高等数学习题课2资料讲解
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解 分析: 当t 0时,t导数不存 , 在
当t0时,dx,dy不存, 在不能用公式求导. dtdt
lim ylim 5(t)24tt limt[54sgnt)(]0.
x 0x t 0 2tt
t0 2sgnt)(
故ddyxt0 0.
其中： t t sgnt
设xy＝ ＝tt ，其中 t，t均可导， 且 t单调， t 0。则由参数方程确定y的 y(x)
可导，且
dy
dy ＝ t＝ dt dx t dx
dt
3. 微分概念及运算
1 定义
设 y＝f(x)在区间I内有定义，x0 ，x0＋xI
若 y＝Ax＋ox
A为与x无关的常量, 则称y＝f(x)在x0点可微；
所确 ,求 d d 定 22 yx.
解 两边取对数 1lny 1lnx, 即 yln yxln x,
x
y
( 1 ly n )y lx n 1 , y lnx 1, 1ln y
1(lny1)(lnx1)1y
yx
y (1lny)2
y(lnyx1y()2l nyx(1)l3nx1)2
例 5 设 x y 5 2tt2t4tt,求d dx yt0.
证： 若f(x)为奇函数 f(， x)则 f(x).
f ( x ) lif( m x x ) f( x ) li f m ( x x ) f( x )
x 0 x
x 0 x
lim f(x x)f(x)f(x)
x 0
x
f (x)为偶函数，同理一 证结 明论 另。
例 2 设 f(x)可导且a满 (fx)足 bf1c， x x
例3 已知 f(1)0, f(1)2,求极限
f(si2nxcoxs)
lim
.
x0
xtanx
练 设 f( 习 x ) ( x 1 ) ： x ( 2 ) 2 ( x 3 ) 3 ( x 4 ) 4 ， f( 3 ) .求
答案 f(： 3)0
讨论题： 已f知 (x)(xa)g(x)，其 g(x)中 连续f， (a).
例 1 设 f(x0)存在，求下列极限：
1 lim f(x0h)f(x0h) ， (； ,0)
h 0
h
2 n l i m nf(x01 n)f(x0)， （ n为正整数
f lim
n
(x0
1) n 1
f
(x0)
f(x0)
n
例 2设 f(x ) x 2 (x 1 )arx 3 c 2 x x t 2 1 a 1 ， n f( 1 )求 .
想一想：下面解法对 对？ 不
f (x) g(x)(xa)g(x)
f (a) g(a)
正确解：
f(a)limf(x)f(a) lim(xa)g(x)0
xa xa
xa
xa
limg(x)g(a) . xa
g(x) 连续
练习：求下列导数
1设yf(ex)ef(x)， 其f(中 x)可 导 ， y ； 求 2设yaax axa xaa，求 y (a0,a1) ； 3设y(1x)2(3x)2(45x)3，求 y(5)(0).
2. 求导法则
1 四则运算法则
设 u＝ u(x) ，v＝ v(x) 均可导
则 ⅰ u v ＝ u v ；
ⅱ u v ＝ u v ＋ u v
，
C u ＝ C u
；
ⅲ
u v
＝
u v－u v v2
（ v 0） 。
4 高阶导数求导法则
设 u＝u(x) ，v＝ v(x) 均具有 n 阶导数，
答案：
1 y f(ex)exef(x) f(ex)ef(x) f(x)； 2 yaax ln2aax aaxa lnaxa1aaxaa1; 3 y(5)(0)5!(953245391252) .
2. 其它例题
例 1证明f： (x)为 若奇函f数 (x)为 ，偶 则函 若f(x)为偶函f数 (x)为 ，奇 则函
高等数学习题课
（2）
导数概念及计算
许志成 制作
第二课 导数概念及计算
I. 目的要求
II. ⒈ 理解导数概念，导数的几何意义；
III. ⒉ 熟悉掌握基本初等函数的求导公式及基本 求导
IV.
法则；
V.
⒊ 熟练掌握复合函数求导法则；
VI.
⒋ 掌握二阶导数的求法，会求一些函数的n
阶导数；
VII. ⒌ 熟练掌握隐函数和参数方程求导法； VIII. ⒍ 理解微分的定义，会求函数的微分。
此时，称Ax 是y＝f(x)在x0点的微分。
记作 dy
即 dy＝A x
且有 dy f (x0)dx
df(u＝ ) f(u)du即 dy＝f(u)du
且在对应 u处f点 (u亦 ) 可导。则有
设y＝f(u， )u＝x，若 u＝x在x点可导，
2 微分的形式不变性
III. 课堂训练题 1. 导数定义的应用
则 ⅰ u v n ＝ u n v n ；
ⅱ c u n ＝ c u n c为常数 ；
ⅲ
u
vn ＝
u n v＋nu n-1v＋
nn -1
2！
u n-2v＋
＋ nn -1 n - k 1 u n-k vk uvn
k!
n
＝
C
k n
u n-k
v k
k0
5 参数方程求导法则：
其a 中 ,b,c均为常 且a数 b， ，求 f(x) .
解：
1求函数 f (x)
由a
f (x)b
f1c x x
a
f1b x
f (x) cx
① ②
解得f(x) 1 [acbc]x a2 b2 x
2求导
f(x) 1 [acbc] a2b2 x2
例 3设 y si4x n c4 o x， s y(n 求 ).
解：
ysi4nx2si2nxco2sxco4sx2si2nxco2sx
(si2nxco2sx)21si2n2x11si2n2x
2
2
y12si2n xco 2xs2si4n x
2
已知(s： inx)(n) sinxn 2
y(n) (si4nx)(n1) 4n1sin4x(n1) 2 #
例4 设函 yf数 (x)由方 xy 程 yx(x0,y0)
II. 内容要点 1. 导数概念
定义 设y＝f(x)在x0点某邻域内有定义，应对x0点的x
有 y＝fx0＋x－fx0
若
y lim x0 x
存在，则称其f为(x)在x0点的导数。
记作 即
f (x0 )
或
y x＝x0
，dy dx x＝x0
f
(x0
)＝lim x0
f
x0＋x－f
x
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x0
或f(x0)x l ixm 0 f(xx ) x f0(x0)
当t0时,dx,dy不存, 在不能用公式求导. dtdt
lim ylim 5(t)24tt limt[54sgnt)(]0.
x 0x t 0 2tt
t0 2sgnt)(
故ddyxt0 0.
其中： t t sgnt
设xy＝ ＝tt ，其中 t，t均可导， 且 t单调， t 0。则由参数方程确定y的 y(x)
可导，且
dy
dy ＝ t＝ dt dx t dx
dt
3. 微分概念及运算
1 定义
设 y＝f(x)在区间I内有定义，x0 ，x0＋xI
若 y＝Ax＋ox
A为与x无关的常量, 则称y＝f(x)在x0点可微；
所确 ,求 d d 定 22 yx.
解 两边取对数 1lny 1lnx, 即 yln yxln x,
x
y
( 1 ly n )y lx n 1 , y lnx 1, 1ln y
1(lny1)(lnx1)1y
yx
y (1lny)2
y(lnyx1y()2l nyx(1)l3nx1)2
例 5 设 x y 5 2tt2t4tt,求d dx yt0.
证： 若f(x)为奇函数 f(， x)则 f(x).
f ( x ) lif( m x x ) f( x ) li f m ( x x ) f( x )
x 0 x
x 0 x
lim f(x x)f(x)f(x)
x 0
x
f (x)为偶函数，同理一 证结 明论 另。
例 2 设 f(x)可导且a满 (fx)足 bf1c， x x
例3 已知 f(1)0, f(1)2,求极限
f(si2nxcoxs)
lim
.
x0
xtanx
练 设 f( 习 x ) ( x 1 ) ： x ( 2 ) 2 ( x 3 ) 3 ( x 4 ) 4 ， f( 3 ) .求
答案 f(： 3)0
讨论题： 已f知 (x)(xa)g(x)，其 g(x)中 连续f， (a).
例 1 设 f(x0)存在，求下列极限：
1 lim f(x0h)f(x0h) ， (； ,0)
h 0
h
2 n l i m nf(x01 n)f(x0)， （ n为正整数
f lim
n
(x0
1) n 1
f
(x0)
f(x0)
n
例 2设 f(x ) x 2 (x 1 )arx 3 c 2 x x t 2 1 a 1 ， n f( 1 )求 .
想一想：下面解法对 对？ 不
f (x) g(x)(xa)g(x)
f (a) g(a)
正确解：
f(a)limf(x)f(a) lim(xa)g(x)0
xa xa
xa
xa
limg(x)g(a) . xa
g(x) 连续
练习：求下列导数
1设yf(ex)ef(x)， 其f(中 x)可 导 ， y ； 求 2设yaax axa xaa，求 y (a0,a1) ； 3设y(1x)2(3x)2(45x)3，求 y(5)(0).
2. 求导法则
1 四则运算法则
设 u＝ u(x) ，v＝ v(x) 均可导
则 ⅰ u v ＝ u v ；
ⅱ u v ＝ u v ＋ u v
，
C u ＝ C u
；
ⅲ
u v
＝
u v－u v v2
（ v 0） 。
4 高阶导数求导法则
设 u＝u(x) ，v＝ v(x) 均具有 n 阶导数，
答案：
1 y f(ex)exef(x) f(ex)ef(x) f(x)； 2 yaax ln2aax aaxa lnaxa1aaxaa1; 3 y(5)(0)5!(953245391252) .
2. 其它例题
例 1证明f： (x)为 若奇函f数 (x)为 ，偶 则函 若f(x)为偶函f数 (x)为 ，奇 则函
高等数学习题课
（2）
导数概念及计算
许志成 制作
第二课 导数概念及计算
I. 目的要求
II. ⒈ 理解导数概念，导数的几何意义；
III. ⒉ 熟悉掌握基本初等函数的求导公式及基本 求导
IV.
法则；
V.
⒊ 熟练掌握复合函数求导法则；
VI.
⒋ 掌握二阶导数的求法，会求一些函数的n
阶导数；
VII. ⒌ 熟练掌握隐函数和参数方程求导法； VIII. ⒍ 理解微分的定义，会求函数的微分。
此时，称Ax 是y＝f(x)在x0点的微分。
记作 dy
即 dy＝A x
且有 dy f (x0)dx
df(u＝ ) f(u)du即 dy＝f(u)du
且在对应 u处f点 (u亦 ) 可导。则有
设y＝f(u， )u＝x，若 u＝x在x点可导，
2 微分的形式不变性
III. 课堂训练题 1. 导数定义的应用
则 ⅰ u v n ＝ u n v n ；
ⅱ c u n ＝ c u n c为常数 ；
ⅲ
u
vn ＝
u n v＋nu n-1v＋
nn -1
2！
u n-2v＋
＋ nn -1 n - k 1 u n-k vk uvn
k!
n
＝
C
k n
u n-k
v k
k0
5 参数方程求导法则：
其a 中 ,b,c均为常 且a数 b， ，求 f(x) .
解：
1求函数 f (x)
由a
f (x)b
f1c x x
a
f1b x
f (x) cx
① ②
解得f(x) 1 [acbc]x a2 b2 x
2求导
f(x) 1 [acbc] a2b2 x2
例 3设 y si4x n c4 o x， s y(n 求 ).
解：
ysi4nx2si2nxco2sxco4sx2si2nxco2sx
(si2nxco2sx)21si2n2x11si2n2x
2
2
y12si2n xco 2xs2si4n x
2
已知(s： inx)(n) sinxn 2
y(n) (si4nx)(n1) 4n1sin4x(n1) 2 #
例4 设函 yf数 (x)由方 xy 程 yx(x0,y0)
II. 内容要点 1. 导数概念
定义 设y＝f(x)在x0点某邻域内有定义，应对x0点的x
有 y＝fx0＋x－fx0
若
y lim x0 x
存在，则称其f为(x)在x0点的导数。
记作 即
f (x0 )
或
y x＝x0
，dy dx x＝x0
f
(x0
)＝lim x0
f
x0＋x－f
x
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x0
或f(x0)x l ixm 0 f(xx ) x f0(x0)