三角函数常用公式公式及用法

a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2ab cos A
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
②、角式余弦定理
cos A c2 b2 a2 2bc cos B a2 c2 b2 2ac cosC b2 a2 c2 2ab
作用：将由公式一转化到 0 ～ 2 这个范围内的角转化成锐角 0 ～
公式五： sin(
公式六： sin(


2
-) )
cos(

2
这个范围. 2
-) )
2
cos(

2
作用：这两组公式的作用就是在前四组公式化简的基础上，将函数化成异名三角函数进行求值。
9．二倍角公式：(含万能公式) ① sin 2 2 sin cos
三角函数常用公式及用法
珠海市金海岸中学
1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法： S= { | k 3600 , k Z} ，或者 S { | 2k , k Z} 用法：用来将任意角转化到 0 ～ 2 的范围以便于计算。 公式中 k 的求法： 如是正角就直接除以 360 或2，得到的整数就是我们 如果是 要求的k，剩余的角就是公式中 的；

2
)上递增
奇偶性
奇佶函数
偶函数
奇函数
周
期 对称中心：
T= 2
对称中心： 对称轴：
T= 2
对称中心： 对称轴：
T=
对称性
对称轴：
注意：1、表格中的 k 都表示整数； 2、 这些都是标准三角函数的性质， 其它扩展性的三角函数性质与这些标准函数是一样的， 只是变量有所变化而已，在解题时我们必须把非标准函数的变量整体代入标准函数的相关性 质求解，所得到的就是我们所要求解函数的结论。 8、诱导公式
模式一： （先平移后伸缩，即先平移而后再变换周期） 1.先把 y=sinx 的图象上所有的点向左(φ >0)或右(φ <0)平行移动| φ |个单位; 2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0< ω <1)到原来的 1/ ω 倍(纵坐标不 变); 3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变); 4、再把图像向上（k>0）或者向下(k<0）平移|k|个单位。 模式二： （先伸缩后平移，即先变换周期而后再平移） 1、 先把 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0< ω <1)到原来的 1/ ω 倍(纵坐 标不变); 2、再把所得图象上所有的点向左(φ >0)或右(φ <0)平行移动|
2
⑤ cos 2
1 cos 2 2
10、三角函数的图像变化方法 平移口诀：左上加、右下减；左右 x、上下 y； 小伸长大缩短，A 值变化与 反。 理解口诀： 变化模式： 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )+k (A>0,ω >0),x∈R 的图象可以看作是由 y=sinx 通过下面变 化得到的:
函 数
y
1
y=sinx

0
1
y=cosx
y
1
y=tanx
3 2
2

2

3 2
2
5 2
x

0
-

2

2
5 2
x
图
形

1
3 2


2

3 2
定义域 值 域
xR
xR
x | x k , k Z 2
全体实数 R
y [1,1]
x 2k
0
唐云辉
负角，就先取绝对值然后再去除以 360 或者2，得到的整数加 1后再取相反数就是上述公式中的
0
k, 等于360 或者2减去剩余的角的值。
0
nπR 2、L 弧长= R= 180
S 扇=
1 1 n R 2 LRBaidu Nhomakorabea R2 = 2 2 360
用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3.三角形面积公式：S⊿=
1 ( a b c ) , r 为三角形内切圆半径) 2
y sin = x cos
(其中 p
4．同角关系： （1） 、商的关系：① tan =
用法：一般用来计算三角函数的值。 （2） 、平方关系： sin cos 1
2 2 2 2 用法： 凡是见了 sin cos m 或者 sin cos sin cos 的形式题目都可以用上述平方关系进 2 2 行运算， 遇到 sin cos m 就先平方而后再运算， 遇到 sin cos sin cos 这类题目就联想
1 2 , 频率 f= , 相位 x ，初相 T
求取上上述公式中参数的方法： A= k=
的求法：
6、五点作图法：令 x 依次为 0

2
, ,
3 ,2 求出 x 与 y，依点 x, y 作图 2
7、函数 y sin x，y cosx, y tanx 的相关性质
作用：将由公式一转化到 0 ～ 2 这个范围内的角转化成锐角 0 ～ 公式三：
这个范围. 2
sin(- )
cos(- )
tan( - )
作用：将任意负角转化成正角，再根据公式一转化成 0 ～ 2 这个范围的角。
公式四： sin( - )
cos( - )
tan( -)
sin , k 4m, m Z ; cos , k 4m 1, m Z ; ①、 sin( k ) c o s ( k ） 2 2 sin , k 4m 2, m Z ; cos , k 4m 3, m Z . 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。本公式中关键在于看公式中的 k,如果是奇数则三角函 数名称要改变，而后再根据角所处象限去判断取值的符号；如果是偶数则函数名称不变，符 号根据终边所处象限位置决定。其余两组公式也是一个规则，试着写出另外两组公式的变化 表。
|个单位;
3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变); 4、再把图像向上（k>0）或者向下(k<0）平移|k|个单位。 11、解斜三角形 （1） 、正弦定理 ①、公式表现形式
a b c 2 R( R为 三 角 形 外 接 圆 半 径 。 ） sin A sin B sin C
到分母为“1”= sin cos 进行运算即可。
2 2
（3） 、辅助角公式： a sin b cos
a 2 b 2 sin( )
（其中 a>0,b>0 ，且 tan
b ） a
用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数 y= A sin( x ) k 的图象及性质： （ 0, A 0 ） 振幅 A，周期 T=
②、六组诱导公式的用法： 公式一： sin(2k ) sin
cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
作用：将任意大于 2 的正角转化成 0 ～ 2 这个范围的角。
公式二： sin( )
cos( )
tan( )
1 1 1 1 abc 2 a ha = ab sin C = bc sin A = ac sin B = =2R sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R
=
a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p a)( p b)( p c) 2 sin A 2 sin B 2 sin C
2 tan 1 tan 2
② cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2
2 tan ③ tan 2 1 tan 2
1 tan2 1 tan2
tan2 1 cos 2 ④ sin 2 2 1 tan
y [1,1]

2
, k Z时， y max 1
最
值
x 2k

x 2k时，y max 1
2
, k Z时， y min 1 x 2k 时, y min 1
递增区间： 递减区间：
无最值
递增区间： 单调性 递减区间：
在 ( k

2
, k
②、正弦定理变式： a : b : c sin A : sin B : sin C ③、正弦定理的应用范围 A、 已知两角与一边，求其他两边与一角； B、 已知两边与其中一边对角，求其他两角与一边，但是要注意角的个数； C、 判断三角形形状； D、 求三角形的面积： S ABC （2） 、余弦定理 ①、边式余弦定理
③、余弦定理的应用范围 A、 已知两边与其夹角，求其他两角与一边； B、 已知三边，求三角；
C、 判断三角形形状；