绝对值化简(与数轴结合)
单题训练11：根据数轴去绝对值化简
已知a，b在数轴上的位置如下图所示，化简|2b|-|a-2|-|b-a|= .
分析：
这类题型的操作关键：去绝对值。 去绝对值有两个理解角度：一是绝对 值的定义式；二是绝对值的几何意义。同 时，还要结合几个恒等式去理解。
几个关于绝对值的恒等式：
（1）数a的绝对值|a|表示a在数轴上到原点的距 离， |a|≥0，只有a=0时等号才成立。 （2）绝对值|a-b|表示a、b两点在数轴上的距离， |a-b|=|b-a|， a,b异号时，|a-b|=|a|+|b|； a,b同号时，|a-b|=|(|a|-|b|)|， 若|a|>|b|，|a-b|=|a|-|b|， 若|b|>|a|，|a-b|=|b|-|a|。
点评： 利用公式：|a-b|=|b-a|， 总是可以化成绝对值内是 “右-左”的形式，从而可 以直接去绝对值。
利用公式：|a-b|=|b-a|，可以化成绝对值内是“右左”的形式，从而可以直接去绝对值。
通过几个简单例题理解几何意义：
Байду номын сангаас
已知a，b在数轴上的位置如下图所示，化简|2b|-|a-2|-|b-a|= .
分析：
|2-b|-|a-2|-|b-a| =|2-b|-|2-a|-|a-b| =(2-b)-(2-a)-(a-b) =2-b-2+a-a+b =0
数轴绝对值化简的解题技巧
数轴绝对值化简的解题技巧
数轴绝对值化简是一种常见的解题技巧，用于简化含有绝对值符号的数学表达式。
下面是一些常用的数轴绝对值化简的解题技巧：
1. 根据绝对值的定义：
当x≥0时，|x| = x；
当x<0时，|x| = -x。
2. 将绝对值符号内的表达式分成两种情况进行讨论：
情况一：当表达式大于或等于0时，直接去掉绝对值符号。
情况二：当表达式小于0时，将绝对值符号内的表达式取相反数，并去掉绝对值符号。
3. 使用数轴来辅助理解和解题：
a) 在数轴上表示出需要化简的数值或变量的位置。
b) 根据数轴上的标尺，判断该数值或变量是大于等于0还是小于0。
c) 根据判断结果，对应使用绝对值的定义进行化简。
4. 注意符号的变化：
当将绝对值符号内的表达式取相反数时，注意符号的变化。
5. 常用的数轴绝对值化简的例子：
a) |x + 3|，根据数轴和绝对值的定义，可以化简为：
当x + 3 ≥ 0时，|x + 3| = x + 3；
当x + 3 < 0时，|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3。
b) |2x - 5|，根据数轴和绝对值的定义，可以化简为：
当2x - 5 ≥ 0时，|2x - 5| = 2x - 5；
当2x - 5 < 0时，|2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5。
这些是常用的数轴绝对值化简的解题技巧。
绝对值化简方法辅导
下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进展讲解如何对绝对值进展化简首先我们要知道绝对值化简公式：例题1：化简代数式 |x-1|可令x-1=0，得x=1 〔1叫零点值〕根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个局部1〕当x<1时，x-1<0，那么|x-1|=-(x-1)=-x+12〕当x=1时，x-1=0，那么|x-1|=03〕当x>1时，x-1>0，那么|x-1|=x-1另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的局部1〕当x<1时，x-1<0，那么|x-1|=-(x-1)=-x+12〕当x≥1时，x-1≥0，那么|x-1|=x-1例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2|解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2〔-1和2都是零点值〕在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个局部1〕当x<-1时，x+1<0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=-〔x+1〕-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12〕当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，那么|x+1|+|x-2|=0+3=33〕当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34〕当x=2时，x+1=3，x-2=0，那么|x+1|+|x-2|=3+0=35〕当x>2时，x+1>0，x-2>0，那么|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1另解，将零点值归到零点值右侧局部1〕当x<-1时，x+1<0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=-〔x+1〕-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12〕当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=33〕当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，那么|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13〔-13，-11,12是此题零点值〕1〕当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2〕当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403〕当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 4〕当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255〕当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 6〕当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487〕当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12另解，将零点值归到零点值右侧局部1〕当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2〕当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 3〕当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 4〕当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，那么|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0那么零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10〔2〕当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4〔4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2〔5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的局部进展分布讨论，假设有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧局部进展化简，这样比拟省时间同学们假设不纯熟可以针对以上3个例题反复化简纯熟之后再换新的题进展练习习题：化简以下代数式|x-1||x-1|+|x-2||x-1|+|x-2|+|x-3||x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5||x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|初一学生作业-绝对值中最值问题一例题1: 1〕当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4〕当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1〕当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4〕当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？假设想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1〕非负数：0和正数，有最小值是02〕非正数：0和负数，有最大值是03〕任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，那么-|a|≤04〕x是任意有理数，m是常数，那么|x+m|≥0，有最小值是0 -|x+m|≤0有最大值是0〔可以理解为x是任意有理数，那么x+a仍然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0〕5〕x是任意有理数，m和n是常数，那么|x+m|+n≥n，有最小值是n -|x+m|+n≤n，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左〔n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，那么|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，那么|x-1|+3的最小值是3〕总结：根据3〕、4)、5〕可以发现，当绝对值前面是“+〞时，代数式有最小值，有“—〞号时，代数式有最大值在没有学不等式的时候，很好的理解〔4〕和〔5〕有点困难，假设实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了〕例题1: 1〕当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4〕当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解： 1〕当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是02〕当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是33〕当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-34〕此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3〕问一样即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3例题2：1〕当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4〕当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1〕当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是02〕当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是33〕当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-34)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2〕问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3请同学们总结一下问题假设x是任意有理数，a和b是常数，那么1〕|x+a|有最大〔小〕值？最大〔小〕值是多少？此时x值是多少？2〕|x+a|+b有最大〔小〕值？最大〔小〕值是多少？此时x值是多少？3) -|x+a|+b有最大〔小〕值？最大〔小〕值是多少？此时x值是多少？含有绝对值的代数式化简问题：化简代数式 |x+1|+|x-2|化简代数式 |x+1|+|x-2|化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|初一学生作业-绝对值中最值问题二【例题1】：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回忆下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2〔-1和2都是零点值〕在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个局部1〕当x<-1时，x+1<0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=-〔x+1〕-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12〕当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，那么|x+1|+|x-2|=0+3=33〕当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，那么|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34〕当x=2时，x+1=3，x-2=0，那么|x+1|+|x-2|=3+0=35〕当x>2时，x+1>0，x-2>0，那么|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当x<-1时，|x+1|+|x-2|=-2x+1>3当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：-1≤x≤2解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2〔-1和2都是零点值〕那么当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3评：假设问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；假设是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。
专题七：结合数轴化简绝对值
结合数轴化简绝对值数轴右边的点比左边的点大，有理数大减小一定是为正绝对值化简三步走：1、判断正负2、去绝对值3、去括号化简1、数a在数轴上的位置如图所示，则｜a－2｜＝______．2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．3、若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|．4、已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b-c|+|c-a|=______________结合数轴化简绝对值解析1、数a在数轴上的位置如图所示，则｜a－2｜＝______．解：由图可知，a＞0，所以，a﹣2＞0；故答案为：a﹣2；2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．3、若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|．解：由数轴上点的位置得：a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，∴a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0，则2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|＝2c﹣a﹣b﹣c+b﹣c+a＝0．4、已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b-c|+|c-a|=______________解：由数轴上点的位置得：a＜c＜0＜b，∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＞0，则|a-b|+|b-c|+|c-a|=＝﹣（a﹣b）+b﹣c + c﹣a＝2b﹣2a．。
绝对值的化简
绝对值的化简 Prepared on 22 November 2020“绝对值的化简”例题解析无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）解：原式。
2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。
（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或。
（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式。
又如，化简此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x＋y看作一个整体未知数，找出界值，使的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当时，（2）当时（3）当时二、含有两个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当时，化简解：原式2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论如：化简的界值为－3，的界值为所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）原式（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）原式（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）原式又如，化简此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
利用数轴化简绝对值
利用数轴化简绝对值
通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号
例题、1． 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值. b -1 c 0 a 1
2．数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--
b
0a
3．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-
0c
b a
课堂检测：
1．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值
a c x
0 b
3．有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a c b b a b a --+++-。
4．a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac
-----++----的值． c 10b a
5．若用A 、B 、C 、D 分别表示有理数a 、b 、c ，0为原点。
如图所示，已知a<c<0，b>0。
化简下列各式：
（1）||||||a c b a c a -+---；
（2）||||||a b c b a c -+---+-+；
（3）2||||||c a b c b c a +++---
a c x
0 b。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
【常考压轴题】2023学年七年级数学上册(人教版) 绝对值的三种化简方法(原卷版)
绝对值的三种化简方法绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。
并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】 1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a | 2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：类型一、利用数轴化简绝对值例1．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -例2．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b ab a b-++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【变式训练1】已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【变式训练2】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，a c -+ 0． （2）化简：||||c|b c a b a -+++-+∣【变式训练3】有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空：b a -______0；1b -______0；1a +______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简：11b a b a ---++【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0． (2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．类型二、利用几何意义化简绝对值例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________；（2）同样道理|x +1008|=|x -1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x =________；（3）类似的|x +5|+|x -2|表示数轴上有理数x 所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x -2|=7，这样的整数是__________．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【变式训练1】阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a -b ∣；当A 、B 两点都不在原点时：①如图2，点A 、B 都在原点的右边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b -a =∣a -b ∣； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b -（-a ）=∣a -b ∣； ③如图4，点A 、B 在原点的两边：∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a +（-b ）=∣a -b ∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a -b ∣． 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB ∣=2， 那么x 为__________．(3)当代数式∣x +1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________．【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．那么，数轴上表示数x 与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．（2）如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a ＝ 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ． 【变式训练3】（问题提出）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值．我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a 在1，2之间（包括在1，2上），看出a 到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，12-+-a a 有最小值1． （问题解决）（1）47a a -+-的几何意义是 ，请你结合数轴探究：47a a -+-的最小值是 ．（2）请你结合图④探究123a a a -+-+-的最小值是 ，由此可以得出a 为 ．（3）12345a a a a a -+-+-+-+-的最小值为 ． （4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为 ．（拓展应用）如图，已知a 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a 的取值范围是 ．类型三、分类讨论法化简绝对值 例1.化简：214x x x --++-.【变式训练1】若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abc a ab abc++的值为_________．【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求a bx a b=+的值． 请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若a ，b ，c 均不为零，求a b cx a b c=+-的值． ②若a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c a c a ba b c+++++的值．。
利用数轴化简绝对值
利用数轴化简绝对值知识点1.绝对值的代数意义：（1）一个正数的绝对值等于它本身；（2）一个负数的绝对值等于它的相反数；（3）0的绝对值是0。
2.去绝对值的法则：|a |={a (a ≥0)−a (a ≤0) *去含有字母的代数绝对值时，需先判断字母表示数的正负性，再套用法则。
例：如图，有理数a ，b ，c ，d 所表示的数如图所示：（1）化简|a |,|b |,|c |,|d |解：∵a ＜b ＜0，d ＞c ＞0∴|a |=—a ，|b |=—b ，|c |=c ，|d |=d（2）化简|a +c |解：由图得a ＜c ＜—a∴a +c ＜0|a +c |=—（a +c ）=—a —c（3）化简|b -d |解：由图得：b ＜0＜d∴b —d ＜0|b —d |=—（b —d ）=—b +d =d —b绝对值的化简演练1.有理数a ,b 在数轴的位置如图，a ＜-b ，化简|a |+|a +2b |+|b -a |2.实数a,b.c在数轴的位置如图所示，化简|a+3|+|1-b|+|c-4|3．有理数a,b,c,d在数轴的位置如图所示，b+c=0，化简|a+2b|+|b+d|+|d-c|4. 如图，在数轴上A、B、C、D上的四点分别对应数a,b,c,d，且满足相邻两点的距离相等。
(1)化简|b-c|-|d-b|+|c-a|-|a-d|(2)已知d-2a=4,c-b=2,求a,b,c,d的值。
5.有理数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示，求 a|a|+ b|b|+ c|c|+ d|d|+ab|ab|+cd|cd|+bd|bd|的值。
6.有理数a，b，c，d在数轴的位置如图，a+c=0，化简：|a|+|2b|-|3c|-|d|7.有理数a,b,c在数轴的位置如图所示，化简:|a-c|-|c-d|-|2d-a|-|c-2a|。
绝对值的性质及化简
内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念例题精讲中考要求绝对值的性质及化简【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x0x -（>，=，<）；【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例5】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【例6】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例7】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【例8】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例9】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =- 【例10】 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b 【例11】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ．a 一定是负数 C ．b 一定是正数 D ．b一定是负数【例12】 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥-【例13】 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤【例14】 若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例15】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【例16】 下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【例17】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有个【例18】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例19】 有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例20】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，. 【例21】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例22】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例23】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例24】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例25】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例26】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【例27】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大； （2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例28】 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且c 最小，a 最大，且a c b c b d a d ---+-=-．请按a b c d ，，，从小到大的顺序排列．【例29】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例30】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
数轴化简绝对值技巧
数轴化简绝对值技巧
绝对值技巧是数学中归纳研究绝对值表达式函数的方法之一。
它是将原函数经变换，使之等价与更简单的绝对值表达式相等。
绝对值技巧可以使函数函数变得更加简单，从而更加方便地求取解。
绝对值技巧包括四种基本方法：变换相等法、移动轴法、互换轴法和分离变量法。
其中，变换相等法是一种将复杂函数转化为简单绝对值函数的方法。
该方法的核心思想是根据函数的特点，用简单的变量变化来实现函数的变换。
移动轴法是将复杂函数的变量位置进行轴移动，使它与简单绝对值函数相等。
移动轴法一般用于包含正负号的函数变换，其目的是使这些函数参数中的正负号可以抵消移动轴所带来的影响，以简单的绝对值函数的形式出现。
互换轴法是一种常用的方法，即在两个变量之间互换位置，使它们等价于绝对值函数，并且将它们统一化。
该方法的实现一般是在变量的位置之间互换一个常数，使之变换成小的绝对值等式。
分离变量法是将包含多个变量的函数分离成单独的一元函数，使之等价于绝对值函数。
这种方法一般是在原函数中添加或删减一定数量的局部变量，使得变换简单而不改变函数的意义，从而使之变换成小的绝对值等式。
由以上几种基本方法可以知道，绝对值技巧是将复杂函数变换成简单绝对值函数的方法，有效地减少函数中多变量和正负号的影响，从而使函数更加容易处理。
此外，绝对值技巧还可以有效地减少数学计算的复杂度。
因此，它是解决复杂函数的有效方法，也是常见的数学计算工具之一。
七年级数学上册专题提分精练数轴和绝对值的化简结合(解析版)
专题10 数轴和绝对值的化简结合1．已知实数m 在数轴上的位置如图所示，则化简|2||1|m m +--的结果为（ ）A ．21m +B ．21m --C ．3-D ．3【答案】A【解析】【分析】根据数轴，判断m 是负数，且|m |＜1，从而判定m -1＜0，m +2＞0，化简即可．【详解】∵， ∴m ＜0，且|m |＜1，∴m -1＜0，m +2＞0，∴|2||1|21=21m m m m m +--=+-++，故选A ．【点睛】本题考查了数轴的意义，绝对值的化简，正确获取数轴信息，熟练化简绝对值是解题的关键． 2．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式12b a a b -----的结果是（ ）A ．1B ．2a ﹣3C ．-1D ．2b ﹣1 【答案】C【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．【详解】解：由数轴可知b ＜−1，1＜a ＜2，∴b -a ＜0，1-a ＜0，b -2＜0， 则()()()1212121b a a b a b a b a b a b -----=-----=--+-+=-．故选：C ．【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 3．实数a ，b ，c ，在数轴上的位置如图所示，化简：a b c a b c ---+-的结果是（ ）A ．0B ．aC ．bD ．c【答案】A【解析】【分析】根据数轴上点的位置可知000a b c a b c -<->-<，，，由此求解即可．【详解】 解：由题意得：0a b c a b c <<<>>，， ∴000a b c a b c -<->-<，， ∴a b c a b c ---+-()=b a c a c b ---+-b ac a c b =--++-0=，故选A ．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，正确得出000a b c a b c -<->-<，，是解题的关键．4．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则a c ++c b -－b a +=（ ）A ．－2bB ．0C ．2D ．2c －2b【答案】B【解析】【分析】先由数轴确定a 、b 、c 的符号，进而确定每个绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝对值，再进行整式的加减运算即得答案．【详解】解：由图示得：a <0，b <0，c >0，a c >，则a +c <0，c -b >0，b +a <0，所以()()()0a c c b b a a c c b a b a c c b a b ++--+=-++---+=--+-++=⎡⎤⎣⎦故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值的化简和整式的加减运算，解题的关键是根据加减法则确定代数式的符号并正确的进行绝对值的化简．5．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -【答案】A【解析】【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．【详解】根据数轴上点的位置得：0b c a <<<，且a b <，则0a c ->，0a b +<，0b c -<， 则2a c a b b c a c a b b c a --++-=-++-+=．故选A ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．6．如图，数轴上的三点A ，B ，C 分别表示有理数a ，b ，c ，则化简|a -b |-|c -a |+|b -c |的结果是（ ）A ．2a -2cB ．0C ．2a -2bD ．2b -2c 【答案】B【解析】【分析】根据数轴，得到信息为a ＜b ＜0＜c ，化简绝对值即可．【详解】∵a ＜b ＜0＜c ，∴a -b ＜0，b -c ＜0，c -a ＞0，∴|a -b |-|c -a |+|b -c |=b -a -c +a +c -b=0，故选B ．本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键．7．已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简a c b c a b ++---的结果是（ ）A ．222a c b +-B ．0C ．22c b -D ．2c 【答案】D【解析】【分析】根据数轴判断出a ，b ，c 的符号，求得a +c 、b -c 、a -b 的符号，然后化简求解即可．【详解】解：由数轴可得：0b a c <<<，0a c +>∴0b c -<，0a b ->， ∴()()()2a c b c a b a c b c a b a c b c a b c ++---=+----=+-+-+=故选：D【点睛】此题考查了数轴以及绝对值，涉及了去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b a b a b -++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【答案】D【解析】【分析】先根据数轴求出－1<a <0，0<b <1，|a |<|b |，再去掉绝对值，然后根据分式的性质计算即可．【详解】解：根据数轴可知：－1<a <0，0<b <1，|a |<|b |， ∴原式11a b a b a b a b --+=+--+ 111=---3=-．故选：D ．本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值的计算，解题的关键是注意去掉绝对值后，要保证得数是非负数．9．有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简2a a --的结果是______．【答案】2-【解析】【分析】由题意可得a ＞2，利用绝对值化简可求解．【详解】解：由题意可得：a ＞2，222,a a a a --=--=-∴故答案为：2-【点睛】本题考查绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键． 10．已知：数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简|b ﹣a |+|b ﹣c |＝_____．【答案】a c -##-c +a【解析】【分析】由数轴可知a ，b ，c 的大小关系，进而可知绝对内代数式的正负性，进而可得到答案．【详解】解：由数轴可知0a b c ＞＞＞∴0,0b a b c --＜＞∴原式=()b a b c a c --+-=-故答案为：a c -．【点睛】本题考查化简绝对值，熟练掌握相关知识是解题的关键．11．在数轴上，表示实数a 、b 的点的位置如图所示，化简：a b b a -+-= ___________【答案】2a【分析】a 、b 在原点的两侧，a 为正数，b 为负数，且b －a <0，由此根据绝对值的意义和有理数的加减法计算方法化简即可．【详解】解：由实数a 、b 在数轴上的位置可知，b ＜0＜a ，b －a ＜0，∴|a |-|b |+|b −a |=a -(-b )−(b −a )=a +b −b +a=2a故答案为：2a ．【点睛】此题考查整式的加减，绝对值的意义，以及有理数的加减法计算方法，解题的关键是读懂数轴，得到a ，b ，b －a 的符号．12．已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【答案】222a b c -+【解析】【分析】【详解】由数轴可得：b ＜0，0＜a ＜c ，∴（a +c ）＞0，（b -a ）＜0，（a -c ）＜0，（b -c ）＜0，∴||||2||3||a c b a a c b c +----+-=a +c -（a -b ）-2（c -a ）+3（c -b ）=a +c -a +b -2c +2a +3c -3b =2a -2b +2c ，故答案为：2a -2b +2c ．【点睛】本题考查了化简绝对值及整式的加减；根据数轴判断子式的正负是解题的关键． 13．有理数a ，b ，c 在数轴上表示的点如图所示，则化简22b c a b c a +----=______．【答案】4a -b【解析】根据数轴可以判断a、b、c的正负和它们的绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：由数轴可得，a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|＝b+c﹣2（b﹣a）﹣（c﹣2a）＝b+c﹣2b+2a﹣c+2a＝4a-b．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．已知有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|的结果为_____．【答案】8+2b﹣a．【解析】【分析】根据有理数a，b在数轴上的位置可判断绝对值内部各代数式的正负，进而对绝对值进行化简计算即可．【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的位置可知：2﹣3b＞0，2+b＜0，a+2＞0，3b﹣2a＜0，∴|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|＝2﹣3b+2(2+b)+a+2+(3b﹣2a)＝2﹣3b+4+2b+a+2+3b﹣2a＝8+2b﹣a，故答案为：8+2b﹣a．【点睛】本题考查整式的加减，根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加法运算和有理数的减法运算，化简绝对值.解题关键是能根据有理数a，b在数轴上的位置，结合有理数的加法运算和有理数的减法运算判断绝对值内各式子的符号，据此化简绝对值.15．已知x、y两数在数轴上表示如图．化简：|2x-3y|-|y|+|x|．【答案】3x﹣2y【解析】【分析】由y＜0＜x，得到2x-3y＞0，然后利用绝对值的代数意义将所求式子化简，合并后即可得到结果．【详解】解：由数轴可得y＜0＜x，|y|＜|x|，∴2x-3y＞0，∴|2x-3y|-|y|+|x|=2x-3y+y+x=3x-2y．【点睛】此题考查了数轴以及有理数比较大小，涉及到的知识有：绝对值的代数意义，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．16．已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|．(1)填空：abc0，a+b0（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．【答案】(1)＜，＞；(2)﹣3a﹣2b+c【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置可知a <0，b>0，c>0，|c|＞|b|＞|a|，由此求解即可；（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|即可．(1)根据数轴上A、B、C三点的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|，∴abc＜0，a+b＞0，故答案为：＜，＞；(2)由题意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b＝﹣3a﹣2b+c此题主要考查了有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法整式的加减，要熟练掌握以上知识点，同时要明确∶当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大是解题的关键． 17．已知有理数,,a b c 在数轴上的位置如下图所示，化简：22a c c b b a ++--+【答案】a c +【解析】【分析】由数轴上各数的位置可得a ＜b ＜0＜c ，｜c ｜＜｜b ｜＜｜a ｜，再根据加减法运算法则得出a +c 、c －b 、b +a 的符号，再化简绝对值，然后去括号合并同类项即可求解．【详解】解：由数轴知：a ＜b ＜0＜c ，｜c ｜＜｜b ｜＜｜a ｜，∴a +c ＜0，c －b ＞0，b +a ＜0， ∴22a c c b b a ++--+=-（a +c ）+2（c －b ）+2（b +a ）=2222a c c b b a --+-++=a c +．【点睛】本题考查数轴、绝对值、式子的符号是解答的关键．18．解答下列各题(1)有8筐白菜，以每筐25千克为标准重量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣1.5，﹣2，﹣2.5．回答下列问题：①与标准重量比较，8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？②若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？(2)有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示．①用“＞”或“＜”填空：a ＋b _____0，c ﹣b______0；②|a ＋b |＝_______，|c |＝______，|c ﹣b |＝_______；③化简：|a ＋b |-|c |＋|c ﹣b |．【答案】(1)①总计不足5千克；②出售这8筐白菜可卖507元(2)①>，<；②a b +，c -，b c -；③2+a b【分析】（1）①根据有理数加法列式计算，即可求出结果；②先计算这8筐白菜的总重量，再根据单价乘以数量等于总价，即可解答．（2）①先根据数轴先比较出各数的大小，则可得出a b +和c b -与0的关系；②利用①的结果，结合绝对值的非负性，分别去绝对值即可；③利用②的结果，先去绝对值，再合并同类项，即可得出结果．(1)（1）解：①∵()()()()()1.5320.51 1.52 2.5+-++-++-+-+-=()4.59.5+-=5-，∴总计不足5千克；②∵这8筐白菜的总重量=()2585195⨯+-=（千克），∴出售这8筐白菜可卖2.6195507⨯=（元），答：出售8筐白菜可卖507元．(2)解：①由数轴可得：101c a b <-<<<<，∴0a b +>，0c b -<，故答案为：>，<；②∵0a b +>， ∴a b a b ++＝，∵0c <， ∴c c -＝，∵0c b -<， ∴cb bc =-﹣， 故答案为：a b +，c -，b c - ③a b c c b +-+-=()()()a b c b c +--+-=a b c b c +++-=2+a b ．【点睛】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算的简单应用，以及与数轴有关的计算，去绝对值和整式运算等知识，理清题中的正数和负数的意义和掌握绝对值的非负性是解答本题的关键．19．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且a b =（1）求a b +和a b的值 （2）化简：2a a b c a c b b -+--+---【答案】（1）0a b +=；1a b=-；（2）3b ． 【解析】【分析】 （1）根据a b =且a 、b 位于原点两侧，得到a 、b 互为相反数，然后进行求解即可； （2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．【详解】（1）∵a b =且a 、b 位于原点两侧∴a 、b 互为相反数∴0a b +=，1a b=- （2）如图可得：c ＜b ＜0＜a 且||||a b =∴a ＞0，a=-b 即a+b=0，c -a ＜0，-b ＜0，-2b ＞0因此|||||||||2|a a b c a c b b -+--+---=0()()(2)a a c b c b ---+---=2a a c b c b -++-+=3b【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的关键. 20．已知 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则化简|a －b|－|2c+b|+|a+c|.【答案】c .【解析】【分析】根据数轴得出c ＜b ＜0＜a ，|a|<|c|，所以a -b ＞0，2c+b ＜0，a+ c ＜0，据此去掉绝对值符号，再合并同类项即可；解：∵从数轴可知：c ＜b ＜0＜a ，|a|<|c|，∴a -b ＞0，2c+b ＜0，a+ c ＜0，∴|a －b|－|2c+b|+|a+c|=a -b -（-2c - b ）+（-a -c ）= a -b+2c+b -a -c=c ；答案是：c.【点睛】本题考查了数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．21．有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示，化简121a b a b ++-++-.【答案】222a b --+【解析】【分析】结合数轴，确定a+1，2-b ，a+b -1的符号是正或负，再结合绝对值的非负性，去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可完成.【详解】根据数轴，10,20,0a b a b +<->+<121a b a b ++-++-(1)(2)[(1)]a b a b =-++-+-+-121a b a b =--+---+222a b =--+【点睛】本题考查数轴以及绝对值的化简，难度较大，属于易错题，熟练掌握绝对值的非负性以及有理数加减法的运算法则是解题关键.22．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图所示：(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0； c -b 0； a +c 0；(2)化简：2b a c b a c ----+【答案】（1）＞；＜；＜；（2）a+3c【解析】（1）先根据数轴判断a 、b 、c 的符号及大小，再根据有理数的加减法，可得答案；（2）由（1）中的判断，再根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，合并同类项，可得答案．【详解】解：（1）由数轴可知c ＜a ＜0＜b,∴b -a ＞0； c -b ＜0； a +c ＜0；（2）∵b -a ＞0； c -b ＜0； a +c ＜0 ∴2b a c b a c ----+=b -a -(b -c)-2(-a -c)=b -a -b+c+2a+2c=a+3c【点睛】本题考查了绝对值的性质及数轴的有关知识，利用数轴判断出a 、b 、c 的符号及大小关系，再用绝对值的性质化简是解题关键.23．已知,,a b c ，数在数轴上的位置如图所示：（1）化简：a b bc ca abc a b bc ca abc++++； （2）若b a c >>，化简：c a b c b a a c -+--+++．【答案】（1）-3；（2）3a c --【解析】【分析】（1）先判断a 、b 、c 的符号，进而判断相关积的符号，脱去绝对值计算即可；（2）根据条件判断出每一个绝对值内的式子的符号，在根据绝对值的性质脱去绝对值计算即可求解．【详解】解：()1由图中数轴可得0b a c <<<，0,0,0bc ca abc ∴<<> 原式111113a b bc ca abc a b bc ca abc----=++++=----+=-； ()2又b a c >>0,0,0,0c a b c b a a c ∴->+<-<+<∴原式()()()c a b c b a a c =--++--+c a b c b a a c =---+---3a c =--．【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减等知识，根据数轴提供的信息判断出绝对值内的符号是解题关键．24．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，（1）用“>”或“<”填空：c b +_________0，ac_________0，abc_________0，ab c +____________0．（2）求代数式a ab abc a ab abc++的值． 【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．【解析】【分析】（1）利用有理数的加法和乘法判断式子的符号，即可得到；（2）先去绝对值，然后合并即可．【详解】由数轴可知：b a 0c <<<，b c >（1）0c b +<，0ac <，0abc >，0ab c +>故答案为＜，＜，＞，＞；（2）ab 1111a abc a ab abc a ab abc a ab abc++=-++=-++=； 故答案为1-．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘除法，有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．也考查了绝对值．。
绝对值化简与数轴结合类压轴题
一. 数轴上的距离问题已知数轴上有A,B 两点，它们代表的数字分别是a ，b①如图，因为a ＜b ，则A ，B 两点之间的距离为AB=b-a （大数—小数）。
②如图，因为a ＞b ，则A ，B 两点之间的距离为AB=a-b （大数—小数）。
③当不知道a ，b 两个数的大小时，则A,B 两点之间的距离为AB=a b a --b 或。
二．与数轴结合的绝对值中的最值问题A:两个点的绝对值最值问题：之间的距离。
与表示之间的距离，与表示理解：b b a x x x a x -- ①()b x a x a b x a x ≤≤---+-的取值范围是此时小大的最小值为,b ②()b x x a b b x a x ≥-----的取值范围是此时小大的最大值为, ③()a x x b a b x a x ≤-----的取值范围是此时大小的最小值为,练一练： ①的最小值为37-+-x x ，此时x 的取值范围是 ②的最小值为37++-x x ，此时x 的取值范围是 ③的最大值为37---x x ，此时x 的取值范围是 ④的最小值为37---x x ，此时x 的取值范围是B ：三个点的绝对值最值问题处取得。
c x = 练一练：()处取得。
最小值在的最小值为=-+-+-x x x x ,345 ()处取得。
最小值在的最小值为=++-+-x x x x ,345C.多个点的最值问题：结论1：当点的各数为奇数个时，最小值在最中间的那个点取得。
如上图：求e x d x c x b x a x -+-+-+-+-的最小值，最小值在c x =处取得，将c x =带入上式即可求得最小值。
练一练：求54321-+-+-+-+-x x x x x 最小值。
结论2：当点的各数为偶数个时，最小值在最中间的那一段的数值中取得。
如上图：求d x c x b x a x -+-+-+-的最小值，最小值在c x ≤≤b 处取得，将x 范围内的任意一个数值带入上式即可求得最小值。
绝对值的化简
“绝对值的化简”例题解析无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）解：原式。
2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。
（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或。
（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式。
又如，化简此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y看作一个整体未知数，找出界值，使的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当时，（2）当时（3）当时二、含有两个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当时，化简解：原式2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论如：化简的界值为－3，的界值为所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）原式（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）原式（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）原式又如，化简此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
与绝对值数轴……有关的化简与求值
《绝对值数轴化简与求值》一、介绍绝对值数轴是数学中常见的一种图示工具，用来表示数的绝对值大小及其在数轴上的位置。
在解决实际问题和数学题目中，经常需要对绝对值数轴进行化简和求值操作。
本文将从化简和求值两个方面，深入探讨与绝对值数轴有关的内容。
二、绝对值数轴的化简1. 什么是化简化简是指将一个复杂的数学表达式或问题简化为更加直观和易于处理的形式。
在绝对值数轴中，化简通常指对绝对值表达式进行简化，以便更好地理解和操作。
2. 绝对值数轴化简的基本方法（1）根据绝对值的定义绝对值数轴的化简首先要根据绝对值的定义进行操作。
|a|表示a的绝对值，当a大于等于0时，|a|等于a；当a小于0时，|a|等于-a。
（2）应用数轴图示利用数轴图示，将绝对值数轴的表达式转化为更直观的数轴位置。
|x-3|表示x到3的距离，可以表示为x在数轴上距离3的正向和负向的距离。
3. 示例分析【示例】化简绝对值数轴表达式|2x-5|+3。
【化简过程】根据绝对值的定义，|2x-5|大于等于0，因此化简后有2x-5或者-(2x-5)。
再根据数轴图示，得到2x-5大于等于0时，|2x-5|=2x-5；2x-5小于0时，|2x-5|=-(2x-5)。
最终化简得：2x-5或者-(2x-5)。
三、绝对值数轴的求值1. 什么是求值求值是指对数学表达式或问题进行具体数值的计算操作。
在绝对值数轴中，求值通常指根据具体数值，确定绝对值数轴表达式的具体取值。
2. 绝对值数轴求值的基本方法（1）根据数轴位置根据数轴位置，确定绝对值数轴表达式的取值范围。
如果是一根绝对值数轴，可以通过观察数轴上的正负号，确定绝对值的具体取值。
（2）代入具体数值将具体数值代入绝对值数轴的表达式中，计算得到具体的绝对值数值。
3. 示例分析【示例】求值绝对值数轴表达式|2x-5|+3，当x=4时的取值。
【求值过程】根据化简后的表达式，当x=4时，代入得到|2*4-5|+3=5+3=8。
利用数轴化简绝对值答案
知识点整合绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作 a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 .③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 5 符号是负号，绝对值是 5 .求字母 a 的绝对值：a(a 0) ① a 0( a 0)a(a 0)a( a 0)② aa(a 0)a( a 0)③aa(a 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值的其它重要性质：（1 ）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a ，且 a a ；（2 ）若 a b ，则a b 或a b ；（两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数）（3）ab a b ；（两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积）（4）a a(b 0) ；b b（两个数相除的绝对值等于这两个数的绝对值再相除）（5）| a |2| a2 | a 2 ；（一个数的平方等于这个数的平方的绝对值，也等于这个数的绝对值的平方）绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0 ，那么这若干个非负数都必为0.例如：若 a b c 0 ，则a0 ，b 0 ，c 0利用数轴化简绝对值通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号例题 1 有理数a，b，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|原式=|a-b|-(b-c)-(a-c)=a-b-b+c-a+c=-2b+2c例题 2 如果有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求 a b a c b c 的值.b -1c 0 a 1原式=|a-(-b)|+(a-c)-|b-(-c)|=-[a-(-b)]+a-c+[b-(-c)]=-a-b+a-c+b+c=0第一步标位第二步改写成相减的形式第三步利用数轴判断是大减小还是小减大从而去掉绝对值，但是要记得带上括号第四步去括号( 根据去括号的法则)第五步合并同类项从而化简求值特别注意绝对值前面是减号的例题 3 若用A、B、C、D 分别表示有理数a、b、c，0 为原点。
七年级上册数学绝对值的化简微课课件
审题，列出abc值的大小关系
根据abc绝对值大小去判断题 目中含绝对值式子中符号
根据绝对值的代数意义，去绝 对值符号，并用括号括起来 去括号、合并同类项，计算最终结果
解题策略点：
根据abc绝对值
大小去判断题目
第 二
中含绝对值式子
感谢您的耐心倾听
步 中符号大小
审题，列出abc值 的大小关系
第一步
第三步
第 四 步
去括号、合并同类 项，计算最终结果
根据绝对值的代 数意义，去掉绝 对值符号，并全 部用括号括起来
练习： 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，试化简：
|a-b|+|b-c|-|源自-a|.解：原式=－(a－b)+(b－c)－[－(c－a)] =－a+b+育b－老师c+c－a =－2a+2b
初中数学课件 之
绝对值化简技巧专题
实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式 |a|-|a+b|+|c-a|的值等于（ ）,
绝对值的代数意义：
实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式 |a|-|a+b|+|c-a|的值等于（ ）,
∵由数轴上a,b,c位置可知 b＜a＜0＜c
∵a+b<0，∴|a+b|= －(a+b） ∵|c|>|a|，∴c-a>0，∴|c-a|=c-a
初一绝对值化简数轴动点问题
知识要点1、a 的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；b -a 的几何意义是：在数轴上，表示数b a ,对应数轴上两点间的距离。
2、去绝对值符号的法则：一、根据题设条件化简：例1、设 化简例2、三个有理数c b a ,,，其积不为零，求cc b b a a ++的值二、借助数轴化简 例3、有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a cb b a b a --+++-。
例4、c b a ,,的大小如下图所示，求ac ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值a c x0 b ab 0 x1 c ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0000a a a a a a三、采用零点分段讨论法化简例5、化简|x+2|+|x-3|例6、若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值。
例题精讲1、当52<<-x 时，化简5772----+x x2、如果32≤≤-x ，求322-+-+x x x 的最大值.3、化简3223++-x x4、已知0≠abc ，求abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++的值5、当x 的取值范围为多少时，式子4311047+---+-x x x 的值恒为一个常数，试求出这个值及x 的取值范围.6、若21<<x ，求代数式x x x x x x +-----1122的值7、若0<x ，求x x x x ---32及32x x -的值8、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值9、化简200774+-+-x xa c x0 b数轴上的线段与动点问题1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
部编数学七年级上册第一次月考难点特训(三)和绝对值的化简有关的压轴题(解析版)含答案
第一次月考难点特训（三）和绝对值的化简有关的压轴题1．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，（1）用“>”或“<”填空：c b +_________0，ac _________0，abc _________0，ab c +____________0．（2）求代数式a ab abc a ab abc++的值．【答案】（1） <；<；>；>；（2）1．【解析】【分析】（1）利用有理数的加法和乘法判断式子的符号，即可得到；（2）先去绝对值，然后合并即可．【详解】由数轴可知：b a 0c <<<，b c>（1）0c b +<，0ac <，0abc >，0ab c +>故答案为＜，＜，＞，＞；（2）ab 1111a abc a ab abc a ab abc a ab abc++=-++=-++=；故答案为1-．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘除法，有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．也考查了绝对值．2．已知,,a b c ，数在数轴上的位置如图所示：（1）化简：a b bc ca abc a b bc ca abc++++；（2）若b a c >>，化简：c a b c b a a c -+--+++．【答案】（1）-3；（2）3a c--【解析】【分析】（1）先判断a 、b 、c 的符号，进而判断相关积的符号，脱去绝对值计算即可；（2）根据条件判断出每一个绝对值内的式子的符号，在根据绝对值的性质脱去绝对值计算即可求解．【详解】解：()1由图中数轴可得0b a c <<<，0,0,0bc ca abc \<<>Q 原式111113a b bc ca abc a b bc ca abc----=++++=----+=-；()2又b a c>>Q 0,0,0,0c a b c b a a c \->+<-<+<\原式()()()c a b c b a a c =--++--+c a b c b a a c=---+---3a c =--．【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减等知识，根据数轴提供的信息判断出绝对值内的符号是解题关键．3．有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示（1）用“<”连接0、a -、b -、1-（2）化简：12113a ab b a -+----（3）若2(1)0c a ×+<，且0c b +>，求1111c c a b cc c a b c +--++-+--+的值．【答案】（1）10b a -<-<<；（2）455333a b +-；（3）1【解析】【详解】试题分析：（1）在数轴上表示出-a 、-b ，根据数轴上的数右边的总比左边的大，观察数轴，即可得结论；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可.试题解析：（1）10b a -<-<<；（2）根据图示，可得a <-1<0<b <1，∴a <0，a +b -1<0，b -a -1>0，∴12113a ab b a -+----=-a +2(a +b -1)-13(b -a -1)=-a +2a +2b -2-111333b a ++ =455333a b +-；（3）∵()210c a ×+<，∴c <0.∵0c b +>，∴c b p ，∴c +1>0，c -1<0，a -b +c <0，∴原式=1-1-（-1）=1.点睛：本题考查了用数轴比较数的大小：数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题时要明确：①当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ；②当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a ；③当a 是零时，a 的绝对值是零．4．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a ，b ，c 满足0abc >，求||||||a b c a b c++的值．解：由题意得：a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即0a >，0b >，0c >时，则：||||||1113a b c a b c a b c a b c ++=++=++=；②当a ，b ，c 有一个为正数，另两个为负数时，设0a >，0b <，0c <，则：||||||1(1)(1)1a b c a b c a b c a b c--++=++=+-+-=-；综上所述：||||||a b c a b c ++的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知||3a =，1=b ，且a b <，求a b +的值；（2）已知a ，b 是有理数，当0ab ¹时，求||||a b a b +的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <．求||||||b c a c a b a b c +++++的值．【答案】（1）2-或4-；（2）2±或0；（3）1-．【解析】【分析】（1）先根据绝对值运算求出a 、b 的值，再根据a b <可得两组a 、b 的值，然后代入求值即可得；（2）分①0a >，0b >、②0a <，0b <、③0a >，0b <、④0a <，0b >四种情况，再分别化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；（3）先根据已知等式可得b c a +=-，a c b +=-，a b c +=-，且a ，b ，c 有两个正数一个负数，再化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得．【详解】（1）因为3a =，1=b ，所以3,1a b =±=±，因为a b <，所以31a b =-ìí=î或31a b =-ìí=-î，则(3)12a b +=-+=-或(3)(1)4a b +=-+-=-，即a b +的值为2-或4-；（2）由题意，可分以下四种情况：①若0a >，0b >，则112a b a b a b a b+=+=+=；②若0a <，0b <，则(1)(1)2a b a b a b a b +=+=-+-=---；③若0a >，0b <，则1(1)0a b a b a b a b +=+=+-=-；④若0a <，0b >，则(1)10a b a b a b a b+=+=-+=-；综上，a b a b+的值为2±或0；（3）因为a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <，所以b c a +=-，a c b +=-，a b c +=-，且a ，b ，c 有两个正数一个负数，设0a >，0b >，0c <，则(1)(1)11b c a c a b a b c a b c a b c+++---++=++=-+-+=--．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．5．解答下列问题（1）若有理数x 、y 满足||3,|1|4x y =+=，且||()x y x y +=-+，求||||x y +的值．（2）已知有理数a 、b 、c 的在数轴上的位置如图所示，请化简：||||||||a b a b c +++-．【答案】（1）6或8．（2）22a b c ---．【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质解得x ，y 的值，分情况讨论得出符合条件的x ，y 的值，即可解．（2）根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决．【详解】（1）∵||3x =，|1|4y +=，∴3x =或3-，3y =或5-，①当3x =，3y =时，||6()6x y x y +=¹-+=-（舍去），②当3,5x y ==-时，||2()2x y x y +==--+=，||||8x y +=③当3,3x y =-=时，||0()0x y x y +==-+=，||||6x y +=．④当3,5x y =-=-时，||8()8x y x y +==-+=，||||8x y +=．则②3④满足，则||||6x y +=或8．（2）由题得：0,0,0,0a b a b c +<<<>，∴||||||||a b a b c +++-()a b a b c=-+---22a b c =---．【点睛】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合的思想解答．6．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，且表示数a 的点、数b 的点与原点的距离相等．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a ＋b ____0，a －c ____0，b －c ____0；(2)|b －1|＋|a －1|＝____；(3)化简|a ＋b |＋|a －c |－|b |＋|b －c |．【答案】（1）=、>、<；（2）a -b ；（3）a【解析】【分析】（1）根据数轴上各数的位置得到b <-1<c <0<1<a ，a b =，根据有理数的加减法法则进行判断即可；（2）根据b <-1<c <0<1<a ，化简11b b -=-，11-=-a a ，即可计算加减法；（3）根据b <-1<c <0<1<a ，得到a +b =0，a -c >0，b -c <0，化简|a ＋b |=0，|a －c |=a -c ，|b |=-b ，|b －c |=c -b ，再代入计算.【详解】（1）由题意得：b <-1<c <0<1<a ，a b =，∴a +b =0，a -c >0，b -c <0，故答案为：=、>、<；（2）∵b <-1<c <0<1<a ，∴b -1<0，a -1>0，∴11b b -=-，11-=-a a ，∴|b －1|＋|a －1|＝1-b +a -1=a -b ，故答案为：a-b ；（3）∵b <-1<c <0<1<a ，∴a +b =0，a -c >0，b -c <0，∴|a ＋b |=0，|a －c |=a -c ，|b |=-b ，|b －c |=c -b ，∴|a ＋b |＋|a －c |－|b |＋|b －c |=0+a -c +b +c -b=a .【点睛】此题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，有理数的加减法计算法则，正确化简绝对值是解题的关键.7．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且a b=（1）求a b +和a b的值（2）化简：2a a b c a c b b-+--+---【答案】（1）0a b +=；1a b=-；（2）3b ．【解析】【分析】（1）根据a b =且a 、b 位于原点两侧，得到a 、b 互为相反数，然后进行求解即可；（2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．【详解】（1）∵a b =且a 、b 位于原点两侧∴a 、b 互为相反数∴0a b +=，1a b=-（2）如图可得：c ＜b ＜0＜a 且||||a b =∴a ＞0，a =-b 即a +b =0，c -a ＜0，c -b ＜0，-2b ＞0因此|||||||||2|a abc a c b b -+--+---=0()()(2)a a cbc b ---+---=2a a c b c b-++-+=3b【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的关键.8．已知A ，B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M ，N 均为数轴上的点，且OA OB <．（1）若A ，B 的位置如图所示，试化简：a b a b a b -+++-∣∣；（2）如图，若8.9a b +=，3MN =，求图中以A ，N ，O ，M ，B 这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且215MN AB =-，3a =-，若点P 为数轴上一点，且23PA AB =，试求点P 所对应的数．【答案】（1）b -a ；（2）41.6；（3）9-或3．【解析】【分析】（1）由图可知a 、b 的符号，再确定a +b 、a -b 的符号，然后根据绝对值的性质解答即可；（2）先列举出所有的线段，求出它们的和，再观察与AB 、MN 的关系即可解答．（3）先求得OA 和AB 的长，再分点P 可能在原点的左边和在原点的右边两种情况讨论．【详解】（1）由已知得0a <，0b >．∵OA OB <，∴||||a b <，∴0a b +>，0a b -<，∴a b a b a b a b a b b a b a -+++-=--+++-=-；（2）∵8.9a b +=，∴8.9AB =，又∵3MN =，∴AN AO AM AB NO NM NB OM OB MB+++++++++()()()()AN NB AO OB AM MB AB NO OM NM=+++++++++AB AB AB AB NM NM=+++++42AB NM=+48.923=´+´41.6=；（3）∵3a =-，∴3OA =．∵M 为AB 的中点，N 为OA 的中点，∴12AM AB =，12AN OA =，∴11132222MN AM AN AB OA AB =-=-=-．又∵215MN AB =-，所以1321522AB AB -=-，解得9AB =，∴263PA AB ==．当点P 在点A 的左边时，点P 在原点的左边，9OP =，故点P 所对应的数为9-；当点P 在点A 的右边时，点P 在原点的右边，3OP =，故点P 所对应的数为3．综上，点P 所对应的数为9-或3．【点睛】本题考查了数轴上点的特点，绝对值的性质，中点定义．能够在数轴上准确找出线段的和差关系是解题的关键．9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7+21|=______；②|﹣12+0.8|=______；③23.2 2.83--=______；（2）用合理的方法进行简便计算：1111924233202033æö-++---+ç÷èø（3）用简单的方法计算：|13﹣12|+|14﹣13|+|15﹣14|+…+|12004﹣12003|．【答案】（1）①7+21；②10.82-；③22.83.23+-；（2）9；（3）10012004．【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0即可得出结论；（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可；（3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．【详解】解：（1）①|7+21|=21+7；故答案为：21+7；②110.80.822-+=-；故答案为：1 0.82-；③23.2 2.83--=22.83.23+-故答案为：22.83.23+-；（2）原式=1111 9242 33202033 -++-=9（3）原式=11111111... 23344520032004 -+-+-++-=11 22004 -=1001 2004【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，此题的难点把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系．10．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d．（1）若c 与d 互为相反数，则a =________；（2）若d -2b =8，那么点C 对应的数是________；（3）若abcd <0，a +b >0求|2||3||7|||a b b c c d a -++-+-+-的取值范围．【答案】（1）8-；（2）2；（3）20＜|2||3||7|||a b b c c d a -++-+-+-＜23．【解析】【分析】（1）由c 与d 互为相反数，CD 之间的距离为4，所以CD 的中点为原点，点A 到原点的距离为8，位于原点的左侧，即a =-8；（2）由BD =7，d -2b =8得点B 到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C 位于原点的右侧，距离2个单位长度，即点C 对应的数为2；（3）由a +b ＞0得a ＞0＞b ，且|a |＞|b |，-1.5＜a ＜0，再由abcd ＜0求得d ＞c ＞b ＞0＞a ，再根据数轴上点的位置得b =a +3，c =a +6，d =a +10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得．【详解】（1）解：（1）如图所示：∵c 与d 互为相反数， ∴CD =4，O 为原点，∴|OA |=8，∴a =-8；（2）如图2所示：∵BD =7，即7d b -=，又28d b -=，∴b =-1， ∴点B 向右移动一个单位长度是原点，又∵OC =2，点C 在原点的右侧，所以 c =2（3）∵0abcd <且0a b +>∴0,0,0,0a b c d <>>>且||||a b <又∵3,6,10b ac ad a =+=+=+原式237b a b c c d a=-++-+-+-234a b d =-+++23(3)(10)4a a a =-+++++223a =+∵ 1.50a -<<∴20|2||3||7|||23ab bc cd a <-++-+-+-<．【点睛】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围．11．数轴上从左到右的三个点,,A B C 所对应的数分别为,,a b c ，其中2019AB =，1000BC =，如图所示．（1）若以B 为原点，写出点,A C 所对应的数，并计算a b c ++的值．（2）原点O 在,A B 两点之间，求||||||a b b c ++-的值．（3）若O 是原点，且17OB =，求a b c +-的值．【答案】（1）A 对应-2019，C 对应1000，a b c ++=-1019；（2）3019；（3）-3000或-3036【解析】【分析】（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A 、C 所对应的数；（2）原点O 在A ，B 两点之间，|a |+|b |=AB ，|b -c |=BC ，进而求出结果；（3）若原点O 在点B 的左边；若原点O 在点B 的左边；分两种情况讨论可求a +b -c 的值．【详解】解：（1）∵点B 为原点，AB =2019，BC =1000，∴点A 表示的数为a =-2019，点C 表示的数是c =1000，∴a +b +c =-2019+0+1000=-1019；（2）∵原点在A ，B 两点之间，∴|a |+|b |+|b -c |=AB +BC =2019+1000=3019．答：|a |+|b |+|b -c |的值为3019；（3）若原点O 在点B 的左边，则点 A ，B ，C 所对应数分别是a =-2002，b =17，c =1017，则a +b -c =-2000+17-1017=-3000；若原点O 在点B 的右边，则点A ，B ，C 所对应数分别是a =-2036，b =-17，c =983，则a +b -c =-2036-17-983=-3036．【点睛】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解决问题．12．已知点A 在数轴上表示的数是a ，点B 在数轴上表示的数是b ，且2|4|(1)0a b ++-=，现将点A ，B 之间的距离记作AB ，定义AB a b =-．（1）AB =_________________．（2）设点P 在数轴上表示的数是x ，||||2PA PB -=，求x 的值．【答案】（1）5；（2）12-【解析】【分析】（1）根据题意，利用非负性求出a 、b 的值，然后代入计算求出答案；（2）根据题意，先表示出||PA 和||PB ，然后对x 进行分类讨论，即可得到答案.【详解】解：（1）根据题意，∵2|4|(1)0a b ++-=，∴40a +=，10b -=，∴4a =-，1b =，∴点A 表示的数是4-，点B 表示的数是1；∴415AB a b =-=--=；故答案为：5.（2）设点P 在数轴上表示的数是x ，∴||4PA x =+，||1PB x =-，∵||||2PA PB -=，∴|4||1|2x x +--=；当4x <-时，有|4||1|(4)(1)2x x x x +--=-++-=，∴此方程无解，不符合题意；当41x -££时，有|4||1|(4)(1)2x x x x +--=++-=，∴12x =-；当1x >时，有|4||1|(4)(1)2x x x x +--=+--=，∴此方程无解，不符合题意；∴x 的值为12-.【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的化简。
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课题：绝对值化简（与数轴结合）
〖学习目标〗通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号 〖重点难点预见〗读懂数轴判断数的大小 〖学习流程〗
一.知识回顾： 回顾数轴表示数的意义 二.自主学习：
如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
b -1
c 0 a 1
小结：如何通过数轴判断正负，去掉绝对值符号
三．课堂练习
1.已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．
a-b
a+b
1
0-1
2.数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--
b
a
3.实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-
c
b
a
四.课堂检测：
1.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）．
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值
3.有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a c b b a b a --+++-。
a c
x
b
a c
x
b。