心理统计学概率分布
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（1）成绩在90以上有多少人？ （2）成绩在80－90之间有多少人？ （3）60分以下有多少人？
•和
npq
做对题数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
可能结果数
概率
二项分布的应用
1
0.001
10
0.010
45
0.044
120
0.117
210
0.205
252
0.246
210
0.205
120
0.117
45
0.044
10
0.010
1
0.001
1024
1.000
累积概率 P{X≤x} 0.001 0.011 0.055 0.172 0.377 0.623 0.828 0.945 0.989 0.999 1.000
• 但是，另一位数学家罗伯瓦提出异议：如果第一次 正面朝上，则甲已经获胜，无需再掷第二次。因此
只会产生3种结果：Ω= { H, TH, TT }，故n = 3， m
= 2。故A胜的概率为2/3。
• 谁对？
概率问题
• 某种事故的发生概率微乎其微，但是天 长日久总会发生的
• 要求：用一个式子表示上述说法 • 解：设每天事故的发生概率为p，则不发
概率分布
• 间断变量的概率分布——二项分布 (binominal distribution)、泊松分布、超 几何分布……
• 连续变量的概率分布——(normal
distribution)、指数分布、Γ分布 ……
• (a + b)2= • (a + b)3= • (a + b)4=
(a + b)n
问题
正态分布的简单应用
• 标准分数体系 T = KZ + C
• 确定录取分数线 • 确定等级评定的人数 • 品质评定数量化
品质评定数量化
品质评定数量化
练习题
• 某年高考平均分500，标准差100，考分 呈正态分布，某考生得到650分。设当年 高考录取率为10％，问该生能否被录取？
练习题答案
• Z = 1.5, P = .933 • 录取分数线：500+1.28*100=628
当p=.9 q=.1时
检验结果 AAA AAB ABA BAA ABB BAB BBA BBB 合计
概率 ppp ppq ppq ppq pqq pqq pqq qqq
结果 .729 .081 .081 .081 .009 .009 .009 .001 1.00
二项分布的平均数和标准差
• 当二项分布接近于正态分布时，在n次二 项实验中成功事件出现次数的平均数和 标准差分别为： μ=np
二项分布图
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0 0 2 4 6 8 10
二项分布图
• 从二项分布图可以看出，当p=q，不管n 多大，二项分布呈对称形。
• 当n很大时，二项分布接近于正态分布。 当n趋近于无限大时，正态分布是二项分 布的极限。
当p≠.5时
• 设某厂产品合格率为90%，抽取3个进行 检验，求合格品个数分别为0，1，2，3 的概率？
• 一个学生全凭猜测答2道是非题，则答对 0、1、2题的概率是多大？
• 如果是3道题、4道题呢？
2道是非题的情况
答对2题 1种
TT TF, FT
FF
答对1题 2种
答对0题 1种
3道是非题的情况
TTT TTF, TFT, FTT TFF, FTF, FFT
FFF
答对3题 答对2题 答对1题 答对0题
正态分布
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0
-3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0
0.6 1.2 1.8 2.5
正态分布表
• 根据Z分数查概率 • 根据概率查Z分数
练习题
• 设X~N(μ,σ2 )，求以下概率： （1）P{μ-σ<X<= μ+σ} （2）P{μ-3σ<X<= μ+3σ} （3）P{μ-1.96σ<X<= μ-σ} （4） P{X< μ+σ}
1种
3种
3种
1种
4道是非题的情况
TTTT TTTF, TTFT, TFTT,FTTT TTFF, TFFT, FFTT,TFTF, FTTF, FTFT TFFF, FTFF, FFTF, FFFT
FFFF
答对4题 答对3题 答对2题 答对1题 答对0题
1种
4种
6种
4种
ห้องสมุดไป่ตู้
1种
二项试验与二项分布
满足以下条件的试验称为二项试验： • 一次试验只有两种可能结果，即成功和
正态分布
40 35 30 25 20 15 10
5 0
39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 95 100
正态分布
• 正态分布函数
Y
1
e(X22)2
2
标准正态分布
• 标准正态分布(standard normal distribution)
函数
Y
1
Z2
e2
2
• 其中 Z=(X-μ)/σ
失败； • 各次试验相互独立，互不影响 • 各次试验中成功的概率相等。
二项分布函数
• 用n次方的二项展开式来表达在n次二项试 验中成功事件出现不同次数（X=0,1,…,n） 的概率分布叫做二项分布。
• 二项展开式的通式就是二项分布函数，运 用这一函数式可以直接求出成功事件恰好 出现X次的概率：
P (X )C n XpXqnXX !(n n !X )p !XqnX
概率问题
• A、B两人约定：将一枚硬币连续投掷2次，如果其 中有一次或一次以上正面朝上，则A胜，否则为B 胜。求A胜的概率是多大？
• 【解】数学家费马曾提出这样一个解法：如果用H 代表正面朝上，T代表反面朝上，则基本空间Ω= { HH, HT, TH, TT }，即两次投掷的结果必然包括4 种情况，其中3个结果属于“有一次或一次以上正 面朝上”的情况，故A胜的概率为3/4。
生事故的概率为1 – p，即使p→0，1 – p < 1，故……
1lim 1pn1 n
练习题
• 已知X~N(72,122)，问25%和75%两个百 分位数之差？百里挑一，X至少是多少？
答案
• 80.04－63.96=16.08 • 2.33, 99.96
练习题
• 某地区47000人参加高考，物理学平均分 为57.08，标准差为18.04。问：
•和
npq
做对题数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
可能结果数
概率
二项分布的应用
1
0.001
10
0.010
45
0.044
120
0.117
210
0.205
252
0.246
210
0.205
120
0.117
45
0.044
10
0.010
1
0.001
1024
1.000
累积概率 P{X≤x} 0.001 0.011 0.055 0.172 0.377 0.623 0.828 0.945 0.989 0.999 1.000
• 但是，另一位数学家罗伯瓦提出异议：如果第一次 正面朝上，则甲已经获胜，无需再掷第二次。因此
只会产生3种结果：Ω= { H, TH, TT }，故n = 3， m
= 2。故A胜的概率为2/3。
• 谁对？
概率问题
• 某种事故的发生概率微乎其微，但是天 长日久总会发生的
• 要求：用一个式子表示上述说法 • 解：设每天事故的发生概率为p，则不发
概率分布
• 间断变量的概率分布——二项分布 (binominal distribution)、泊松分布、超 几何分布……
• 连续变量的概率分布——(normal
distribution)、指数分布、Γ分布 ……
• (a + b)2= • (a + b)3= • (a + b)4=
(a + b)n
问题
正态分布的简单应用
• 标准分数体系 T = KZ + C
• 确定录取分数线 • 确定等级评定的人数 • 品质评定数量化
品质评定数量化
品质评定数量化
练习题
• 某年高考平均分500，标准差100，考分 呈正态分布，某考生得到650分。设当年 高考录取率为10％，问该生能否被录取？
练习题答案
• Z = 1.5, P = .933 • 录取分数线：500+1.28*100=628
当p=.9 q=.1时
检验结果 AAA AAB ABA BAA ABB BAB BBA BBB 合计
概率 ppp ppq ppq ppq pqq pqq pqq qqq
结果 .729 .081 .081 .081 .009 .009 .009 .001 1.00
二项分布的平均数和标准差
• 当二项分布接近于正态分布时，在n次二 项实验中成功事件出现次数的平均数和 标准差分别为： μ=np
二项分布图
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0 0 2 4 6 8 10
二项分布图
• 从二项分布图可以看出，当p=q，不管n 多大，二项分布呈对称形。
• 当n很大时，二项分布接近于正态分布。 当n趋近于无限大时，正态分布是二项分 布的极限。
当p≠.5时
• 设某厂产品合格率为90%，抽取3个进行 检验，求合格品个数分别为0，1，2，3 的概率？
• 一个学生全凭猜测答2道是非题，则答对 0、1、2题的概率是多大？
• 如果是3道题、4道题呢？
2道是非题的情况
答对2题 1种
TT TF, FT
FF
答对1题 2种
答对0题 1种
3道是非题的情况
TTT TTF, TFT, FTT TFF, FTF, FFT
FFF
答对3题 答对2题 答对1题 答对0题
正态分布
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0
-3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0
0.6 1.2 1.8 2.5
正态分布表
• 根据Z分数查概率 • 根据概率查Z分数
练习题
• 设X~N(μ,σ2 )，求以下概率： （1）P{μ-σ<X<= μ+σ} （2）P{μ-3σ<X<= μ+3σ} （3）P{μ-1.96σ<X<= μ-σ} （4） P{X< μ+σ}
1种
3种
3种
1种
4道是非题的情况
TTTT TTTF, TTFT, TFTT,FTTT TTFF, TFFT, FFTT,TFTF, FTTF, FTFT TFFF, FTFF, FFTF, FFFT
FFFF
答对4题 答对3题 答对2题 答对1题 答对0题
1种
4种
6种
4种
ห้องสมุดไป่ตู้
1种
二项试验与二项分布
满足以下条件的试验称为二项试验： • 一次试验只有两种可能结果，即成功和
正态分布
40 35 30 25 20 15 10
5 0
39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 95 100
正态分布
• 正态分布函数
Y
1
e(X22)2
2
标准正态分布
• 标准正态分布(standard normal distribution)
函数
Y
1
Z2
e2
2
• 其中 Z=(X-μ)/σ
失败； • 各次试验相互独立，互不影响 • 各次试验中成功的概率相等。
二项分布函数
• 用n次方的二项展开式来表达在n次二项试 验中成功事件出现不同次数（X=0,1,…,n） 的概率分布叫做二项分布。
• 二项展开式的通式就是二项分布函数，运 用这一函数式可以直接求出成功事件恰好 出现X次的概率：
P (X )C n XpXqnXX !(n n !X )p !XqnX
概率问题
• A、B两人约定：将一枚硬币连续投掷2次，如果其 中有一次或一次以上正面朝上，则A胜，否则为B 胜。求A胜的概率是多大？
• 【解】数学家费马曾提出这样一个解法：如果用H 代表正面朝上，T代表反面朝上，则基本空间Ω= { HH, HT, TH, TT }，即两次投掷的结果必然包括4 种情况，其中3个结果属于“有一次或一次以上正 面朝上”的情况，故A胜的概率为3/4。
生事故的概率为1 – p，即使p→0，1 – p < 1，故……
1lim 1pn1 n
练习题
• 已知X~N(72,122)，问25%和75%两个百 分位数之差？百里挑一，X至少是多少？
答案
• 80.04－63.96=16.08 • 2.33, 99.96
练习题
• 某地区47000人参加高考，物理学平均分 为57.08，标准差为18.04。问：