系统牛顿第二定律与整体法

系统的牛顿第二定律与整体法湖北省恩施高中陈恩谱在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整体法的适用范围大大缩小。

本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。

一、系统的牛顿第二定律1、推导如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也有相互作用（系统内力），则对1：12111F F m a +=对2：21222F F m a += 其中，2112F F =- 联立，得：121122F F m a m a +=+这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。

上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。

这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：112233...F m a m a m a =+++∑ 外或者：112233...x x x x F m a m a m a =+++∑ 外，112233...y y y y F m a m a m a =+++∑ 外2、理解系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系统内力，则只能用隔离法。

系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为研究对象，使用整体法处理问题。

如果系统内各个部分是相对静止的——即各个部分的加速度、速度均相同，则系统的牛顿第二定律方程可以简化为：123(...)F m m m a =+++∑ 外，这就是我们熟悉的几个物体相对静止时的整体动力学方程。

对于这个方程，我们甚至可以这样理解——任何物体都是有内部结构的，组成物体的各个部分之间都存在相互作用和相对运动，但是，在处理某些问题时，当内部运动相对整体运动可以忽略不计时，我们就可以近似的认为各个部分是相对静止的，把物体当作一个“质点”来处理，从而只需要考虑整体所受外力的影响。

比如人站在地面上不动，求地面支持力的大小——这个问题中，人体内心脏在跳动、血液在流动、肺部在呼吸、肠胃在蠕动……但是，在大部分问题的处理中，我们往往并不考虑这些，而直接把人体当作一个质点来处理了。

不过，上述推导过程中，将系统内力进行了相加，并且依据一对内力总是等大反向（牛顿第三定律），认为内力总和为零。

实际上，内力作用对系统内各个物体的加速度是有影响的，一对内力的效果是无法抵F 1F 2F 21F 1212消的——毕竟它们是作用在不同物体上。

因此，内力总和为零是从数学意义角度处理的，系统的牛顿第二定律是一个有用的数学结论。

有些学生无法理解明明是作用在1物体上的力，如何会在2物体上产生加速度，其原因就在这里——因此，没必要把系统的牛顿第二定律看成是一个因果关系方程，仅仅看作一个有用的数学结论即可。

二、整体法的应用举例因为不涉及系统内力，所以用整体法处理问题往往来得比隔离法分别处理各个物体要简洁、迅速得多，因此，审题时要敏锐的把握住题意——是否涉及的是系统外力，或者只需要考虑系统外力即可，如果是，优先考虑使用整体法（系统牛顿第二定律）。

1、静力学中的应用（1）系统内几个物体相对静止的情况【例1】(2010·山东理综)如图所示，质量分别为m 1、m 2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m 1在地面，m 2在空中)，力F 与水平方向成θ角．则m 1所受支持力F N 和摩擦力F f 正确的是()A ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F sin θB ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F cos θC ．F f ＝F cos θD ．F f ＝F sin θ【分析】地面对m 1的支持力、摩擦力，是“m 1、m 2、轻弹簧整体”的系统外力，因此本题用整体法较快。

【解析】选m 1、m 2、轻弹簧整体为研究对象，其受力如图所示，则有：竖直方向：F N ＋F sin θ－(m 1＋m 2)g ＝0水平方向：F f －F cos θ＝0解得：F N ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ，F f ＝F cos θ。

选AC 。

【例2】(2014·济宁模拟)如图所示，两个光滑金属球a 、b 置于一个桶形容器中，两球的质量m a >m b ，对于图中的两种放置方式，下列说法正确的是()A ．两种情况对于容器左壁的弹力大小相同B ．两种情况对于容器右壁的弹力大小相同C ．两种情况对于容器底部的弹力大小相同D ．两种情况两球之间的弹力大小相同【分析】容器壁和容器底部对球的弹力都是系统外力，因此可以使用整体法分析；不过本问题中，系统在水平方向所受外力均为未知力，因此仅仅选整体为研究对象，是无法求解的。

因此需要先选上面的物体为研究对象，分析出左壁对球的弹力后，再用整体法才可。

【解析】以上面的金属球为研究对象，其受力如图1所示，将三个力按顺序首尾相接，得如图2闭合三角形，则有：F N1=m 上g tan θ，N cos m g F θ=上，由于两种情况下θ不变，则m 上减小时，F N1、F N 均减小。

选两球整体为研究对象，其受力如图3所示，则有：竖直方向：F N 地－(m 1＋m 2)g ＝0水平方向：F N1－F N2＝0解得：F N 地=(m 1＋m 2)g 不变，F N1=F N2＝m 上g tan θ均变化。

本题选C .（2）系统内个别物体匀速运动的情况【例3】(2013·北京理综·改编)倾角为α、质量为M 的斜面体静止放置在粗糙水平桌面上，质量为m 的木块恰好能沿斜面体匀速下滑。

则下列结论正确的是()A ．木块受到的摩擦力大小是mg cos αB ．木块对斜面体的压力大小是mg sin αC ．桌面对斜面体的摩擦力大小是mg sin αcos αD ．桌面对斜面体的支持力大小是(M ＋m )g【分析】桌面对斜面体的摩擦力和支持力是系统外力，可以选木块、斜面体系统为研究对象分析这两个力。

(m 1+m 2)g F F N F f F N1F N2F N 地m 总g m 上g F N1F N m 上g F N1F N θθ【解析】选木块为研究对象，易知A 应为mg sin α、B 应为mg cos α；选木块、斜面体系统为研究对象，其受力如图所示，由题意，木块、斜面体加速度均为0，故有：竖直方向：F N 地－(M ＋m )g ＝0水平方向：F f ＝0解得：F N 地=(M ＋m )g 。

本题选D 。

2、动力学中的应用（1）系统内几个物体相对静止的情况【例4】(2012·江苏高考)如图所示，一夹子夹住木块，在力F 作用下向上提升。

夹子和木块的质量分别为m 、M ，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f 。

若木块不滑动，力F 的最大值是()A ．2f (m ＋M)M B ．2f (m ＋M )m C ．2f (m ＋M )M －(m ＋M )g D ．2f (m ＋M )m＋(m ＋M )g 【分析】力F 是系统外力，可用整体法分析；但是，整体加速度取最大值时——即临界点——是在夹子与木块的接触面上静摩擦力最大时，这是系统内力，因此需先用隔离法——选木块为研究对象——求出整体加速度的最大值。

【解析】设系统允许的最大加速度为a 。

选木块为研究对象，有：2f －Mg =Ma选整体为研究对象，有：F －(M +m )g =(M +m )a联立，解得：F =2f (m ＋M )M.选A 。

【例5】如图所示，水平转台上放有质量均为m 的两个小物块A 、B ，A 离转轴中心的距离为L ，A 、B 间用长为L 的细线相连。

开始时，A 、B 与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A 、B 与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？(2)当转台的角速度达到多大时A 物块开始滑动？【解析】（1）转台角速度取值逐渐变大的过程中，B 所受静摩擦力先达到最大值，此时对B ，有：212mg m L μω=⋅，解得：12gLμω=角速度取值再增大时，B 有离心运动趋势，绳中出现张力。

（2）转台角速度取值进一步增大，A 所受静摩擦力也逐渐增大到最大值，此时，对A 、B 系统，有：22222mg mg m L m L μμωω+=+⋅，解得：223g L μω=。

（2）系统的物体间存在相对运动的情况①直线运动【例6】一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M ，环的质量为m ，如图所示。

已知环沿杆以加速度a 匀加速下滑，则此时箱对地面的压力大小为()A ．MgB ．Mg －maC ．Mg ＋mgD ．Mg ＋mg －ma 【分析】由牛顿第三定律可知，箱对地面的压力大小等于地面对箱的支持力，地面是“箱、环系统”的外面，因此分析地面对箱的支持力时可用整体法。

【解析】选箱、环系统为研究对象，其受力如图所示，由系统的牛顿第二定律，有：(M ＋m )g －F N =M ×0+ma解得：F N =(M ＋m )g －ma 。

由牛顿第三定律可知，箱对地面压力F’N =F N =(M ＋m )g －ma 。

选D.【例7】如图所示，滑块A 以一定初速度从粗糙斜面体B 的底端沿B 向上滑，然后又返回，整个过程中斜面体B 与地面之间没有相对滑动，那么滑块向上滑和下滑的两个过程中（）A ．滑块向上滑动的时间等于向下滑动的时间B ．滑块向上滑动的时间大于向下滑动的时间C ．斜面体B 受地面的摩擦力大小改变、方向不变D ．斜面体B 受地面的支持力大小始终等于A 与B 的重力之和F f F N 地(M+m )g F N (M+m )g【解析】滑块上滑时做减速运动，加速度沿斜面向下，大小为1sin cos a g g θμθ=+，下滑时做加速运动，加速度沿斜面向下，大小为2sin cos a g g θμθ=-。

由于上滑、下滑位移相同，且最高点速度均为零，易知上滑时间短。

选滑块、斜面体整体为研究对象，其受力如图所示；将滑块加速度水平、竖直分解，则有：竖直方向：(M ＋m )g －F N 地=M ×0+ma y 水平方向：F f ＝M ×0+ma x解得：F N 地=(M ＋m )g －ma y ，F f ＝ma x 。