方差分析的基本思想和应用条件
方差分析的基本概念与应用
方差分析的基本概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较多个样本的均值是否存在显著性差异。
它是根据样本之间和组内的方差来进行判断，并得出结论。
本文将介绍方差分析的基本概念和应用。
一、基本概念1. 方差分析的基本思想方差分析的基本思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差，判断组间方差是否显著大于组内方差，从而得出组别之间均值的显著性差异。
2. 单因素方差分析单因素方差分析是指只考虑一个因素对研究对象的影响，将数据分为几个组进行比较。
通过计算组间方差与组内方差的比值，使用统计检验得出结论。
3. 双因素方差分析双因素方差分析是指考虑两个因素对研究对象的影响，将数据分为多个组进行比较。
除了计算组间方差与组内方差的比值外，还需要考虑两个因素之间的交互作用。
二、应用范围方差分析广泛应用于各个领域的研究中，尤其是数据量较大或变量较多的情况下，可以更准确地判断组别之间的差异。
1. 医学研究在药物研究中，研究者通常需要比较不同剂量或不同药物对病情的影响。
通过方差分析，可以确定不同组别之间的差异是否显著，进一步评估药物的疗效。
2. 教育研究教育研究中常常需要比较不同教学方法或不同学校的教学质量。
通过方差分析，可以判断不同组别之间学生学习成绩的差异，进而评估教学方法的有效性。
3. 工程研究在工程研究中，研究者可能需要比较不同工艺或不同材料对产品质量的影响。
通过方差分析，可以检测不同组别之间产品性能的差异，指导工程技术的改进和优化。
4. 社会科学研究在社会科学研究中，方差分析可以用于比较不同群体或不同地区的人口统计数据。
通过方差分析，可以判断不同组别之间人口特征的差异，为社会政策的制定提供依据。
三、实施步骤1. 收集数据首先，需要收集多个组别的数据，每组数据包含相同变量的观测结果。
确保数据的准确性和完整性。
2. 假设检验设立合适的假设，包括原假设（组别之间均值无显著差异）和备择假设（组别之间均值存在显著差异）。
(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
第五节方差分析
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2 F
3
4
F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自 由度决定。
2019/2/20
15
F值与F分布
2019/2/20
16
F 界值表
附表15-2(P228) F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
k-1
SS组间 组间
MS组间 MS组内
组内(误差) SS总-SS组间
N-k
SS组内 组内
2019/2/20
18
假设检验的步骤
1.建立假设、确定检验水准：
H0：1 = 2 = 3， H1：1、2、3不等或不全相等，
=0.05
2.选定检验方法和计算检验统计量：
F= MS组间/MS组内
变异来源
处理组
SS
df
i
n (X
i i
j
X)
2
k－ 1
区组 误差
nj ( X j X )
2
b－ 1 (k－1)×(b-1)
总
SS总 SS 处理 SS区组 2 ( X ) 2 X N
N－ 1
随机区组设计资料方差分析的基本步骤 1、建立检验假设，确定检验水准
对于处理间: H0：多个处理组的总体均数相等，即三种方案的 效果相同
随机区组设计的三种情况 1、区组设计资料 2、同一个对象的K个部位测定同一指标（如教 室的不同位置侧粉尘数） 3、同一样品用多种方法测定某一指标。
优点：每个区组内的k个受试对象有较好 的同质性，组间均衡性也较好。 比完全随机设计减少了误差，因而更 容易察觉处理组间的差别，提高了实验效 率。 缺点：要求区组内受试对象数与处理数相 等，实验结果中若有数据缺失，统计分析 较麻烦。
方差分析的基本思想
第一节方差分析的基本思想1、方差分析的意义前述的t检验和u检验适用于两个样本均数的比较，对于k个样本均数的比较，如果仍用t检验或u检验，需比较次，如四个样本均数需比较次。
假设每次比较所确定的检验水准=0.05，则每次检验拒绝H0不犯第一类错误的概率为1-0.05=0.95；那么6次检验都不犯第一类错误的概率为(1-0.05)6=0.7351，而犯第一类错误的概率为0.2649，因而t检验和u检验不适用于多个样本均数的比较。
用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。
方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。
2、方差分析的基本思想下面通过表5.1资料介绍方差分析的基本思想。
例如，有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同处理后，测定其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度（表5.1），试比较四组家兔的血清ACE浓度。
表5.1对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml）对照组实验组A降脂药B降脂药C降脂药61.24 82.35 26.23 25.4658.65 56.47 46.87 38.7946.79 61.57 24.36 13.5537.43 48.79 38.54 19.4566.54 62.54 42.16 34.5659.27 60.87 30.33 10.9620.68 48.23329.92 372.59 229.17 191.00 1122.68 () 6 6 7 7 26 （N ）54.99 62.10 32.74 27.29 43.18 （）18720.97 23758.12 8088.59 6355.43 56923.11 ()由表5.1可见，26只家兔的血清ACE浓度各不相同，称为总变异；四组家兔的血清ACE浓度均数也各不相同，称为组间变异；即使同一组内部的家兔血清ACE 浓度相互间也不相同，称为组内变异。
第九章 方差分析
第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。
本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。
第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。
例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。
喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。
第九章 方差分析修改
498.99
F0.05(2,33)=3.29 F0.01(2,33)=5.34
按 α=0.05水准，拒绝 H0 ，接受 H1 ，差别有统计学意义。
可认为三种饲料喂养大白鼠体重差值总体平均水平不全
相同，即三个总体均数中至少有两个不同。
28
第一节 完全随机设计资料的方差分析
注意：方差分析的结果若拒绝 H0 ，接受 H1 ， 不能说明各组总体均数两两间都有差别。如 果要分析哪些两组间有差别，要进行多个均 方差分析的结果与两样本均数比较的t 检验等
方差分析的基本思想就是根据试验设计的类型，
将全部测量值总的离均差平方和及其自由度分解
为两个或多个部分，除随机误差作用外，每个部
分的变异可由某个因素的作用(或某几个因素的交
互作用)加以解释，如组间变异SS组间可由处理因素 的作用加以解释。通过比较不同变异来源的均方， 借助F分布做出统计推断，从而推论各种研究因素 对试验结果有无影响。
察的两因素设计。
31
第二节 随机区组设计资料的方差分析
例9-2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将
30只纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同、体重
相近划分为10个区组。每个区组3只大白兔随机采
用A、B、C三种处理方案，即在松止血带前分别给
予丹参2ml/kg、丹参1ml/kg、生理盐水2ml/kg，在 松止血带前及松后1小时分别测定血中白蛋白含量 (g/L)，算出白蛋白减少量如下表9-6所示，问A、B 两方案分别与C方案的处理效果是否不同？
第九章 方差分析
流行病与卫生统计学教研室
1
第九章 方差分析
讲授内容
方差分析的基本思想及应用条件 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 析因设计资料的方差分析
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
卫生统计学简答题
卫生统计学简答题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除卫生统计学简答题方差分析的基本思想和应用条件是什么答：方差分析的基本思想是，对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。
不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。
具体来讲，根据试验设计的类型和研究目的，将全部观测值总的离均差平方和及其自由度分解为两个或多个部分，除随机误差作用外，每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，通过比较不同变异来源的均方，借助F 分布作出统计推断，从而推论各种研究因素对试验结果有无影响。
其应用条件是，①各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布；②各样本的总体方差相等，即方差齐性。
多组定量资料比较时，统计处理的基本流程是什么答：多组定量资料比较时首先应考虑用方差分析，对其应用条件进行检验，即方差齐性及各样本的正态性检验。
若方差齐性，且各样本均服从正态分布，选单因素方差分析。
若方差不齐，或某样本不服从正态分布，选Kruskal-Wallis 秩和检验，或通过某种形式的数据变换使其满足方差分析的条件。
若方差分析或秩和检验结果有统计学意义，则需选择合适的方法（如Bonferonni、LSD法等）进行两两比较。
简述秩和检验的优缺点秩和检验的优点是（1）不受总体分布限制，适用面广；（2）适用于等级资料及两端无确定值的资料；（3）易于理解，易于计算。
缺点是符合参数检验的资料，用秩和检验，则不能充分利用信息，检验效能低。
试述假设检验与置信区间的联系与区别。
答：区间估计与假设检验是由样本数据对总体参数作出统计学推断的两种主要方法。
置信区间用于说明量的大小，即推断总体参数的置信范围；而假设检验用于推断质的不同，即判断两总体参数是否不等。
试述两类错误的意义及其关系。
答：Ⅰ类错误（typeⅠerror）：如果检验假设0H实际是正确的，由样本数据计算获得的检验统计量得出拒绝0H的结论，此时就犯了错误，统计学上将这种拒绝了正确的零假设0H（弃真）的错误称为Ⅰ类错误。
统计学教案习题05方差分析
第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。
（3）方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1．基本思想方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
k 表示处理组数。
三方差分析
研究通常采用方差分析的方法。
理论主要内容：
? 多个样本均数的比较 ? 完全随机设计 ? 随机区组设计 ? 交叉设计 ? 多因素方差分析 ? 析因设计 ? 重复测量设计
SPSS 内容提要： 一、单因素方差分析 二、随机区组设计的
方差分析 三、析因分析
SPSS操作步骤 （单因素方差分析）
? 1、建立数据文件（.sav ）
? 2、做正态性检验
? 3、Analyze: Compare means —
?
One-way ANOVA
? Options:
? Descriptive 统计描述
? Homogeneity of variance test 方差齐性检验 ? Exclude cases analysis by analysis 剔除在被检验的数据中
含有缺失值的观测量
? Exclude cases listwise 对有缺失值的观测量，从所有的分 析中剔除
? 4、两两比较 Post Hoc Multiple Comparisons
? 5、结果阐述
一、完全随机设计（单因素方差分析） One-way ANOVA
总变异=组间+组内
例9.1 数据：表9.1 P101 结果：表9.3 P102
?
Univariate 图9.2-3
? 4. 方差齐性检验
图9.2-4
? 5. 两两比较
图9.2-5
? SPSS中的General Linear Model GLM/ Univariate ，既可用于回归分析，又可以用于 多因素方差分析的一种统计方法。
方差分析
• 区组间
∑
j
b-1
υ区组
SS误差
SS误差
• =SS总—SS处理 --SS 区组
(K −1)(b−1)
N = ∑ni
υ误差
k为处理组数
(∑ X )2 C=
N
例9-20
在抗癌药物筛选试验中，拟用 只小白鼠按体重相近者为一 在抗癌药物筛选试验中，拟用20只小白鼠按体重相近者为一 个区组，一共五个区组，每个区组各有四只小白鼠。 个区组，一共五个区组，每个区组各有四只小白鼠。分别观察四种药 物对小白鼠移植性肉瘤（ 的抑瘤效果，结果见表9-17。问四种 物对小白鼠移植性肉瘤（S180）的抑瘤效果，结果见表 。 药物的抑瘤效果有无差别？ 药物的抑瘤效果有无差别？
M 区组 = S
•
SS区组
υ区组
0.11233 = = 0.02808 4
方差分析
钟崇洲 zcz5460@
方差分析也是统计 检验的一种。由英 国著名统计学家： R.A.FISHER推导出 来的，也叫F检验。
• 一、方差分析的基本思想
组内变异 反映随机误差(E)大小。 反映随机误差(E)大小。 (E)大小 MS组内或MSe
总变异
全部观察值之间的变异 MS总或MST
• 二.应用 的条件是： 的条件是：
），即要求各观察值之 （1）独立性（independence），即要求各观察值之 ）独立性（ ）， 间相互独立； 间相互独立； ），即要求样 （2）正态性（normality），即要求样 本来 ）正态性（ ）， 自正态分布的总体； 自正态分布的总体； （3）方差齐性（ homogeneity）， 即要 ）方差齐性（ ）， 体方差相等。 求两样本所对应的总 体方差相等。 • •
第十七章---方差分析(F检验)
#### #### #### ####
三 方差分析的条件
1 独立性 各随机样本相互独立。 2 随机性 各样本均是随机样本。 3 正态性 各样本均来自正态分布的整体。 （各因素每一水平的重复数椐均服从正态分 布。） 4 一致性 各处理组总体方差相等。
四 方差分析的基本思想
（一）方差分析的基本思想
1 从总变异中分出组间和组内变异,并用数量表 示变异程度。
❖ 求SS(总变异) ❖ 求SS组间 、 MS组间 ❖ 求SS组内 、 MS组内
1 求总变异的离均差平方和(SS总)
_
SS总 (xij X )2 ij
Xij表示第i组第j个观察值。 求32个观察值中每一观察值与总均数之差的平方 和。
总均数SS总=(22.6-18.51)2+ (22.8-18.51)2+……(16.2-18.51)2+
○例 如观察四种降脂药对4组动物动脉粥样硬化斑块 的影响，比较不同药物对动脉粥样硬化形成大小有 否影响。
处理
配伍
按体 Ⅰ 重高 Ⅱ 低分 Ⅲ
为四 Ⅳ
组
A(安妥明)
#### #### #### ####
B(降脂甲方) C(降脂乙方) D(降脂丙方)
#### #### #### ####
#### #### #### ####
第6章 定量资料的方差分析
i
2 2 ( X X ) S ij 总 ( N 1) j
1364.52 (36 1) 47758.20 总 = N 1 36 1 35
2. 组间变异，每个处理组的均值与总均值之间的 变异。
SS组间 ni (Xi X)2
i
12(293.37 252.55)2 12(239.49 252.55)2 12(224.78 252.55)2 31291.67
SS处理
处理
（3） 区组间变异：由不同区组作用和随机误差引起的变 异，记为SS区组
S S区 组 M S区 组 =
m 2
k ( X j X ) ， 区 组 = m -1
j 1
S S区 组
区组
（4） 误差变异：完全由随机误差产生的变异，记为SS误差
SS误差 SS总 SS处理 SS区组， 误差=总-处理-区组 MS误差= SS误差
35 2 33 15645.83 498.99 31.36 <0.001
F0.05(2,32) 3.29, F0.01(2,32) 5.34
组内（误差）
组间（处理组间） 31291.67 16466.65
P<0.01。按 =0.05 水准，差别有统计学意义，可以认为三组不同喂养方式下大白鼠体重
nk
Xk
S k2
N
X
2
X
S2
S 22
全部试验的结果存在三种不同的变异：
1. 总变异（total variation）：全部试验数据大小不等，反 映所有观察值的变异，称为总变异。用各观察值和总均数 的离均差平方和表示记为
SS总
方差分析(ANOVA)
方差分析(ANOVA)一、方差分析的基本思想1. 方差分析的概念方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析和两因素方差分析即配伍组设计的方差分析。
2. 方差分析的基本思想下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：（1）组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；（2）组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。
实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。
3. 方差分析的应用条件应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括：（1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。
（2）正态性，即偏态分布资料不适用方差分析。
对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。
L2-第九章 方差分析
总 N 1 24 1 23
SS处理 ni X i X X i ni C
2 2 i
550.012 537.30 2 618.19 2 726.282 246398.0820 6 6 6 6 3742.5521
在实际运用中，往往将上述过程总结为如下的方差分析
表。
二、方差分析的应用条件 进行方差分析时，数据应满足以下两个应用条件： 1. 各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布。 当样本含量较小时，资料是否来自正态分布的总体难 于进行直观判断和检验，常常根据过去的经验；当样 本含量较大时，无论资料是否来自正态分布总体，数
变异、区组的变异和随机误差三个部分。
数理统计可以证明它们有如下的数量关系。
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
具体计算公式见下表：
二、随机区组设计资料方差分析的基本步骤 随机区组设计资料的方差分析步骤概括如下： ①. 建立假设 对于处理组 H0：4个总体均数全相等 H1：4个总体均数不等或不全相等 对于区组 H0：6个总体均数全相等 H1：6个总体均数不等或不全相等
bk个格子中，每个格子仅有一个数据Xij(i=1,2,3,,k; j=1,2,3,,b), 而无重复，因此其方差分析属无重复数据 的双向(因素)方差分析(two-way ANOVA)。
一、离均差平方和与自由度的分解 从该例数据表可以看出，随机区组设计资料的总变异 可以分解为：除处理的变异、随机误差外，还可分离 出区组变异。 区组变异 为6个不同窝别家兔血糖浓度值的样本均数
X j 各不相同，即 X j 与总均数 X 的不同。它既包含6个
区组的差异，也包含随机误差，其大小可用区组均方
方差分析知识点总结
方差分析知识点总结方差分析的基本原理是利用总体均值之间的变异性来进行假设检验。
它的基本思想是：通过对数据的变异性进行分解，我们可以得到与总体均值之间的比较，以判断它们是否存在显著差异。
方差分析将总体的变异性分为两部分：组内变异性和组间变异性。
组内变异性是指同一组内个体间的差异，而组间变异性是不同组之间的差异。
方差分析的基本假设包括：1. 各总体均值相等的原假设（H0）：μ1 = μ2 = ... = μk2. 各总体均值不全相等的备择假设（H1）：μi ≠ μj（i ≠ j）方差分析适用的条件包括：1. 各总体的总体分布应是正态分布2. 各组的方差应相等3. 各个样本应是相互独立的方差分析的类型主要包括一元方差分析（One-way ANOVA）和二元方差分析（Two-way ANOVA）。
其中，一元方差分析通过比较一个自变量对一个因变量的影响；而二元方差分析则同时考虑了两个以上的自变量对一个因变量的影响。
一元方差分析的过程包括以下几个步骤：1. 提出假设：提出总体均值相等的原假设和不全相等的备择假设。
2. 收集数据：收集不同组的样本数据。
3. 方差分解：计算组间变异性和组内变异性。
4. 计算统计量：计算F统计量。
5. 判断显著性：根据F统计量判断原假设的接受或拒绝。
二元方差分析则在一元方差分析的基础上加入了第二个自变量，其过程相对复杂一些。
方差分析的计算过程包括了方差分解和F统计量的计算。
在实际操作中，方差分析可以使用统计软件进行计算，如SPSS、R等。
方差分析的结果解释主要依据F统计量来判断原假设的接受或拒绝。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为各组的均值存在显著差异；若F值小于临界值，则接受原假设，认为各组的均值相等。
方差分析的应用领域非常广泛，其中包括医学、社会科学、经济学等。
在医学研究中，方差分析可用于比较不同药物治疗对患者健康状况的影响；在社会科学中，方差分析可用于比较不同教育水平对收入的影响；在经济学中，方差分析可用于比较不同地区对GDP的影响等。
方差分析原理及应用
组内
78.750 28 2.813
总
268.875 31
F.01(3,28)=4.57
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2.单因素完全随机区组实验设计
基本原理
研究问题:一个当要研究文章的生
a1 a2 a3 a4
字密度对学生阅读理解的影响。考 组1 3 4 8 9
24
虑到学生智力会对阅读理解产生影 组2 6 6 9 8
导言
方差分析是20世纪20年代英国统计学家发明的，用于两个 及0.9两56个=0以.73上5）样。本由均于数各差种别因的素显的著影性响检，验研（究C4所2=6得，的数据 呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控 的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可 控因素。方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来
是否等与于A×B） 6.协方差（在一般方差分析中,要求除研究因素之外其他条件保
持不变.如作身高体重关系研究时要消除性别和年级的影响） 7.重复测验（同一文化的不同群体彼此不独立,采用重复测验的方差分析）
现在是10页\一共有162页\编辑于星期四
1.单因素完全随机实验设计
实验设计模式
1.当实验研究的自变量只有一个刺激变量（或由刺激
n
xij
xt
2
n
xij
xj
xj
xt
2
i1
i1
n
2n
2
n
n
2
xij xt xij xj 2xj xt xij xj xj xt
i1
i1
i1
i1
现在是5页\一共有162页\编辑于星期四
方差分析的基本原理
n
因 为 xij x j 0 i 1
方差分析的基本思想和应用条件
方差分析的基本思想和应用条件方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或三个以上总体均值差异的统计方法。
它是根据样本数据推断总体均值是否存在显著差异的一种有效工具。
方差分析的基本思想是通过比较不同来源引起的变异与同一来源引起的变异之间的差异来判断总体均值是否相等。
本文将介绍方差分析的基本思想和应用条件。
一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是通过比较组内变异与组间变异的大小来判断总体均值是否相等。
组内变异是同一组内个体数据与组内均值之间的离散程度，组间变异是不同组之间的均值差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间存在均值差异，总体均值不相等；反之，组间变异小于组内变异，说明各组之间差异主要来自于随机因素，总体均值相等。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只考虑一个因素对总体均值的影响；而多因素方差分析则是考虑多个因素对总体均值的影响。
二、方差分析的应用条件方差分析有以下几个应用条件：1. 样本独立性：方差分析要求样本之间相互独立，即一个样本的观测值与其他样本的观测值没有相关关系。
当样本独立性不满足时，方差分析结果可能失真。
2. 方差齐性：方差分析要求各组之间的方差齐性，即不同组的样本方差应该相等。
方差齐性的检验常用的方法有Bartlett检验和Levene检验。
3. 数据正态性：方差分析要求各组的数据服从正态分布。
如果数据不服从正态分布，可以通过变换数据或者使用非参数方法来进行方差分析。
4. 误差项的独立性和正态性：方差分析假设误差项满足独立同分布的假设，并且符合正态分布。
如果误差项不满足这些假设，则方差分析的推断结果可能不准确。
除了上述基本条件外，方差分析还需要注意以下几点：样本容量应该足够大，以保证结果的可靠性；在进行方差分析前，应该进行数据的清洗和预处理，排除异常值和缺失数据的影响；根据研究的具体要求，选择合适的方差分析模型。
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方差分析
方差分析的基本思想和应用条件
基本思想
方差分析是一种以分析数据变异为基础，以F 值为统计量的计量资料的假设检验的方法。
各组样本均数个不相等，这种差异可能由两种原因引起：
1. 随机误差。
包括抽样误差、测量误差等，即各样本来自于总体，
但由于随机误差使得样本均数不相等。
2. 处理因素。
即不同的处理引起的不同的作用或者效果，导致各
处理组的均数不同。
总变异：所有观察值ij χ与总均数χ的离均差平方和表示，记为SS 总。
SS 总=∑∑
j -ij i ）（χχ2
，1;-N 总=ν 组间变异：各组均数与i χ有总均数χ的离均差平方和表示，记为SS 组间
SS 组间=）-（n i i
i χχ∑2，1;-K 组间=ν
组内变异：各组内每个测量值ij χ与该组的均数的离均差平方和，记为SS 组内
SS 组内=∑∑
j
i -ij i ）（χχ2，k;-N 组内=ν SS 总= SS 组间+ SS 组内
各自的均方（mean square ，MS ，即方差）反应平均变异的大小
MS 组间= 组间组间SS ν，MS 组内= 组内内组SS ν
组间均方除以组内均方即得方差分析的统计量F 。
F= 组内组间MS MS 原假设H0为各组的总体均数相等。
理论上MS 组间= MS 组内，F=1. 应用条件
1.
各观察值相互独立，且每一水平下的观察值均服从正态分布。
2.
个总体方差相等，即具有方差齐性。
完全随机设计的方差分析。