最新重庆大学-数学实验-3微分方程

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数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.无向图中边的端点地位是平等的、边是无序点对。

而有向图中边的端点的地位不平等，边是有序点对，不可以交换。

参考答案:正确2.人口数量与下列因素都有关，人口基数、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例、医疗水平、工农业生产水平、环境、生育政策等等。

参考答案:正确3.一元5次代数方程在复数范围内有多少个根？参考答案:54.任何贪心算法都能求出最优解。

参考答案:错误5.二维插值函数z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)中，method的缺省值是（）参考答案:linear6.在当前文件夹和搜索路径中都有文件ex1.m，在命令行窗口输入ex1时，则执行的文件是当前文件夹中的ex1.m参考答案:正确7.下列关于Dijkstra算法的哪些说法正确参考答案:Dijkstra算法是求加权图G中从某固定起点到其余各点最短路径的有效算法；_Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)，其中n为顶点数；_Dijkstra算法可用于求解无向图、有向图和混合图的最短路径问题；8.如果x=1: 2 : 10,则x(1)和x(5)分别是( )参考答案:1，99.人口是按指数规律无限增长的。

参考答案:错误10.在包汤圆问题的整个建模过程，包括了如下几个步骤（1）找出问题涉及的主要因素（变量），重新梳理问题使之更明确（2）作出简化、合理的假设（3）用数学的语言来描述问题（4）用几何的知识解决问题（5）模型应用参考答案:正确11.下面程序所解的微分方程组，对应的方程和初始条件为：（1）函数M文件weif.m：function xdot=weif(t, x)xdot=[3*x(1)+x(3);2*x(1)+6;-3*x(2)^2+2*x(3)];（2）脚本M文件main.m：x0=[1,2,3] ;[t,x]=ode23(‘weif’,[0,1],x0),plot(t,x’),figure(2),plot3(x( :,1),x( :,2),x( :,3)参考答案:___12.某公司投资2000万元建成一条生产线。

常微分方程实验报告

常微分方程实验报告一、实验目的常微分方程是数学分析和实际应用中非常重要的一部分，本次实验的主要目的是通过实际操作和计算，深入理解常微分方程的概念、性质和求解方法，并能够将其应用到实际问题中，提高我们解决数学问题和实际应用问题的能力。

二、实验原理常微分方程是指含有一个自变量和一个未知函数及其导数的等式。

求解常微分方程的方法有很多，常见的有变量分离法、一阶线性方程的求解方法（如常数变易法）、恰当方程的求解方法（通过积分因子）等。

对于一阶常微分方程，形如＼（y' ＋ p(x)y ＝ q(x)＼）的方程，可以使用积分因子＼（e^｛＼int p(x)dx}＼）来求解。

对于可分离变量的方程，形如＼（g(y)dy ＝ f(x)dx\），可以通过分别积分求解。

三、实验内容（一）一阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）首先，计算积分因子＼（e^｛＼int 2xdx} ＝ e^｛x^2}＼），然后将方程两边乘以积分因子得到：＼（（ye^｛x^2}）＇＝ 2xe^｛x^2}＼）两边积分可得＼（ye^｛x^2} ＝ e^｛x^2} ＋ C\），解得＼（y ＝1 ＋ Ce^｛x^2}＼）2、求解方程＼（xy' y ＝ x^2\）将方程化为＼（y' ＼frac{y}｛x} ＝ x\），这里＼（p(x) ＝＼frac{1}｛x}＼），积分因子为＼（e^｛＼int ＼frac{1}｛x}dx} ＝＼frac{1}｛x}＼）。

方程两边乘以积分因子得到＼（（＼frac{y}｛x}）＇＝ 1\），积分可得＼（＼frac{y}｛x} ＝ x ＋ C\），即＼（y ＝ x^2 ＋ Cx\）（二）二阶常微分方程的求解1、求解方程＼（y'＇ 2y' ＋ y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 2r ＋ 1 ＝ 0\），解得＼（r ＝ 1\）（二重根），所以通解为＼（y ＝（C_1 ＋ C_2x)e^x\）2、求解方程＼（y'＇＋ 4y ＝ 0\）特征方程为＼（r^2 ＋ 4 ＝ 0\），解得＼（r ＝＼pm 2i\），所以通解为＼（y ＝ C_1\cos(2x) ＋ C_2\sin(2x)＼）（三）应用常微分方程解决实际问题1、考虑一个物体在受到与速度成正比的阻力作用下的运动，其运动方程为＼（m\frac{dv}｛dt} ＝ kv\）（其中＼（m\）为物体质量，＼（k\）为阻力系数），求解速度＼（v\）随时间＼（t\）的变化。

重庆大学数学实验实验三

重庆大学
学生实验报告
实验课程名称数学实验
开课实验室
学生姓名学号
开课时间2015 至2016 学年第二学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016 年3 月28 日
1、同一章的实验作为一个实验项目，每个实验做完后提交电子稿到服务器的“全校任选课数
学实验作业提交”文件夹，文件名为“学院学号姓名实验几”，如“机械20073159张新实验一”。

2、提交的纸质稿要求双面打印，中途提交批改不需要封面，但最后一次需将该课程所有实验
项目内页与封面一起装订成册提交。

3、综合实验要求3人合作完成，请在实验报告上注明合作者的姓名。

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。

本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。

一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。

要求求解此偏微分方程。

解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。

此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。

我们可以采用特征线法来求解此类方程。

首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。

将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。

得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。

2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。

(重庆大学高等数学课件)第八章第5节隐函数的微分法

解法2 微分法. 解法2 微分法. 对方程的两边求微分: 的两边求微分:
F′⋅ d( ) +F2′ ⋅d( ) = 0 1
zdx −xdz zdy − ydz F′⋅ +F2′ ⋅ =0 1 2 2 z z F′⋅ zdx−F′⋅ xdz +F2′⋅ zdy−F2′⋅ ydz = 0 1 1 − xF′dz − yF2′dz = −zF′dx −zF2′dy 1 1
∂z ∂z 其中 F 有连续的一阶偏导数, 求证 x 有连续的一阶偏导数一阶偏导数, +y = z − xy ∂y z z ∂x 证明设 G( x, y, z) = F( x + , y + )
z z 是由方程 F( x + , y + ) y x
所确定
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程连续偏导数偏导数, 解法1 解法1 设G( x, y, z) =
1 +y′+z′ +2z ⋅ z′ −1 + 1 + 2y ⋅ y′ z′+3z2 ⋅ z′ −1
13
求导，解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
∂u ∂u ∂v ∂v 例4. 设 xu − yv = 0, yu + xv = 1, 求 , , . , ∂x ∂ y ∂x ∂ y
∂u ∂v u+ x + −y = −u 0 ∂x ∂x ∂u ∂v − v y + v+ x = 0 ∂x ∂x −u − y ∂u −v x −xu − yv = = x −y ∂x x2 + y2 y x
x x
在点
则方程 F( x, y) = 0

重庆大学高等数学习题3-1

A 组1.验证拉格朗日中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '，证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =-又因为2()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得1,21052412x ±==则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=-2.证明方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明证明：设32()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'=2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =，x =（不在所设区间内，舍去）若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符则方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根3.若方程10110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定理的第三个条件证明：设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=即12011(1)0n n n a nxa n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根4.设2350a b -<，证明：方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根解析：考查连续函数的性质，分析题干所给条件，2350a b -<正是判断函数53()234f x x ax bx c =+++导数根的存在性的依据，而lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，则可以判断函数的根的唯一性证明：设53()234f x x ax bx c =+++，42()563f x x ax b '=++令2t x =，2()563f t t at b '=++（0t ≥）而222(6)543366012(35)0a b a b a b -⋅⋅=-=-<则2()5630f t t at b '=++=没有实数解，且lim ()x f x →+∞'=+∞因此可得()0f x '>恒成立，方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根 5.设0a b >>。

实验2--微分方程(基础实验)

实验2--微分方程(基础实验)119 项目四无穷级数与微分方程实验2 微分方程（基础实验）实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解.例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*)则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程5.0,032=+='=x y x y y的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}](*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*)则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系列点n x x x ,,,21Λ, 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21Λ, 再通过插值方法得到 )(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数120f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲线.例如, 画出0)0(,12=-=y y dxdy 的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形（图2.1）, 从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.-3-2-10123-2-1012 -3-2-10123-2-112下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}];Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形（图2.2）. 从图中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 (教材例2.1) 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解.输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]则输出微分方程的通解:121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x 其中C[1]是任意常数.例2.2 (教材例2.2) 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解. 输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 (教材例2.3) 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x 例2.4 (教材例2.4) 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线.输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction]; -4-224-40-20204060图2.3例2.5 (教材例2.5) 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入122Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 验证c y y x =+--)3305(15152是微分方程2)(42-='y x x y 的通解. 输入命令<<Graphics`PlotField`<<Graphics`ImplicitPlot`sol=(-5x^3-30y+3y^5)/15==C;g1=ImplicitPlot[sol/.Table[{C->n},{n,-3,3}],{x,-3,3}];g2=PlotVectorField[{1,x^2/(y^4-2)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];g=Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g2,g}]];则分别输出积分曲线如图 2.4(a), 微分方程的方向场如图 2.4(b). 以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图2.4 (c).-3-2-1123-2-112-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123图2.4从图 2.4(c)中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合, 且当∞→x 时, 无论初始条件是什么, 所有的解都趋向于一条直线方程.例2.7 (教材例2.6) 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7123 下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.5）.-0.75-0.5-0.2500.250.50.751-1.5-1-0.50.511.52图2.5例2.8 求解微分方程,2)21(22-+='-y x y xy 并作出其积分曲线.输入命令<<Graphics`PlotField`DSolve[1-2*x*y[x]*y' [x]==x^2+(y[x])^2-2,y[x],x]则得到微分方程的解为.)2(323C y x x y ++-+= 我们在33≤≤-C 时作出积分曲线, 输入命令t1=Table[(3+Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];t2=Table[(3-Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];gg1=Plot[Evaluate[t1],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];124gg2=Plot[Evaluate[t2],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g1=ContourPlot[y-x^3/3-x*(-2+y^2),{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->{-3,3},Contours->7,ContourShading->False,PlotPoints->50,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2+y^2-2)/(1-2*x*y)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];Show[gg1,gg2,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出微分方程的向量场与积分曲线, 并输出等值线的图2.6.-3-2-10123-2-10123-2-10123-2-1123图2.6用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.9 (教材例2.7) 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图.输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}]则输出近似解的图形（图2.7）.125 1.5 2.53 3.5410203040图2.7如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.10 (教材例2.8) 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(002-='==+'-+''==x x y y y y y y在区间[0,20]上的近似解.输入 Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}];Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形（图2.8）.5101520-2-112图2.8126 ⎪⎩⎪⎨⎧==+-'1)1(01sin 2y x y x y x 的数值解, 并作出数值解的图形.输入命令<<Graphics`PlotField`sol=NDSolve[{x*y'[x]-x^2*y[x]*Sin[x]+1==0,y[1]==1},y[x],{x,1,4}];f[x_]=Evaluate[y[x]/.sol];g1=Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->All,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2*y*Sin[x]-1)/x},{x,1,4},{y,-2,9},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];g=Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g}],DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出所给微分方程的数值解及数值解的图2.9.1.522.533.544681 1.52 2.53 3.54-22468例2.11 (教材例2.9) 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]127 Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形（图2.10）.2468100.20.40.60.8图2.10例2.12 (教材例2.10) 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形（图2.11(a)）. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不相交.128图2.11改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形（图2.11(b)）. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y(2) ();024=+''+y y y(3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-''2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y(2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y 3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y 下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t t e y x dt dy e y x dt dx 235的通解.129 5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyxy x dt dx 的特解. 6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.。

高等数学重庆大学版教材答案

高等数学重庆大学版教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限存在准则及常用极限第二章：函数与导数2.1 函数的概念与性质2.2 一次函数与多项式函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数与反三角函数2.5 导数的概念及其几何意义第三章：微分学应用3.1 微分学中的中值定理3.2 泰勒公式与函数的凹凸性3.3 曲线的渐近线与曲率第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式及其应用4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的计算方法第五章：常微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法5.2 一阶线性常微分方程5.3 高阶常系数线性微分方程第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的偏导数6.3 多元函数的全微分与全导数第七章：多元函数积分学7.1 二重积分及其计算方法7.2 三重积分及其计算方法7.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 收敛级数判别法8.3 幂级数及其收敛半径第九章：向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与性质9.2 空间几何与平面方程第十章：连续性与一元函数微积分应用10.1 函数连续性与间断点10.2 一元函数微积分应用第十一章：二重积分与曲线积分应用11.1 二重积分应用11.2 曲线积分应用第十二章：无穷级数与多元函数微积分应用12.1 数项级数的应用12.2 多元函数微积分的应用总结：以上为高等数学重庆大学版教材的答案提纲。

希望这个提纲能够帮助你更好地学习和理解高等数学的知识。

在实际讲授过程中，还请参考教材详细内容和课堂教学，确保准确性和全面性。

祝你学习进步！。

工程数学作业3参考答案

工程数学作业3参考答案工程数学作业3参考答案在工程数学中，作业是帮助学生巩固所学知识的重要环节。

作业3是一个综合性较强的作业，涉及到多个概念和技巧。

本文将为大家提供一份参考答案，帮助大家更好地理解和掌握工程数学的相关内容。

1. 题目一：求解微分方程给定微分方程 dy/dx = 2x，求解其通解。

解答：首先将方程分离变量，得到 dy = 2x dx。

然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫2x dx。

对右边进行积分，得到 y = x^2 + C，其中C为常数。

所以方程的通解为 y = x^2 + C。

2. 题目二：求解线性方程组给定线性方程组：2x + 3y = 54x + 6y = 10求解该线性方程组的解。

解答：首先将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 | 5][4 6 | 10]然后对增广矩阵进行行变换，目标是将矩阵化简为上三角形式。

通过第一行乘以2再减去第二行，得到新的矩阵：[2 3 | 5][0 0 | 0]由于第二行全为0，说明该线性方程组有无穷多个解。

我们可以令x = t，其中t 为任意实数，然后代入第一行方程求解y。

所以该线性方程组的解为：x = ty = (5 - 2t)/33. 题目三：求解极限求极限 lim(x->0) [(sinx)/x]。

解答：将极限表达式化简为不定型，得到 lim(x->0) [(sinx)/x] = 1。

这是一个常见的极限结果，被称为正弦函数的极限。

4. 题目四：求解定积分求解定积分∫(0 to π/2) sinx dx。

解答：对于这个定积分，可以直接使用定积分的性质进行求解。

根据定积分的定义，我们有∫(0 to π/2) sinx dx = [-cosx] (0 to π/2) = -cos(π/2) - (-cos(0)) =-1 - (-1) = 0。

5. 题目五：求解常微分方程的特解给定常微分方程 y'' - 4y' + 4y = 0，求解其特解。

数学建模,第三章-微分方程模型

8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题黑龙现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假江科设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的技巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度学是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型：院解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑龙江科技学院数学建模
数学建模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑龙江科技学院数学建模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt

重庆大学数学实验指导书

《数学实验》实验指导书龚劬重庆大学数学实验教学示范中心目录预备实验——桥梁分析 (3)实验1 MATLAB软件入门 (8)实验2 方程模型及其求解算法 (25)实验3 收敛与混沌——迭代 (30)实验4 微分方程模型、求解及稳定性分析 (33)实验5 插值方法 (36)实验6 数据拟合及参数辨识方法 (39)实验7 回归分析模型、求解及检验 (42)实验8 连续系统与离散系统的计算机模拟 (45)实验9 线性规划模型、求解及灵敏度分析 (47)实验10 非线性规划与多目标规划模型及其求解 (51)实验11 如何表示二元关系—图的模型及矩阵表示 (54)实验12 改进技术的最佳实施问题——综合实验 (57)实验13 人口增长模型及其数量预测——综合实验 (59)实验14 River-bay系统水污染问题_____综合实验 (61)实验15 炮弹发射角的确定———综合实验 (63)实验16 探究实验 (64)实验17 开采沙子——综合实验 (65)实验18 海水中提取淡水——综合实验 (69)实验19 警惕氯仿污染——综合实验 (73)实验20 机动车尾气排放——综合实验 (83)实验21 计算机断层扫描图像——综合实验 (91)预备实验——桥梁分析教学目的和要求：通过桥梁分析问题，使学生：1.了解线性代数在土木工程中的应用；2.了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型；3.体会学好线性代数知识的重要性；4.激发学习线性代数的兴趣。

知识点：线性方程组向量分解必备技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解线性方程组。

主要内容1．应用场景2．问题分析3．建立数学模型4．实验任务1．应用场景解方程组在许多领域都有应用。

下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。

图1：一个危险的情况一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。

重庆市实验外国语学校2024-2025学年高三上学期第三次考试数学试题

重庆市实验外国语学校2024-2025学年高三上学期第三次考试数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M =ð（）A ．{}2,3,5B ．{}1,3,4C ．{}1,2,4,5D ．{}2,3,4,52．22π7πsin sin 1212−=（）．A B ．12C ．12−D ．3．函数()3log (0)2x af x a x +=>−是奇函数，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．44．设θ∈R ，则“sin tan 0θθ<”是“θ为第二象限角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知7sin cos 5θθ−=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17或7B ．17或17−C ．7或-7D ．-7或17−6．已知函数()2log ,13,1a x x f x x ax x ≥⎧=⎨−+−<⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[2,4]C ．(]1,4D ．[)2,+∞7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值a 百元代金券；摸到两白球，可获得价值b 百元代金券；摸到两红球，可获得价值ab 百元代金券（,a b 均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（）百元代金券 A ．5.4B ．9C ．12D ．188．函数()sin f x x =与()()()lg 1,0,lg 1,0x x g x x x ⎧+≥⎪=⎨−−+<⎪⎩的图象有（）个交点A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．下列关于函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间5,66ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．图象关于直线65x π=−轴对称10．已知二项式32nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和是164，则下列说法正确的是（）A ．展开式共有6项B ．二项式系数最大的项是第4项C ．展开式的常数项为540D ．展开式含有2x11．关于函数()2ln 2x f x a x bx =++，下列说法正确的是（）A ．若()f x 存在极值点，则240b a −<B ．若0<a ，则()f x 有且只有一个极值点C ．若()f x 有两个极值点，则0ab <D ．若1是()f x 的极大值点，则1a >三、填空题12．计算：tan 2025︒= ．13．若某人打算将5个数字1，1，2，3，5进行排列得到密码，则可设置的不同密码有种.14．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，AOC α∠=.若1BC =2sincos2222ααα−−的值为 .四、解答题15．已知函数()()()33log log 52f x x a x =+−−，且()21f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域； (2)求不等式()1f x >的解集.16．某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=.(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；(2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．17．已知,αβ为锐角，且()()()()11πsin 2πcos cos π23πsin sin 3πcos 2αααααα⎛⎫++− ⎪⎝⎭=⎛⎫−−− ⎪⎝⎭． (1)求2sin cos αα+的值；(2)若()1cos 3αβ+=，求sin β的值．18．已知函数()2ln f x x x =．(1)求函数()f x 的极值；(2)证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()1f x x ≥−； (3)若()12,0,1x x ∈，证明：()()1212f x f x x x −≤−．19．已知函数()sin cos n nf x x x =+，其中x ∈R ，整数3n ≥．(1)当4n =时，求函数()f x 的值域；(2)已知对任意的()0,1x ∈，有(1)1m m x x +−<，求实数m 的取值范围； (3)求函数()f x 的最大值和最小值．。

重庆大学数学实验课程实验1下

subplot(2,2,4);plot(x,y4);title('y4=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3');
分析：
先用x=linspace(x1,x2)函数确定图像所画的范围，本次实验范围采用[-5,5]即x=linspace(-5,5);再分别用四个函数y1,y2,y3,y4分别表示所需要做图的函数，用plot(x,y,s)函数将四个函数表示在一起，为更好区分不同函数的图像，s分别区实线(‘-’)、点线(‘.’)、虚线(‘:’)、o线(‘o’)做图，最后用legend()函数将全部函数进行标注、区分，做出的图像如图二
由图像可知y1=e^x的图像在x取值越大的时候变化越快；y3=1+x+(1/2)x^2恒大于0；y2=1+x，'y4=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3都是有正有负
使用subplot()函数将屏幕分成四块，并在每一个块中分别使用plot()函数绘制函数图像，使用title()函数为每一个块赋一个标题即函数解析式，做出的图像如图三
6.作出下列曲面的3维图形，
7.作出函数y=x4-4x3+3x+5（x[0,6]）的图形，找出其在[0,6]之间的最小值点。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，变量说明、程序、调试情况记录、图表等，实验结果及分析）
4：
程序：
functionf = sq(x)
a=x;
x=1;
y=(x+a/x)/2;
重庆大学
学生实验报告
实验课程名称数学实验
开课实验室
学院计算机年级2015专业班计科6
学生姓名王博韬学号********

三阶中立型微分方程的振动准则

1
1 +
ù ú úɤ û ( ) 6
]中 ( ) ) 运用不等式 ( 参看文献 [ 7 2 . 1 7
γ γ ) ) ) ) ( ) ) ) ) t K1K2( x( t é ù -f 0( ᶄ( t ω( t t t -ρ( ρ φ( ) ( ) ( ) ê ú ᶄ( t ω t t γ + + 1 φ ê ú γ ρ ( ) ) ) ᶄ( t ë û t γ y ρ( ( ) ) ) t a( t ρ(
γ 1 ( t ( ) 1+γ t 1) γ t{ ( ) ) ( ) ) ) ) ) t K1K2 t 1- ð p t t ᶄ( t t -ρ( +φ 0( i( f 1 ρ φ φ ( γ T γ 2 i=1 ) a ( t n
1
( ) 4
性质 췍 , 췍 之一 .
) ) 设 x 是方程 ( 的一个非振动解 ,不失一般性 ,假设 x 最终为正解 .由引理 1 知y( 只具备两种 1 t
1 1 1ö γ æ 1 1+1 1 1 +γ + ( 1+ ÷u u-v) v ȡu γ + v γ - ç γø è γ
1
1 +
1
得到
γ ( ) ) ) ) ω( t t t -ρ( ȡω φ( γ 1 +
1 +γ
1
)和 ( )式得到由( 6 7
1 1ö æ γ 1 () () 1 +γ ( ) ) ( ) ) ) 1+ ÷ω( t tφ t ) t t t + ( -ç ρ ρ( φ( γø è γ
t ȡt 0
( ) 1
)是文献 [ ] 很显然 ,方程 ( 中方程的推广 .本文运用 R 1 1-2 i c c a t i变换和分析知识化简了多元函数 ,克服了 )振动的充分条件 ,丰富了已有结果 . 多时滞变量给问题带来的复杂性 ,给出了方程 ( 1

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。

重庆大学(自动控制原理)课后答案,考研的必备

第一章绪论重点：1．自动控制系统的工作原理；2．如何抽象实际控制系统的各个组成环节；3．反馈控制的基本概念；4．线性系统（线性定常系统、线性时变系统）非线性系统的定义和区别；5．自动控制理论的三个基本要求：稳定性、准确性和快速性。

第二章控制系统的数学模型重点：1.时域数学模型--微分方程；2.拉氏变换；3.复域数学模型--传递函数；4.建立环节传递函数的基本方法；5.控制系统的动态结构图与传递函数；6.动态结构图的运算规则及其等效变换；7.信号流图与梅逊公式。

难点与成因分析：1.建立物理对象的微分方程由于自动化专业的本科学生普遍缺乏对机械、热力、化工、冶金等过程的深入了解，面对这类对象建立微分方程是个难题，讲述时2.动态结构图的等效变换由于动态结构图的等效变换与简化普遍只总结了一般原则，而没有具体可操作的步骤，面对变化多端的结构图，初学者难于下手。

应引导学生明确等效简化的目的是解除反馈回路的交叉，理清结构图的层次。

如图1中右图所示系统存在复杂的交叉回路，若将a点移至b点，同时将c点移至d点，同理，另一条交叉支路也作类似的移动，得到右图的简化结构图。

图1 解除回路的交叉是简化结构图的目的3.梅逊公式的理解梅逊公式中前向通道的增益K P 、系统特征式∆及第K 条前向通路的余子式K ∆之间的关系仅靠文字讲述，难于理解清楚。

需要辅以变化的图形帮助理解。

如下图所示。

图中红线表示第一条前向通道，它与所有的回路皆接触，不存在不接触回路，故11=∆。

第二条前向通道与一个回路不接触，回路增益44H G L -=，故4421H G +=∆。

第三条前向通道与所有回路皆接触，故13=∆。

第三章时域分析法重点：1. 一、二阶系统的模型典型化及其阶跃响应的特点；2. 二阶典型化系统的特征参数、极点位臵和动态性能三者间的相互关系；3. 二阶系统的动态性能指标（r t ，p t ，%σ，s t ）计算方法；4. 改善系统动态性能的基本措施；5. 高阶系统主导极点的概念及高阶系统的工程分析方法；6. 控制系统稳定性的基本概念，线性定常系统稳定的充要条件；7. 劳斯判据判断系统的稳定性；8. 控制系统的误差与稳态误差的定义；9. 稳态误差与输入信号和系统类型之间的关系；10. 计算稳态误差的终值定理法和误差系数法；11. 减少或消除稳态误差的措施和方法。

重庆大学高数(下)期末试题十五(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 向量3124a i j k=-+r r r r在向量(2)(34)b i k i j k =-⨯+-r r r r r r上的投影为().(A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67难度等级:2;知识点:向量代数答案:(C).分析:102(6,2,3),134i j k b =-=-rr r r 6Prj .7||b a b a b ⋅==r r rr 2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有().(A)22()()0L f x y xdx ydy ++=⎰Ñ (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=⎰Ñ (C)22()()0L f x y dx ydy ++=⎰Ñ ()D 22()()0L f x y xdx dy ++=⎰Ñ难度等级:2;知识点:格林公式答案: (B).分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足.3. 若1(),y x ϕ=2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为().(A)12()()x x ϕϕ- (B)12()()x x ϕϕ+ (C)121(()())()C x x x ϕϕϕ-+ (D)12()()C x x ϕϕ+ 难度等级:1;知识点:微分方程答案: C.分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12ϕϕ-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ϕϕ=-因此非命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密齐次方程的通解应是121()y C ϕϕϕ=-+或122().y C ϕϕϕ=-+故应选(C).4. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2(3)().x xyz dV Ω+-=⎰⎰⎰(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 难度等级:2;知识点:三重积分答案:(D).分析:积分区域关于yoz 面对称,2x xyz +为关于x 的奇函数,积分值为0,余下为3-倍体积,球体体积为4/3,π故选D.5. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为（）.(A) x y z --=-8132 (B) x y z ++=8140 (C)x -y +8z =124 (D) x y z +-=8116答：（B ）难度等级：1；知识点：曲线的法平面.分析法平面的法向量就是曲线的切向量，为(1,1,8)n =r，所以法平面方程为：(4)(8)8(16)0x y z -+-+-= 即 x y z ++=8140 与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).6. 设22()x f x x e =，则(16)(0)f =______(A)17!(B) 16! (C) 16!7! (D) 7!16!答案：(C)难度等级2; 知识点：幂级数分析：因为22220()!n x n x f x x e x n ∞===∑的16x 的系数为17!，即(16)(0)116!7!f =，故 (16)16!(0)7!f =二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知sin(21),xy u e x y =++则__________.du = 难度等级1; 知识点：全微分答案: ([sin(21)][2cos(21)].xy xy ye y dx xe x y dy +++++8. 已知幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,则213nn n n a x ∞=∑的收敛半径为__________.难度等级2; 知识点：幂级数答案:R =分析:由1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,故 2.x <即223x x <⇒<9.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-v v v v则旋度_______.v rotA =难度等级1; 知识点：旋度答案:234.vv v i j k ++10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,y C C x =+其中12,C C 为独立的任意常数,则该方程为__________.答案:0.y ''=分析:由通解可得特征方程为20,λ=其对应的二阶线性常系数齐次微分方程0.y ''=11.设:0,D y x a ≤≤≤≤则__________.D=难度等级2; 知识点：二重积分答案:316a π分析:由几何意义知,该积分为顶为z =底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为a 的球体的八分之一,得结果. 12. 函数0()0x x f x x πππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的系数__________.n b =答案:21(1).n n n-- 分析:1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 00000021(sin sin )11(cos cos )111((1)1)cos cos 1(1)1((1)1)sin 21(1).n n nn nxdx x nxdx nx xd nx n n x nx nxdx n n n nx n n n n nππππππππππππππ-----=+=--=---+-=--++=--⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？难度等级2; 知识点：级数的敛散性解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10,nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>知级数1n n u ∞=∑发散.--------3分又111||ln(1)ln(1)||,1n n u u n n +=+>+=+1lim ||lim ln(1)0.n n n u n→∞→∞=+=故所给级数收敛且条件收敛．---3分14. 方程组01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩确定隐函数(,),(,),u u x y v v x y ==求2,u x y ∂∂∂2.v x y ∂∂∂ 难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数分析:用,x y 解出,,u v 再求偏导数.解: 2222,;y xu v x y x y==++222222222,;()()u xy v y xx x y x x y ∂∂-=-=∂+∂+ 22222222232232(3)2(),.()()u x y x v y x y x x y x y x y ∂-∂-==∂+∂∂+ 15. 计算二重积分cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为0,0,()(),0π和(),ππ的三角形闭区域难度等级2; 知识点：二重积分解 :积分区域可表示为:0,0.D x y x π≤≤≤≤ 于是cos()Dx x y d σ+⎰⎰00cos()xxdx x y dy π=+⎰⎰ []00sin()xx x y dx π=+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰01(cos 2cos )2xd x x π=--⎰1(cos 2cos )|2x x x π=--+01(cos 2cos )2x x dx π-⎰3.2π=- 16.计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ+++++⎰其中Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向看进去为逆时针(0).z ≥难度等级2; 知识点：第二类曲线积分分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解: 222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++⎰ 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰2()2xyxyD D x y dxdy xdxdy =-=⎰⎰⎰⎰4cos 22022cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰342224cos 16.3d ππθθπ-⨯==⎰或解:22cos 2sin 020x ty tt z π=+⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩222222()()()y z dx z x dy x y dzΓ+++++⎰23208[sin (1cos )cos ]16t t t dt ππ=-++=⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设函数()x ϕ为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程()()()dy d x d x y x dx dx dxϕϕϕ+=的通解. 难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析: 因为()x ϕ是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程. 解: 由通解公式可得()()(()())x x y e x x e dx C ϕϕϕϕ-'=+⎰()()(()())x x e x e d x C ϕϕϕϕ-=+⎰()()()(())x x x e x e e C ϕϕϕϕ-=-+即()()1.x y x Ce ϕϕ-=-+18. 函数z z x y =(,)由方程F x z yy z x(,)++=0所确定，其中F 有连续的一阶偏导数，计算: z z x yx y∂∂+∂∂难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.分析由方程(,)zz F x y y x++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数x zG zx G ∂=-∂，y zG zy G ∂=-∂，求出,,x y z G G G 后可得,z z x y ∂∂∂∂，代入z zx y x y∂∂+∂∂即可得到结论.解12212221()1yF zF yF zF zx xxF F x-++∂=-=∂112211F F zx y F F x -∂=-=-∂1212yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂五、证明题 (每小题6分,共12分)19. 设向量(1,1,1)a =-r,(3,4,5)b =-r ,x a b λ=+r r r ,λ为实数，试证：其模最小的向量x r垂直于向量b r .难度等级：2；知识点：向量代数.分析先计算出x a b λ=+r r r ，再求出它的模x r ，何时x r达到最小值？证设x a b λ=+r r r ，于是22222()x a b a b λλ=++⋅r r r r r ，将a b r r 、的坐标代入得，222633245050().2525x λλλ=++=++r当256-=λ时，模x r 最小，这时6715(1,1,1)()(3,4,5)(,,).25252525x ---=-+-=r且有0x b ⋅=rr .故结论正确.20. 验证曲线积分(2,3)(0,1)()()x y dx x y dy ++-⎰的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分. 难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数. 证:显然,()()x y dx x y dy ++- ()()xdx ydy ydx xdy =-++2222()2().2x y d d xy x y d xy -=+-=+是全微分.于是(2,3)22(2,3)(0,1)(0,1)()() 4.2x y x y dx x y dy xy ⎡⎤-++-=+=⎢⎥⎣⎦⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21.求抛物面224y x z ++=的切平面,π使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。