第十二讲 数学思想与数学方法(沈航数学文化)
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2014-12-19
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☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则： a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则 ☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反 演（RMI），分解与组合…
2014-12-19
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1）特殊化与一般化 ☆依据 （1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真； （2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。 ☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些 个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜 想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确 性； ☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含 该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质， 再根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。
2014-12-19
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◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
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数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
2014-12-19
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三、几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构 造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体 与系统等。
数、反例、命题等。
☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。
☆ 例子
1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。 3）勾股定理（毕氏定理）。
2014-12-19
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宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
2014-12-19
2014-12-19
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2）关系映射反演（RMI）方法
基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当 的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对 应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问 题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演 到R，求得问题甲的结果。 问题甲
2014-12-19
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☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模 型检验---模型应用
☆ 成功的MM:
a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。
☆数学模型的意义：
a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果； b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。
2014-12-19
Fermat素数：3，5，
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☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，
如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。 数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。 数学归纳法用于证明。 例子：证明数列
2 , 2 2 , 2 2 2 ,, 2 2 2 2 2 .
单调增加有上界。
2014-12-19
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4．数学构造法（基本数学方法）
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式
经有限步骤能够定义或实现的方法。
☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函
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第十二讲 数学思想 与数学方法
主讲人
闻良辰
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目
一、前言
录
二、数学中常用的数学方法 三、几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法
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例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数）
（原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值）
例3.用解析几何方法处理平面几何问题。
（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某 种几何关系）
2014-12-19
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6. 数学模型方法（基本数学方法）
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现实原型 七桥问题
数学模型 一笔画问题
无 解 （一次过桥不可能）
无 解（一笔画不可能）
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图
2014-12-19
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例2. 浦丰投针实验
1777年法国科学家布丰提出的一种
计算圆周率的方法——随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是： 1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线； 2) 取一根长度为l（l<d） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为 m； 3）计算针与直线相交的概率．
一、 前 言
☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质 认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和 相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。 数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是 数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法 起指导作用。
2014-12-19
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☆ MM构造过程 a）对现实原型，分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定MM 的类别； b）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾； c）要进行数学抽象。 ☆ MM的特点 a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的 确定性； b）MM 相对于较复杂的现实原型来说，应具有化繁为简、化难为易 的特点。
2014-12-19
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谢 谢！
2014-12-19
2014-12-19
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3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
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3. 归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法
（数学中的一般方法） ☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人 文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲 学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
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例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0， 对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。
映射σ
问题乙
wk.baidu.com
问题甲的解
映射σ-1
问题乙的解
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☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为 易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的 一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、 函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
2014-12-19
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2.类比法（数学创造发现的方法）
☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上 相似。 ☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之 间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具 有共性，那么，这两个系统就可以类比。 ★ 例子： 1）线段、三角形、四面体 2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式
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第24届“国际数学家大会” 会标
2014-12-19
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例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习： 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x) 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
2014-12-19
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5. 化归法（基本数学方法）
（1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ） ☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。 ☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。 ☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化 归的手段。
事实上，数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维 的角度上看，层次是逐渐上升的。
2014-12-19
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1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）
☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》
☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。 ☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对 象本质特征和变化规律的方法。 ☆分类：
1）由来---理论MM，经验MM 2）使用工具---微分方程MM、概率MM… 3) 涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM；确 定MM、随机MM、模糊MM
2014-12-19
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二、 中学数学中常用的数学方法
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
2014-12-19
数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）
2014-12-19
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例1 哥尼斯堡七桥问题
（确定性模型）
以上网络中哪一个是可以遍历的 (即一笔而不重复地画成)？
2014-12-19
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你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论． （摘自《数学趣闻集锦》,T·帕帕斯）
2014-12-19
2014-12-19
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☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条 捷径。
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☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则： a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则 ☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反 演（RMI），分解与组合…
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1）特殊化与一般化 ☆依据 （1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真； （2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。 ☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些 个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜 想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确 性； ☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含 该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质， 再根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。
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◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
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数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
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三、几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构 造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体 与系统等。
数、反例、命题等。
☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。
☆ 例子
1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。 3）勾股定理（毕氏定理）。
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宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
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2）关系映射反演（RMI）方法
基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当 的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对 应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问 题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演 到R，求得问题甲的结果。 问题甲
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☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模 型检验---模型应用
☆ 成功的MM:
a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。
☆数学模型的意义：
a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果； b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。
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Fermat素数：3，5，
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☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，
如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。 数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。 数学归纳法用于证明。 例子：证明数列
2 , 2 2 , 2 2 2 ,, 2 2 2 2 2 .
单调增加有上界。
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4．数学构造法（基本数学方法）
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式
经有限步骤能够定义或实现的方法。
☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函
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第十二讲 数学思想 与数学方法
主讲人
闻良辰
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目
一、前言
录
二、数学中常用的数学方法 三、几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法
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例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数）
（原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值）
例3.用解析几何方法处理平面几何问题。
（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某 种几何关系）
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6. 数学模型方法（基本数学方法）
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现实原型 七桥问题
数学模型 一笔画问题
无 解 （一次过桥不可能）
无 解（一笔画不可能）
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图
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例2. 浦丰投针实验
1777年法国科学家布丰提出的一种
计算圆周率的方法——随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是： 1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线； 2) 取一根长度为l（l<d） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为 m； 3）计算针与直线相交的概率．
一、 前 言
☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质 认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和 相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。 数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是 数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法 起指导作用。
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☆ MM构造过程 a）对现实原型，分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定MM 的类别； b）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾； c）要进行数学抽象。 ☆ MM的特点 a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的 确定性； b）MM 相对于较复杂的现实原型来说，应具有化繁为简、化难为易 的特点。
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3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
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3. 归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法
（数学中的一般方法） ☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人 文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲 学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
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例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0， 对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。
映射σ
问题乙
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问题甲的解
映射σ-1
问题乙的解
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☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为 易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的 一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、 函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
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2.类比法（数学创造发现的方法）
☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上 相似。 ☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之 间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具 有共性，那么，这两个系统就可以类比。 ★ 例子： 1）线段、三角形、四面体 2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式
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例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习： 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x) 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
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5. 化归法（基本数学方法）
（1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ） ☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。 ☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。 ☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化 归的手段。
事实上，数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维 的角度上看，层次是逐渐上升的。
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1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）
☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》
☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。 ☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对 象本质特征和变化规律的方法。 ☆分类：
1）由来---理论MM，经验MM 2）使用工具---微分方程MM、概率MM… 3) 涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM；确 定MM、随机MM、模糊MM
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二、 中学数学中常用的数学方法
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
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数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）
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例1 哥尼斯堡七桥问题
（确定性模型）
以上网络中哪一个是可以遍历的 (即一笔而不重复地画成)？
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☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条 捷径。