北师大版数学高二-选修4试题 平面与圆柱面的截线

平面与圆柱面的截线

►一层练习

1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P

是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( )

A.3－12

B.12

C.5－12

D.22

答：D

2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )

A.12

B.33

C.3

2 D ．非上述结论 答：A

3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )

A ．22

B ．2

C ．4

D ．4 2 答：C

4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所

截圆柱面产生的截面形状是________．

答：圆 圆或椭圆 ►二层练习

5．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱面的母线与轴线平行

B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面

C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关

D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 答:D

6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________.

答：45

7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．

解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322.

答案：32

2

8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．

解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2， ∴短轴长为4. 设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12

. ∴2a ＝4b ＝8，c ＝a 2－b 2＝2 3.

∴e ＝c a ＝234＝32

.

∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为3

2

.

►三层练习

9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．

解析：依题意知，短轴长为2b ，

长轴长为2a ＝2b

sin 30°＝4b ，

∴c ＝a 2－b 2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝3

2.

设P 到F 1距离为d .则d

3b ＝32

， d ＝32

b . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， ∴|PF 2|＝5

2b .

答案：5

2b

10．已知圆柱底面的半径等于2 cm ，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．

解析：设截割圆柱的平面为δ，与δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为点C 1、C 2，切点分别为点F 1、F 2，如图所示．

由题意可知，C 1F 1⊥δ，C 2F 2⊥δ， ∴C 1F 1∥C 2F 2，

∴C 1、F 1、C 2、F 2共面． 设C 1C 2与F 1F 2相交于点C .

∵C 1F 1⊥截面δ⇒∠C 1CF 1＝60°⇒C 1C ＝C 1F 1sin 60°＝232＝43

3

(cm)，

同理：C 2C ＝43

3(cm)，

∴O 1O 2＝C 1C ＋C 2C ＝

83

3

(cm)． 即两个内切球的球心间的距离为83

3cm.

11．已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．

解析：易知长半轴长a ＝12

6＝6，短半轴长b ＝r ＝3，

两焦点间的距离2c ＝

122－62＝6 3.

椭圆离心率e ＝c

a ＝32

.

设截面与母线的夹角为φ，则cos φ＝32

. ∴φ＝π6.

12．如图，已知PF 1∶PF 2＝1∶3，AB ＝12，G 1G 2＝20，求PQ .

解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c .

由已知可得a ＝10，b ＝6，c ＝a 2－b 2＝8，e ＝c a ＝4

5.由椭圆定义

PF 1＋PF 2＝K 1K 2＝G 1G 2＝20.

又∵PF 1∶PF 2＝1∶3，∴PF 1＝5， PF 2＝15. 由离心率定义，得PF 1PQ ＝45.∴PQ ＝25

4.

13．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在

平面β上以

G 1G 2所在直线为横轴，以G 1G 2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．

解析：过G 1作G 1H ⊥BC 于H . ∵圆柱底面半径为3，

∴AB ＝2 3.∵四边形ABHG 1是矩形，∴AB ＝G 1H ＝2 3.在Rt △G 1G 2H 中，G 1G 2＝G 1H sin ∠G 1G 2H ＝233

2＝4.又椭圆短轴长等于底面

圆的直径23，

∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.