抽屉原理 (3)

1.在一个面积为1的圆内，任意放置17个点，证明：其中至少有三个点所连成的三角形的

面积不大于1

8

。

2在边长为1个正六边形内任意放置25个点，证明：其中必有两个点，它们之间的距离不

大于1

2

。

3.在平面上给定25个点，已知其中任意三个点中总有两个点的距离小于1，证明：这25个点中，总可以找出13个点，它们都位于某个半径为1个圆内。

4.平面上有100个点，其中任意两个点的距离都不小于3，现将距离恰好等于3的每两个点都连上一条线段，求证：这样的线段不会多于300条。

5.在正方形的灭一个顶点处写上一个非负的实数，而且这些实数的和等于1，甲、乙两人作下面的游戏：甲任选正方体的一面之后，乙另选一面，然后甲再选第三面，但甲选定第一个面后，后面选取的面部能平行于已选定的面，证明：甲总可以使所选的三个面的公共顶点处

的数不大于1

6

。

6.在{}12n ⋅⋅⋅，，，中，任意取10个数，使得其中的两个数的比值大于23，且小于32，求n 的最大值。

7.如果平面上的点的横坐标与纵坐标都是整数，那么这样的点叫做整点，试证：平面上任意5个整点中，必有两个整点的连线中点也是整点。