深圳二模 文科数学

深圳二模数学（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}0,2{=A ，}2,1{=B ，则集合()A BA B =A ．∅B ．}2{C ．}1,0{D ．}2,1,0{ 2. i 为虚数单位，则复数i (1i)⋅-的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．1-3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据 此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A ．1xy =B ．y ⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x xd ,0,1)(C ．321x y -= D．2sin y =5. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 6． 若对任意正数x ，均有21a x <+，则实数a 的取值范围是 A. []1,1- B. (1,1)-C. ⎡⎣D. (kg ）第3题图7．曲线1()2xy =在0x =点处的切线方程是A. l n 2l n 20x y +-=B. l n 210x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y +-=8．已知命题p ：“对任意,a b *∈N ， 都有lg()lg lg a b a b +≠+”；命题q ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则 A. 命题“p q ∧”为真命题 B. 命题“p q ∨”为假命题 C. 命题“()p q ⌝∧”为真命题 D. 命题“()p q ∨⌝”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A ．4π3 3cm B ．8π33cm C ．4π 3cm D ．20π33cm 10. 线段AB 是圆221:260C x y x y ++-=的一条直径，2C 以,A B为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PA PB +=A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a = .第11题图第9题图13. 无限循环小数可以化为有理数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ， 请你归纳出0.017= （表示成最简分数,,N )mn m n*∈．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线:cos l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆的直径，弦AC 和弦BD 相交于点P ，且3AB DC =，则 sin APD ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小；（2）若a c =，求ABC ∆的面积S ． 17．（本小题满分12分）设函数c bx x x f ++=2)(，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率. (1) 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{}10≤≤x x , ,b c 是算法语句4Rand()b =*和4Rand()c =*的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面A B C D 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB DD 上，且1AF EC ．（1）求证：1AE FC ；PDC 第15题图（2）若1AA ⊥平面ABCD ，四边形1AEC F 是边长为6的正方形，且1BE =，2DF =，求线段1CC 的长, 并证明：1.AC EC ⊥19．（本小题满分14分）已知二次函数()f x 的最小值为4,-且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()4ln f x g x x x=-的零点个数. 20．（本小题满分14分）如图，,M N 是抛物线21:4C x y =上的两动点（,M N 异于原点O ），且OMN ∠的角平分线垂直于y 轴，直线MN 与x轴，y 轴分别相交于,A B .(1) 求实数,λμ的值，使得OB OM ON λμ=+ ；(2）若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆2C 经过,A M . 求椭圆2C 焦距的最大值及此时2C 的方程.21．（本小题满分14分）定义数列{}n a ： 121,2a a ==，且对任意正整数n ，有122(1)(1)1n n n na a ++⎡⎤=+-+-+⎣⎦. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；A 1BCDC 1B 1D 1FE2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准2012-4-23说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分．11．4, 3（第一空3分，第二空2分） 12 13.17990 14．1 15． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小；（2）若a c =，求ABC ∆的面积S ．【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．解：（1）1,== m 1,==n∴⋅⋅m n =m nπ1c o s .32⋅= ············································································ 3分 22cos sin cos2A A A ⋅-= m n=，1cos 2.2A ∴= ································································································· 5分π0,02π,2A A <<<<ππ2,.36A A ∴== ························································································· 7分（2）(法一) a c == ,π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b = ···································· 10分故1sin 2S bc A ==········································································ 12分(法二) a c = ,π,6A =及sin sin a cA C=,sin sin c A C a ∴==. ····································································· 7分 a c > , π2C ∴<<,cos C ==π1sin sin(π)sin()cos62B A C C C C =--=+=+=sin 4sin a B b A ∴==.·············································································· 10分故1sin 2S bc A == ······································································ 12分17．（本小题满分12分）设函数c bx x x f ++=2)(，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率. (1) 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{}10≤≤x x , ,b c 是算法语句4Rand()b =*和4Rand()c =*的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力． 解：由c bx x x f ++=2)(知，事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”，即4.3b c c +≤⎧⎨≤⎩······ 1分 (1) 因为随机数,{1,2,3,4}b c ∈，所以共等可能地产生16个数对(,)b c ，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4). ············································································· 4分事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩包含了其中6个数对(,)b c ，即：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1). ······························································ 6分所以63()168P A ==，即事件A 发生的概率为3.8········································· 7分 (2) 由题意，,b c 均是区间[0,4]中的随机数，产生的点(,)b c 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积16)(=ΩS . ····························· 8分事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：115()(14)322S A =⨯+⨯=. ······················································· 10分所以15()152()()1632S A P A S ===Ω，即事件A 的发生概率为15.32······································································ 12分E FO 1O D 1B 1C 1DC BA 118．（本小题满分14分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是平行四边形，,E F 分别在棱1,BB1DD 上，且1AF EC ．（1）求证：1AE FC ；（2）若1AA ⊥平面ABCD ，四边形1AEC F 是边长为6的正方形，且1BE =，2DF =，求线段1CC 的长, 并证明：1.AC EC ⊥【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．证明：（1） 四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是平行四边形， 11,AA DD ∴ .AB CD ··········································································· 1分 1,DD CD ⊂平面11,CDD C 1,AA AB ⊄平面11,CDD C∴1AA 平面11,CDD C AB 平面11,CDD C ·········································· 3分 1,AA AB ⊂平面11,ABB A 1AA AB A = ，∴平面11ABB A 平面11.CDD C ································································· 4分 1AF EC ，∴1,,,A E C F 四点共面. ············································································· 5分A 1BCDC 1B 1D 1FE平面1AEC F 平面11ABB A AE =,平面1AEC F 平面111CDD C FC =,1.AE FC ∴ ······························································································· 7分 （2） 设11,,AC BD O AC EF O ==四边形ABCD ,四边形1AEC F 都是平行四边形，O ∴为AC ，BD 的中点，1O 为1AC ，EF 的中点. ································ 8分连结1,OO 由(1)知BE DF ,从而1111()22OO CC BE DF ==+. 1BE = ，2DF =，1 ∴= ································································································· 10分 1AA ⊥平面ABCD ,四边形1AEC F 是正方形, ∴1ACC ∆，ABE ∆，ADF ∆均为直角三角形,得 2222211121293AC AC CC AE CC =-=-=-=, 222615,AB AE BE =-=-=222264 2.BC AD AF DF ==-=-=2225AC BC AB ∴+==，即AC BC ⊥. ·············································· 12分1BB ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD 1AC BB ∴⊥.1,BC BB ⊂ 平面11,BB C CAC ∴⊥平面11.BB C C ·············································································· 13分1EC ⊂ 平面11,BB C C1.AC EC ∴⊥····························································································· 14分19．（本小题满分14分）已知二次函数()f x 的最小值为4,-且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()4ln f x g x x x=-的零点个数. 【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．解：（1） ()f x 是二次函数, 且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,()2(1)(3)23f x a x x ax ax a ∴=+-=--, 且0a >. ···························· 4分 ()20,(1)44a f x a x ⎡⎤>=--≥-⎣⎦,且()14f a =-,min ()44, 1.f x a a ∴=-=-= ······························································ 6分 故函数()f x 的解析式为()22 3.f x x x =--(2) 2233()4ln 4ln 2(0)x x g x x x x x x x --=-=---> , 2234(1)(3)()1x x g x x x x--'∴=+-=. ·························································· 8分 ,(),()x g x g x '的取值变化情况如下：·················································································································· 11分当03x <≤时, ()()140g x g ≤=-<； ···················································· 12分 又()55553ee202212290eg =--->--=>. ······································· 13分 故函数()g x 只有1个零点,且零点50(3,e ).x ∈ ············································ 14分20．（本小题满分14分）如图，,M N 是抛物线21:4C x y =上的两动点（,M N 异于原点O ），且OMN ∠的角平分线垂直于y 轴，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于,A B . (1) 求实数,λμ的值，使得OB OM ON λμ=+；(2）若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆2C 经过,A M . 求椭圆2C 焦距的最大值及此时2C 的方程.【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质， 考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想．解: (1) 设2212121212(,),(,),0,.44x x M x N x x x x x ⋅≠≠ 由OMN ∠的角平分线垂直于y 轴知，直线OM 与直线MN 的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即2221211214440,x x x x x x -+=-化简得212x x =-. ·············· 3分由点221111(,),(2,)4x M x N x x -知直线MN 的方程为2111()44x x y x x -=--. 分别在其中令0y =及0x =得211(2,0),(0,)2x A x B . ····································· 5分 将,,B M N 的坐标代入OB OM ON λμ=+ 中得112221110(2)24x x x x x λμλμ=+-⎧⎪⎨=⋅+⋅⎪⎩, 即242λμλμ=⎧⎨+=⎩, ······························································································· 7分所以21,.33λμ== ·························································································· 8分 (2) 设椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,将1(2,0)A x ,211(,)4x M x 代入,得22411122241,116x x x a a b =+=, ······························ 9分 解得4222114,12x a x b ==, 由22a b >得21048x <<. ································ 10分椭圆2C 的焦距2211(48)22x x c +-==≤=24=≤= ········ 12分 当且仅当22211148,2448x x x =-=<时,上式取等号,故max (2)c =·· 13分此时椭圆2C 的方程为221.9648x y += ······························································ 14分21．（本小题满分14分）定义数列{}n a ： 121,2a a ==，且对任意正整数n ，有122(1)(1)1n n n n a a ++⎡⎤=+-+-+⎣⎦.记数列{}n a 前n 项和为n S . (1) 求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；（2）问是否存在正整数,m n ，使得221n n S mS -=？若存在，则求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，则加以证明.【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．解：（1）对任意正整数k ， 2122121212(1)(1)12k kk k k a a a -+--⎡⎤=+-+-+=+⎣⎦， 22122222(1)(1)13k k k k k a a a ++⎡⎤=+-+-+=⎣⎦. ········································· 1分 所以数列{}21k a -是首项11a =,公差为2等差数列；数列{}2k a 是首项22a =,公比为3的等比数列. ··································································· 2分 对任意正整数k ,2121k a k -=-,1223k k a -=⨯. ········································· 3分所以数列{}n a 的通项公式121,21,.23,2n k k n k a k n k*--=-⎧⎪=∈⎨⨯=⎪⎩N 或12,21,.23,2N nn n n k a k n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⨯=⎩ ························································ 4分 对任意正整数k ,21321242()()k k k S a a a a a a -=+++++++(121)2(13)213k k k +--=+-231k k =+-. ··············································· 5分21122122312331k k k k k k S S a k k ---=-=+--⨯=+- ··························· 6分所以数列{}n a 的前n 项和为12231,21,31,2k n k k n k S k k n k-*⎧+-=-⎪=∈⎨+-=⎪⎩N . 或 12222233,214,31,24N n n n n n n k S k n n k -*⎧+-+=-⎪⎪=∈⎨⎪+-=⎪⎩ ········································ 7分 (2) 21222131(31)n n n n S mS n m n --=⇔+-=+-123(3)(1)(1)n m m n -⇔-=--,从而3m ≤,由m *∈N 知1,2,3.m = ···························································· 8分 ①当1m =时, 123(3)0(1)(1)n m m n -->=--,即221n n S mS -≠； ··········· 9分 ②当3m =时, 22(1)0,1n n -==,即213S S =； ···································· 10分 ③当2m =时, 1231(1)(1)n n n n -=-=-+,则存在1212,,N k k k k ∈<,使得121213,13,1,k kn n k k n -=+=+=- 从而21121333(31)2kkkk k --=-=,得12131,312k k k -=-=,1210,1k k k =-=，得2n =,即432S S =. ·········································· 13分 综上可知,符合条件的正整数对(,)m n 只有两对：(2,2)与(3,1). ·········· 14分。