用YΔ等效变换巧算复杂电路的等效电阻

用Y/Δ等效变换巧算复杂电路的等效电阻

钟佩文

重庆市潼南中学，重庆 潼南 402660

摘要：在某些复杂电路中，几个电阻既非串联，又非并联，如果使用常规方法计算它们的等效电阻，那么将会是一件十分困难繁琐的事情。本文采用Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换两种方法，将复杂电路中的Y 形联接与Δ形联接的电阻进行合理地互换，高效精确地计算电路的等效电阻，以达到事半功倍的效果。

关键词：Y-Δ等效变换；Δ-Y 等效变换；Y 形联接；Δ形联接；等效电阻

在电路分析中，经常会遇到几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路。要计算这个电路的等效电阻，如果单纯地采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么运算过程将会非常困难繁琐。本文重点介绍两种方法——Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换，旨在找出复杂电路中Y 形联接与Δ形联接的电阻，将其进行合理地互换。可使看似毫无规律的电阻呈现出简单的串、并联关系，在电路串并联基础上计算等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。

如图1中a 、b 所示，a 图为Y 形联接的电阻，b 图为Δ形联接的电阻，它们之间等效变换的条件是：仍然保持电路中其余各个部分的电流和电压不变，即要求对应端（如1,2,3）流入或流出的电流（如I 1,I 2,I 3）一一相等，对应端之间的电压（如U 12,U 23,U 13）一一相等。

当满足上述等效变换的条件时，在Y 形联接与Δ形联接两种接法中，对应

2

a

3 I 1

I 3

b

图1 Y 形联接与Δ形联接的电阻

的任意两端的等效电阻也必然相等，即为：

()23

131223131221R R R R R R R R +++=+

()23

131213122332R R R R R R R R +++=

+ ①

()23131223121331R R R R R R R R +++=

+

联立三式，可以解出：将Y 形联接等效变换为Δ形联接时，

3

3

1322112R R R R R R R R ++=

13

1322123R R R R R R R R ++=

②

2

3

1322113R R R R R R R R ++=

将Δ形联接等效变换为Y 形联接时，

23

131213

121R R R R R R ++=

23

131223

122R R R R R R ++=

③

23

131223

133R R R R R R ++=

1、Y-Δ等效变换的实际应用 例题1 求解图2之中a 、b

解析： 在图2所示的电路图Ⅰ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，

图2 电路图Ⅰ

b

图3 a 、b 两点之间经过Y-Δ等效变换

的电路图Ⅰ

如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻将会变得非常复杂繁琐。因此不难另辟蹊径，图2中虚线部分的3个电阻是Y 形联接，使用Y-Δ等效变换以及等效变换公式②，将其转换为图3中虚线部分Δ形联接的3个电阻。在图3所示的电路图Ⅰ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的等效电阻为：

R R

R R R R R R R R R R R R R R R R R R ab =+⨯+

+⨯+⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⨯++⨯=3333333333 ④

2、Δ-Y 等效变换的实际应用

例题2 求解图4之中a 、b 两点之间的等效电阻。

解析： 本例题与例题1比较类似，在图4所示的电路图Ⅱ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻也将会变得非常复杂繁琐。因此不难另辟蹊径，图4中虚线部分的3个电阻是Δ形联接，使用Δ-Y 等效变换以及等效变换公式③，将其转换为图5中虚线部分Y 形联接的3个电阻。在图5所示的电路图Ⅱ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的等效电阻为：

R R

R R R R R R R R R ab =+++⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3

3333 ⑤

例题3 在图6中，Δabc 为一个等边三角形，d 、e 、f 为各边上的中点，分别求解ab 、bc 、ac 两点之间的等效电阻。

解析：图6为一个等边三角形的网络电路，各个电阻R 之间没有明显的串、并联关系，采用常规方法显然无法求解3个端点a 、b 、c 之间的等效电阻。观察上

图5 a 、b 两点之间经过Δ-Y 等效变换

的电路图Ⅱ

图4 电路图Ⅱ

述网络电路中电阻联接方式的特征，不难发现等边三角形Δabc 里面含有3个小的等边三角形Δade 、Δdbf 与Δefc ，它们都是由3个阻值均为R 的Δ形联接的电阻组成。因此可以借助于Δ-Y 等效变换以及等效变换公式③，将整个网络电路转换为图7所示的Y 形联接电路。在图7所示的电路图Ⅲ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的总电阻为：

91034

3

2343233R R R R R R R R ab =+⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=总 ⑥ 同理可得： 9

10R

R R bc ac =

=总总 因为等边三角形Δabc 的三边具有轴对称性，所以ab 、bc 、ac 两点之间的等效电阻各占相应总电阻的一半，即为：

9

52R

R R R R ab bc ac ab ====总 ⑦ 由此可见，当求解几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路的等效电阻问题时，需要深入挖掘该电路中电阻联接方式的特征，找出Y 形联接或Δ形联接的电阻。然后采用Y-Δ等效变换或Δ-Y 等效变换进行合理地互换，整理化简为简单的串、并联关系的电阻，最后运用常规方法高效精确地计算它们的等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。 参考文献

[1] 赵凯华，张维善.电磁学[M].高等教育出版社,1985. [2] 秦曾煌. 电工学上册电工技术[M].高等教育出版社,1999.

f

c 图6 电路图Ⅲ

R

R

b

c

图7 Δade 、Δdbf 与Δefc 经过Δ-Y 等效变换

的电路图Ⅲ