理论力学动能定理

3．定轴转动刚体上作用力的功
设刚体绕 z 轴转动，在其上 M 点作用有力 F，则
δW F d r F Rd cos Ft Rd M z d
其中Ft 为力 F 在作用点 M 处的轨迹切线上的投影。
于是力 F 在刚体从角 1转到角 2过程中作的功为
W12
2．质点系的动能定理
1 2 d mi vi δWi 对质点系中的任一质点 i ： 2 1 1 2 对质点系，有 d mi vi δWi d mi vi 2 δWi 2 2
即
dT δWi
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
W
M2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M1
F d r
在直角坐标系中，知
F Fx i Fy j Fz k
dr dx i dy j dz k
变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
W
M2 M1
F d r F dx F dy F dz
x y z M1
M2
三．合力的功
W
0.2 (10 9.8 0.866) 0.5 8.5J
k 2 100 2 WF (1 2 ) (0 0.52 ) 12.5 J 2 2
合力的功为
W Wi 24.5 0 8.5 12.5 3.5 J
§13-2
强弱的又一种度量。 一．质点的动能
2
M d
z
1
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对 z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
4．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
M2
M1 M2
R dr (F F
1 M1 M2 1 2 M1
M2
2
Fn ) d r
M2 n
M1
F d r F d r F d r
M1
W1 W2 Wn
即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
W
12
T2 T1 W12 Qh M ( h / R) 由动能定理：
(Q M / R)hg h () v 4 8Q 7 P
v2 M (8Q 7 P) 0 Q 16 g R
8Q 7 P dv M 2 v Q (*)式求导得： 16 g dt R 8(Q M / R) g 解得： a 8Q 7 P
1 1 2 T J P ( J C M d 2 ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 J C M (d ) J C M vC 2 2 2 2 即平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心轴
转动的动能之和。
[例2]滚子A的质量为m，沿倾角为 的斜面作纯滚动，滚子借 绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体，如图所示。滚子与滑轮 质量相等，半径相同，皆为均质圆盘，此瞬时物体速度为 v， 绳不可伸长，质量不计，求系统的动能。
d rC MC d δW FR
则刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由角 1转到角 2时， 力系所作的功为
C2
W12
C1
F d r M
R C
1
2
C
d
注意：以上结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是 刚体上任意一点（不一定取在质心）。
[例1] 质量为m = 10 kg的物体，放在倾角为 = 30º的斜面上， 用刚度系数为 k = 100 N/m 的弹簧系住，如图示。斜面与物体 间的动摩擦系数为f = 0.2，试求物体由弹簧原长位置 M0 沿斜面 运动到 M1 时，作用于物体上的各力在路程 s = 0.5 m 上的功及 合力的功。
质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动
T 1 m v2 2
动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功
相同的量纲，单位也是焦耳（J）。 1 二．质点系的动能 T mi vi 2 2 对任一质点系，若记 vir 为第 i 个质点相对质心的速度，
则可证明有
1 1 2 T MvC mi vir 2 2 2
1 1 1 1 m 2 2 m1r 2 12 m2 vC 2 (4r )2 2 2 3 2 2 12
动能定理，有
T2 T1 W12
解得
1
2 3M r m1 m2
1 (m1 m2 )r 212 0 2M 6
[例5] 图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘 中心线为水平线， 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶，重物D 重Q。求下落距离h时重物的速度 v 与加速度 a 。(绳重不计， 绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止。)
此即质点系动能定理的微分形式。
T2 T1 (Wi )12
此即质点系动能定理的积分形式。 上式表明：质点系在某段运动过程中动能的增量，等于 作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3．理想约束及内力作功 理想约束：约束力作功为零的约束。 1．光滑固定面
δW N dr 0
( N dr )
解：我们取物体M为研究对象，
作用于M上的力有重力mg，斜面
法向反力FN，斜面摩擦力F′和弹 簧力F，各力所作的功为
WG mg s sin30o
(10 9.8) 0.5 0.5 24.5J
WFN 0
WF F s f mg cos30o s
[例4]曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA = r，连杆AB = 4 r， C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆 为均质杆，质量分别为m1、 m2 。曲柄开始时静止且在水平 向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周 时的角速度1 。
解：取曲柄连杆机构为研究对象，初始时系统静止，T1 = 0。 曲柄转过一周后，连杆速度瞬心在B点，其速度分布如图 b) 所示，系统的动能为
解：取滚子A、滑轮B、重物作为研究对象，其中重物作平动， 滑轮作定轴转动，滚子作平面运动，系统的动能为
1 1 1 1 2 2 2 T m1 v J B B mvC J C C 2 2 2 2 2
根据运动学关系，有 代入上式得
2 2 1 1 1 v 1 1 1 v 2 2 2 2 T m1v mr 2 mv mr 2 2 2 2 r 2 2 2 r
§ 13-1 一．恒力的功
力的功
W F S FS cos
力的功是代数量。
时，正功； 时，功为零； 时，负功。 2
2
2
单位：焦耳（J）：1J = 1N 1m 二．变力的功 元功： δW F d r
变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端
3．刚体沿固定面纯滚动（不计滚动摩阻）
4．光滑铰链（中间铰）
δW N dr N ' dr
N dr N dr 0
5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量） 绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
下面考察质点系内力的功
δW F drA F ' drB
F drA F drB
F d(rA rB ) F drBA
若A、B两点间距离保持不变，则 F drBA，δW F drBA 0 。
由上可知，刚体所有内力作功之和等于零。
注意：一般情况下，应用动能定理时要计入摩擦力作的功。
总之，应用动能定理时，要仔细分析质点系所有的作用力 并确定其是否作功。 应用动能定理的解题步骤：（见第六版教材P297～298）
四．几种常见力的功 1．重力的功 取 z 轴铅垂向上，则：
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )
z1 z2
对于质点系，重力作功为
W12 Wi12 mi g( zi1 zi 2 ) Mg ( zC1 zC 2 )
则杆的动能为
1 2 1 1 1 2 1 2vB 2 2 2 2 T mvC J C mvB ml mvB 2 2 12 2 2 l 3
2
§13-3
1．质点的动能定理 由牛顿第二定律有
动能定理
dv m F dt dv m vdt F d r dt
故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。
2．弹性力的功 设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧
发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径
的单位矢量为
er r / r 则 F k (r l0 )er
两边同时点乘 v dt dr ，有
注意到
因此
dv 1 1 m vdt m d(v v ) d mv 2 dt 2 2 1 2 d mv δW 此即质点动能定理的微分形式。 2
将上式沿路径 M1M 2积分，可得 1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2 此即质点动能定理的积分形式。
称为柯尼希定理
三．刚体的动能
1 1 1 2 2 2 M v T m v m v 1．平动刚体 2 i i 2 i C 2 C 1 1 1 2 2 2 2．定轴转动刚体 T mi vi mi ri J z 2 2 2 2
3．平面运动刚体 记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P，质心为C，则
v rB vC rC
1 m1 m v 2 2
[例3] 均质细长杆长为l，质量为m，与水平面夹角为 30º， 已知端点B的瞬时速度为vB ，如图所示。求杆AB的动能。 解：滑杆作平面运动，其速度 瞬心为P ，角速度为
2v B vB l l/2 质心速度为 l vC vB 2
W12
M2 M1
F dr
k (r l0 )er d r
M1
M2
r 1 1 er d r d r d( r r ) d( r 2 ) d r r 2r 2r r2 r2 k k 2 2 2 W12 k (r l0 )d r d( r l0 ) ( r l ) ( r l ) 1 0 2 0 2 2 r1 r1 k 2 2 则 W ( 令：1 r1 l0 , 2 r2 l0 12 1 2 ) 2 故弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关，与力作用点 的路径无关。
1 T2 J O12 2
1 1 2 m2 vC J C 2 2 2 2
1 1 v A r1 1 1 2 由于vC v A r1， 则 T2 (m1 m2 )r 212 2 2 AB 4r 4 6 曲柄转过一周，重力的功为零，转矩的功为 2πM ，代入
解：取系统为研究对象。 T1 0 1 1Q 2 1 2 T2 v J O A J C B 2 2 2 2g 1Q 2 1 1P 2 2 1 3P 2 2 v R A R B 2g 2 2g 2 2g
v2 (8Q 7 P) (v RA 2RB ) 16 g