与AC 所成的角．设，在三角形ACM 中，，，三角形ACM 是等边三角形． 所以MCA ∠等于，即异面直线PB 与AC 所成的角为．9. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 CA ．B ．C ．D ．10. 如图，在直三棱柱中，，1AC BC ==，则异面直线与AC 所成角的余弦值是______．【答案】二、 线面角11. 如图，在正方体 中，直线 与 所成角大小为_____【答案】12.已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为CA．B．C．D．13.在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于______．【答案】14.如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ A ）A．B．C．D．15.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为AA．B．C．D．【解析】解：面底面BCD，，取DB中点O，则面BCD，就是直线AC与底面BCD所成角．，，，，在中，，在中，．直线AC与底面BCD所成角的大小为．16.如图，在矩形ABCD中，，将沿折起，使得D折起的位置为，且在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线与平面ABC所成角的正弦值为BA．B．C．D．【解析】设在平面ABC的射影为O，则又因为，所以平面，，即，，，，即，在直角三角形中由等面积可得：，，直线与平面ABC所成角的正弦值为．17.如图，在三棱锥中，底面ABC为等边三角形，，，平面平面ABC，则S C与平面ABC所成角的大小是______ ．【答案】【解析】取AB的中点O，连接SO，CO，底面ABC为等边三角形，，，，面平面ABC，平面ABC，即是SC与平面ABC所成的角，，，，，，则直角三角形SOC中，，则，故答案为：．18.如图，二面角的大小是，线段，AB与l所成的角为则AB与平面所成的角的正弦值是______．【答案】【解析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线垂足为D∠为二面角的平面角，为连接AD，有三垂线定理可知AD BD⊥，故ADC又由已知，∠为AB与平面所成的角连接CB，则ABC设，则，；故答案为．19.★在三棱锥中，平面，，，则直线与平面所成角的大小为__________．【答案】【解析】作AD⊥PC，连接BD，∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∵AD⊂平面P AC，∴BC⊥AD，∵AD⊥PC，BC∩PC＝C，∴AD⊥平面PBC，∴∠ABD为AB与平面PBC所成角，在直角△P AC中，由等面积可得AD＝＝，在直角△ADB中，sin∠ABD＝＝=，∠ABD=∴AB与平面PBC所成的角为，故答案为：．三、面面角20.如图，锐二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是BA．B．C．D．【解析】过B点作，且．，．，，是二面角的平面角，且面DBE，，．，，，．21.在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（ D ）A．B．C．D．【解析】因为平面⊂平面，∠即为二面角的平面角，又，所以，故为直角三角形，∠，二面角的平面角是．22.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°23.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(C)A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】如图，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°知A ′C ．∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝2，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角．∵AC ＝1，MC ＝MA ＝2，∴MC 2＋MA 2＝AC 2，∴∠CMA ＝90°． 24. 如图所示,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD 中,下列说法正确的是( D )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABD【解析】因为,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，所以45ABD ADB ∠=∠=︒，所以90BDC ∠=︒，所以BD CD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD BD =, CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ．25. 等腰直角△ABC 中，AB =BC =1，M 为AC 的中点，沿BM 把△ABC 折成二面角，折后A与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为_____________．【答案】【解析】结合题意可知 ,∠∠ ∠ ∠所以 ,而发现所以∠ ,结合二面角的找法:如果两平面内两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故∠为所求的二面角,为26.如图，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为DA．B．C．1 D．27.三棱锥的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为AA．B．C．D．【解析】取PB中点M，连接AM，CM，∆PAB、∆PBC都是边长为2的正三角形，，，则∠AMC为二面角的平面角．在中，由，可得，同理可得，在中，由，得．二面角的大小为．。
8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 - 副本
§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝ . 3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．知识拓展利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．( ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( ) 题组二 教材改编2．[P104T2]已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 3．[P117A 组T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．题组三 易错自纠4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.225．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的角为______．题型一 求异面直线所成的角典例 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练 (2017·广东五校第一次诊断)如图所示，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2. (1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成角的余弦值的大小．题型二 求直线与平面所成的角典例 (2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．思维升华 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练 如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．题型三 求二面角典例 (2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M-AB-D 的余弦值．思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练 (2017·天津)如图，在三棱锥P-ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C-EM-N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．题型四 求空间距离(供选用)典例 (2018·株洲模拟)如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．思维升华 求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．跟踪训练 (2018·武昌质检)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求直线PB 与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．利用空间向量求解空间角典例(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．1．(2018·抚顺调研)在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC 与B1D所成角的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π22.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则PD→·PB1→的最小值为()A.52B．－14 C.14D．－523．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12 B.23 C.33 D.224.(2017·西安调研)已知六面体ABC—A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为()A．45°B．60°C．90°D．30°5．(2018·大同模拟)设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.32 B.22C.223 D.23 36．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( ) A ．150° B ．45° C ．60° D ．120°答案 C解析 如图所示，二面角的大小就是〈AC →，BD →〉． ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →) ＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD →，∴CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.因此AC →·BD →＝24，cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝12，又〈AC →，B D →〉∈[0°，180°]， ∴〈AC →，BD →〉＝60°，故二面角为60°.7．(2017·昆明质检)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是____________．答案 60°解析 以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2， 则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∵异面直线所成角的范围是(0,90°]，∴EF 和BC 1所成的角为60°.8．(2018·南宁质检)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________． 答案 23解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.9．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________． 答案23解析 方法一 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求锐二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.方法二 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DA ＝1，由已知条件得 A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13， F ⎝⎛⎭⎫0，1，23，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13， AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)， 取平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)， 则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝31111，tan θ＝23. 10．(2017·河北石家庄二模)设二面角α—CD —β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC ＝45°，则AB 与平面β所成角的大小为________． 答案 30°解析 如图，作AE ⊥平面β于点E ，在平面β内过E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ， ∵AE ⊥CD ，AE ∩EF ＝E ， ∴CD ⊥平面AEF ，∴AF ⊥CD ，所以∠AFE 为二面角α—CD —β的平面角， 所以∠AFE ＝45°，因为∠ABC ＝45°， 所以∠BAF ＝45°.连接BE ，则∠ABE 为AB 与平面β所成的角． 设AE ＝m ，则EF ＝m ，AF ＝2m ，BF ＝2m ，AB ＝2m ， sin ∠ABE ＝AE AB ＝12，所以又因为∠ABE 为锐角，所以∠ABE ＝30°.11．(2017·洛阳二模)已知三棱锥A —BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值． (1)证明 作PG ∥BD 交CD 于G ，连接AG . ∴CG GD ＝CP PB ＝2，∴GD ＝13CD ＝233. ∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥DC ，在Rt △ADG 中，tan ∠GAD ＝33， ∴∠DAG ＝30°，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝4＋12＝16， ∴AC ＝4，又E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ＝2， 又AD ＝2，∴∠ADE ＝60°，∴AG ⊥DE . ∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ADC ，∴BD ⊥平面ADC ，∴PG ⊥平面ADC ，∴PG ⊥DE .又∵AG ∩PG ＝G ，AG ，PG⊂平面AGP ，∴DE ⊥平面AGP ，又AP ⊂平面AGP ，∴AP ⊥DE .(2)解 以D 为坐标原点，DB ，DC ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，∴DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，AC →＝(0,23，－2)．设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，令x ＝3，则n ＝(3，－3，3)． 设直线AC 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AC →，n 〉|＝|AC →·n ||AC →||n |＝|－6－6|421＝217，∴AC 与平面DEF 所成角的正弦值为217. 12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，点E 在AD 上，且AE ＝2ED .(1)已知点F 在BC 上，且CF ＝2FB ，求证：平面PEF ⊥平面P AC ；(2)当二面角A —PB —E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面P AB 所成的角为45°？(1)证明 ∵AB ⊥AC ，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝45°， ∵底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠ACD ＝45°，即AD ＝CD ，AC ＝2AD ， 又AB ⊥AC ，∴BC ＝2AC ＝2AD ，∵AE ＝2ED ，CF ＝2FB ，∴AE ＝BF ＝23AD ，又∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AB ∥EF ， ∴AC ⊥EF ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥EF ， ∵P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， ∴EF ⊥平面P AC ，又EF ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面P AC . (2)解 ∵P A ⊥AC ，AC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ， P A ，AB ⊂平面P AB ，∴AC ⊥平面P AB ，则∠APC 为PC 与平面P AB 所成的角， 若PC 与平面P AB 所成的角为45°， 则tan ∠APC ＝ACPA＝1，即P A ＝AC ＝2，取BC 的中点G ，连接AG ，则AG ⊥BC ，以A 为坐标原点，AG ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A (0,0,0)，B (1，－1,0)，C (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，0，P (0,0，2)， ⎝⎛⎭⎫1，－53，0，EP →＝∴EB→＝⎝⎛⎭⎫0，－23，2，设平面PBE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·EP →＝0，即⎩⎨⎧x －53y ＝0，－23y ＋2z ＝0，令y ＝3，则x ＝5，z ＝2，∴n ＝(5,3，2)． ∵AC →＝(1,1,0)是平面P AB 的一个法向量，cos 〈n ，AC →〉＝5＋32×6＝223，即当二面角A —PB —E 的余弦值为223时，直线PC 与平面P AB 所成的角为45°.13．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 方法一 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°. 在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)． 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 故选C.14．(2018·长春一检)已知三棱锥S —ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，Q 是三棱锥S —ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________． 答案433解析 将三棱锥S —ABC 放入棱长为2的正方体中，则到平面ABC 的距离最大的点应在过球心且和平面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，所以2R ＝23(R 为外接球的半径)，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为23×2R ＝23×23＝433.15．(2017·安徽皖南八校联考)已知三棱锥P —ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P —ABC 的体积最大时，二面角P —AB —C 的大小为θ，则sin θ等于( ) A.23 B.53 C.63D.73答案 C解析 如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ，则0<d ≤2，因为AC 为球的直径，所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P —ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P —ABC 取得最大值，此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ，所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ，连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ，所以∠PDO 为二面角P —AB —C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6，则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63.故选C.16．(2017·浙江)如图，已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CRRA ＝2，分别记二面角D —PR —Q ，D —PQ —R ，D —QR —P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α答案 B解析 如图①，作出点D 在底面ABC 上的射影O ，过点O 分别作PR ，PQ ，QR 的垂线OE ，OF ，OG ，连接DE ，DF ，DG ，则α＝∠DEO ，β＝∠DFO ，γ＝∠DGO . 由图可知它们的对边都是DO ， ∴只需比较EO ，FO ，GO的大小即可．如图②，在AB 边上取点P ′，使AP ′＝2P ′B ，连接OQ ，OR ，则O 为△QRP ′的中心．设点O 到△QRP ′三边的距离为a ，则OG ＝a ， OF ＝OQ ·sin ∠OQF ＜OQ ·sin ∠OQP ′＝a ， OE ＝OR ·sin ∠ORE ＞OR ·sin ∠ORP ′＝a ，∴OF ＜OG ＜OE ，∴OD tan β＜OD tan γ＜ODtan α，∴α＜γ＜β. 故选B.。
立体几何之所成角知识点(人教A版2019必修第二册)
立体几何之所成角屾一1异面直线所成的角＠范围co o , 900] ;＠作异面直线所成的角：平移法。
如图，在空间任取一点0，过O作a'II a, b'I I b，则a',b ，所成的0角为异面直线a,b所成的角。
特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角。
． ,b2线面所成的角O定义如下图，平面的一条斜线（直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
产一条直线垂直平面，则0= 90°;一条直线和平面平行或在平面内，则0= 0° 0 ＠范围[0° I 90°]3二面角＠定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角的棱l上任取一点0，以点0为垂足，在半平面a和fJ内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB 构成的LAOB叫做二面角的平面角。
＠范围[0°,180°]。
硌)＿【题型一】异面直线所成的角【典题1】如图，正方体ABCD—A1凡C1D1中，点E,F分别是AA i,AD的中点，则CD1与EF所成角为（） AEcAA.0°B.45°C.60°D.90°【解析】连结A1D、BD、A1B,·:正方体ABCD—A1B1C1趴中，点E,F分别是AA1,AD的中点，EF II A1D,·: A1B II D1C, :. L DA1B是CD1与EF所成角，•: A1D = A1B = BD 1 :. L DA1B = 60° a :. CD1与EF所成角为60°a故选C。
AEcA【点拨】O找异面直线所成的角，主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面，可平移一条直线也可以同时平移两条直线；＠平移时常利用中位线、平行四边形的性质；【典题2】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，0是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1,AD 的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等千——°D,A IB【解析】取BC的中点G。
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异面直线所成的角：
经过空间任意一点，作两条异面直线
的平行线，Leabharlann 两条相交直线所成的锐角(直角)即为两条异面直线所成的角。范围： 0,
2
练习1、在正方体AC1中，求异面 直线A1B和B1C、 B1D1所成的角？
D1 A1
C1 A1B和B1C所
D
C
方法选择的一般顺序是： 1、先考虑利用三垂线定理来寻找二面角 的平面角； 2、再考虑二面角中的特殊情况（直二面 角）或者通过定义、面积比等方法来找 到二面角的平面角。
按照这个思路来找二面角的平面角会 使得解题更加方便。
例：四棱锥P－ABCD的底边是边长为1的
正方形，PD垂直于底面，PB＝ 3
（1）求证：BC PC
P 方法一：
方法二：
M D
A
C B
（1）方法一：
P
利用三垂线定理
M D
A
C B
（1）方法二：
P
线面垂直 线线垂直 M
D A
C B
例：四棱锥P－ABCD的底边是边长为1的
正方形，PD垂直于底面，PB＝ 3
（2）求面APD与面BPC所成
二面角的大小
P
方法一：
方法二： 方法三：
O
二面角的求法
(1)三垂线法：利用三垂线定理作出平 面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法：通过做二面角的棱的垂面， 两条交线所成的角即为平面角
(3)射影法:若多边形的面积是S，它在 一个平面上的射影图形面积是S`，则 二面角满足:COS = S`÷ S
三垂线法
垂面法
射影法 A
B
O
异面直线DM与PB所成角的大
P
小
方法一：
M D
A
方法二：
C B
（3）方法一 三垂线法
P
M D
A
B
（3）方法二 平移法
P
M D
A
B
练习：在正方体AC1中，求二面角D1— AC—D的大小？
D1
C1
A1
B1
DO
C
A
B
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC
（1）求二面角P-BC-A的大小
方法四：
M D
A
C B
（2）方法一
作出二面角的棱 来确定平面角
P
M D
A
C B
（2）方法二 垂面法
P
M D
A
C B
（2）方法三 射影法
P
M D
A
C B
（2）方法四 补形法
P
A1
D A
C B
例：四棱锥P－ABCD的底边是边长为1的
正方形，PD垂直于底面，PB＝ 3
（3）若设PA的中点为M，求
B1
成的角为60°
D A
C A1B和B1D所
B
成的角为90°
练习2：在正方体AC1中，M,N分别 是A1A和B1B的中点，求异面直线 CM和D1N所成的角？
D1
C1
A1
B1
M D
A
N C
B
斜线与平面所成角 ：
平面的一条斜线和它在平面内的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角。范围：0,
2
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时，
直线与平面所成的角
是0°
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
B
C
练习、若直线 l与平面所成的角为60 ° ，则这条 直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 为 60° ，最大的角为 90° 。
（2）求二面角A-PC-B的大小
P D
AE
53
BD= 2
DE= 15
8
C
3
B
COS = 4
l1
O
例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1
C1
A1
B1
O
D A
C B
二面角：
从一条直线出发的两个半平面所 形成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角