模糊数直觉模糊数多属性决策记分排序法
基于可能度的区间直觉模糊数排序方法及其在决策中的应用
一
一
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＭａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｈ ｕ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ ０ ０ ３ ９ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
能够体 现 区 间 直 觉模 糊 数 的这 种 不 确 定 性 ； 因此， 本 文提 出 一 种 用 区 问 数 表 达 的得 分 函数 和精 确 函
［ 。 ， ６ ］ｃ ［ ０ ， １ ］，［ ｃ ， ｄ ］ｃ ［ ０ ， １ ］ ， ｂ＋ｄ≤ １， 并给
了 区间直觉 模糊 数 的运 算法 则 与 集 成方 法 ， 其 中 集 成方 法有 区 间直 觉模 糊 加 权 与 有 序 加 权 算 术 平
问直觉 模糊 信息 的决策 方 法 。进一 步 ， 文献 ［ ５— ６ ］ 给 出了 区间 直 觉 模 糊 加 权 与 有 序 加 权 平 均 算 子 及 混合平 均算 子 、 加权 与 有 序 加权 几 何 算 子 及混 合 几
［ ０ ， １ ］区间 巾所有 闭子 区 间之集合 。一 个 上 的 间直觉 模糊 集 ４定 义为
定义 ３
，
间直觉 模糊 信息 环境 下 的多属性 决策 方法 。
ｌ 区 间直 觉 模 糊 集 的基本 知 识
为 了便 于讨 论 ， 下 面 介 绍 区 间直 觉 模 糊 集 的基
本定 义 与运算 性质 。
定义 １ 设 为 一 非 空论 域 ， 一 个 上 的直
设 Ｏ Ｌ Ｉ ＝（ ［ 。 Ｉ ， 厶 Ｉ ］ ， ［ ｃ １ ， ｄ Ｉ ］ ）和 Ｏ Ｌ ２＝
基于直觉模糊集相似度量的多属性决策方法
西 安 邮 电 学 院 学 报 Ｊ ＲＮ ＯＵ ＡＬＯ ＦＸＩＡ Ｕ ＶＥ Ｉ ＹＯ Ｏ Ｉ ＮＤＴ Ｌ Ｃ ’ Ｎ ＮＩ ＲＳＴ ＦＰ Ｓ ￣Ａ Ｅ Ｅ ＯＭＭＵＮＩＡ Ｏ Ｃ ＴＩ ＮＳ
Ｍａ ００ ｙ２ １ Ｖ １１ ｏ３ ｏ．５Ｎ ．
有效性。 关 键 词 ： 觉模 糊 集 ； 觉 模 糊 值 ； 似 度 量 ； 想 点 直 直 相 理
中图分类号 ： ２ ５ Ｃ ３ ０ ３ ， ９４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ７３ ６ （００ ０ —０ ４０ １０ ．２ ４ ２ １ ）３０ ６ ．４
Ｏ 引言
直觉模 糊 集 【 理 论 已被 成 功 地 应 用 于模 式 识 １ Ｊ 别、 图像处 理 、 ｂ 务 质 量评 价 等 领域 ， 何 度 量 Ｗｅ 服 如 直 觉模 糊 集 的相 似 程 度是 应 用 中 的基 本 问题 。Ｌ ｉ 和 Ｃ ｅｇ ］ 出直 觉 模 糊 集 相 似 度 量 的公 理 化 定 ｈｎ ［ 提
体 的相似 度公 式 。此 外 ， 用 直觉 模 糊 集 的距 离 构 利 造 相似度 量也 是一 种 常 见 的方 式 击。本 文 主要 针 Ｊ
其 中映射 ， ｘ一 ［，］Ｏ ｘ一 ［ ，］ Ｕ Ａ： ０ １， Ａ： ０ １ 满足 Ｖ ∈ Ｘ，≤ （ ＋Ｕ （ ≤ ｌ这里 ， ｘ） ０ Ｘ） Ａ Ｚ） ｏ 表示元 素 ｚ对集合Ａ 的隶属度 ， （ 表示元素 Ｘ对集合 Ｕ ） Ａ Ａ 的非 隶属 度 。 令 （ 表示 Ｘ上 全体 直觉模糊 Ｘ） 集之 集 。
，
Ｕ （ ） Ａ Ｘ 为元素 对直觉模糊集 Ａ 的犹豫 Ａ Ｘ 一Ｕ （ ）
度。 特别地 ， 对于直觉模糊值 Ｘ＝（ ｘ Ｏ）称 ７ ，， ， ｒ Ｕ ｘ ｘ＝ １一 一 ｕ Ｘ 的犹 豫度 。 为
模糊多准则决策方法
模糊多准则决策方法综述
1965年Zadeh提出模糊集理论,1970年Bellman和Zadeh 将模糊集理论引入多准则决策中,提出了模糊决策分析的概念 和模型,用于解决实际决策中的不确定性问题。自此,模糊多 准则决策（FMCDM）取得了众多研究成果。模糊数的提出 使得利用模糊数可以较好地描述多准则决策中的模糊性,这样 基于模糊数的MCDM就成为FMCDM的一个重要方向。
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模糊多准则决策方法
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模糊多准则决策方法
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模糊多准则决策方法
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模糊多准则决策方法
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Fuzzy多准则决策VIKOR方法
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Fuzzy多准则决策VIKOR方法
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Fuzzy多准则决策VIKOR方法
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Fuzzy多准则决策VIKOR方法
模糊多准则决策方法综述
1993年,Gau和Buehrer提出了Vague集[31],它 是模糊集的一种扩展。Vague集具有比模糊集 更好的表达不确定性的能力,已引起众多学者的 关注,被广泛应用于人工智能、决策分析、模式 识 别 和 智 能 信 息 处 理 等 领 域 。 虽 然 1996 年 Bustince和Burillo证明了Vague集是直觉模糊 集，但还有不少研究人员在研究基于Vague集 的FMCDM问题,提出了相应决策模型与方法。
对权系数确定或为模糊数且准则值为模糊数的MCMD或群决策问题 的研究较多，这些研究主要集中在利用一个集成函数将各准则的模糊数 和准则权系数集成起来,再利用某一模糊数的比较方法,得到方案的排序 或分类。在这些方法中,重要的一步是对准则值进行规范化处理,但规范 化处理存在一定缺陷，它不能反映决策者的偏好,而且可能影响决策结 果。
直觉模糊多属性决策方法综述
直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来，决策问题变得越来越复杂，多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。
在多属性决策中，决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况，这使得决策过程更加困难。
为了解决这些问题，直觉模糊多属性决策方法应运而生，它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法，为处理模糊信息提供了一种有效的工具。
本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势，分析不同方法的优缺点，为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述，介绍直觉模糊集的基本概念和性质，以及其在多属性决策中的应用。
然后，将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法，包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。
通过对这些方法的分析和比较，揭示各种方法的特点和适用范围。
本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。
针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题，提出相应的处理策略和方法，以提高决策的准确性和有效性。
本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。
随着、大数据等技术的快速发展，直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用，同时也将面临新的挑战和机遇。
因此，本文将分析未来的研究方向和发展趋势，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析，旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具，推动多属性决策理论和方法的发展和应用。
二、直觉模糊集理论直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）是Zadeh模糊集理论的一种扩展，由Atanassov在1986年提出。
直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度，还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度，从而提供了更丰富的信息描述方式。
在直觉模糊集中，每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示，非隶属度用ν_A(x)表示，而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。
最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。
关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数1引言多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。
随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者Atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。
Atanassov和Gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。
对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了记分函数及排序方法。
刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。
本文将Ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。
2 记分函数定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件.类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。
一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法
在实际的决策问题 中． 决策者 由于 自身条件和外界环境 的不 同会 （ １ ， ｅ ｒ ， ｎ ） 的左右数学期望分别是 ： 有不同的心态。例如 ． 在 时间比较紧 ， 知识或数据 比较缺乏 ， 决策者 的 精力和信息处理能力有 限时 ，决策者进行决策时往往会非常谨慎 ， 持 悲观心态 ： 如果有关 的信息资料 比较 充足 ， 决策者精力 充沛和信息处 因此三角模糊数 ＝ ， ｒ ， Ｌ 就可 以转换成区间 （ ｆ ＋ ， ２ ， （ Ｍ ＋ 呐／ ２ ］ 。 理能力较强 ． 此 时决策者 的心态 比较温和 ： 当决策者 自认为是该决策 至此 ． 我们 已经可 以将 同时包含 区间数 、 语言数 、 三 角模糊数 、 区 问题方面 的专家时 ． 决策者进行决策时持乐观或激进心态。 一般来说 ， 决策者 的心态不 同会导致不同的决策结果 为此 ． 本 文引入 心态指 标 间直觉模糊数 等多种模糊信息 的混 合型不确定决策 矩阵化为较为简 来研究属性值为 区间直觉模糊数的多属性决策 ． 将区间直觉模 糊决策 单的区间型多数性决 策矩阵。 ４ ． 主要 结果 矩阵转化 为区间数决策矩阵 ， 再运用可能度进行排序 。 本文针对 同时包含区间数 、 语 言数 、 三角模糊数 、 区间直觉模糊 数 假设方案 在 属性 Ｇ ， 下的属性值为 区间直觉模糊数 ： （ ６ ， ［ ｃ 等模糊信息 的混合型决策矩阵求解其 排序 向量 ｄ ） ， ｉ ＝ １ … ２． ． ， Ｉ ｎ ＝ １ … ２ ｎ 。［ ％６ 表示方 案 Ａ 。 对属性 ｑ的满 足程度 ， ［ ｃ 具体算法步骤如下 ： 蝴表示方案 Ａ 。 不满足属性 Ｇ ， 的程度 ， ｉ ｉ ＝ 【 １ — ６ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ 表示决策者 步骤 １ 输入 原始决策矩阵 Ａ ＝ ㈤… （ 卿 可能为 区间数 、语 言数 、 的犹豫度 ， 记决 策矩 阵 Ｄ ＝ （ ０ 。 三角模 糊数 或区间直觉模糊 数其中一种 ） 首先 ． 我们将原始混 合型决 决策矩 阵中元 素 。 ． 的隶属度Ｍ， ｂ ｄ 越大说 明方案 Ａ 。 满足 属性 Ｇ ｉ 策矩 阵 Ａ转换成 区间数决策矩阵 Ａ， － ， 其中 。 ＝ ， ｂ 。 的程度越大 。 我们考虑犹豫度［ １ — ６ 一 ， １ 一 哪 一 ｃ 中有一部分表示方案 Ａ 步骤 ２ １ ￣ Ｉ１ ＂ ． ３ 决策矩阵 Ａ 进行规范化得 ＝ （ 一， 公式为 ： 满足属性 Ｇ ｊ 的值 ， Ｎ￣ＮＶ ２ 给犹豫度适 当的系数 ， 将其合理分配 到 隶属度 中。 当 属 性 为 成 本型 属 性时： ｎ ∑ｎ ａ － ｄ ∑。 ～ ； 设 ∈ ［ ％６ 小 ∈ ［ 。 ｄ ｄ ， １ － ｘ ｏ － ｙ ｑ ∈【 １ － ｂ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ ｄ ，则隶属 区间 当属性 为成本型属性 时 ： 可表示 为 ： ＾ “ （ １ — 。 其中 ∈［ ０ ， １ ］ 。当 ｋ 固定时 ， ｈ 是关 于 的增 函数 ， 关 于 的减 ａ ｌ ｇ ＝ （ １ ／ ａ ￣ ｉ ） ／ ∑“ 允 ） ａ ￣ ｏ ＝ （ １ ／ ａ ％ ） ／ ∑（ １ 。 函数 。因此 当 ＝ ａ ｏ ， ＝ 西时， ｈ 取最小值 （ １ 一 吩 一 ； 当 ＝ ６ ， ＝ 。 步骤 ３计算各个方案 的综合属性值的值 ： 时， ｈ 取最大值 ６ （ １ — ６ — ｃ 。故此时隶属度 的取值 区间为 ：
模糊多准则决策方法
模糊集理论 1 Fuzzy 数(1) 区间数定义1：设R 是实数域，称闭区间],[11b a 为区间数，其中1a 为区间数的下确界，1b 为区间数的上确界，1111,,b a R b a ≤∈。
设],[],,[222111b a y b a y ==是任两个区间数，则区间数的基本运算定义为：（1）],[222121b b a a y y ++=+； （2）],[122121b a b a y y --=-； （3）],[212121b b a a y y =⨯； （4）],[122121b a b a y y =÷； （5）],[111kb ka y k =； （6）]1,1[1121a a y =。
定义2：设],[],,[222111b a y b a y ==是两个闭区间，则它们的距离为：|)|||)1(),(212121b b a a y y d -+--=λλλ。
其中]1,0[∈λ表示决策者的风险态度，当5.0>λ时，称决策者是追求风险的，当5.0<λ时，称决策者是厌恶风险的，当5.0=λ时，称决策者是风险中性的，此时有：|)||(|21),(212121b b a a y y d -+-=。
定义3：两区间数的比较22],[],[21212121b b a a b b a a +>+⇔>。
22],[],[21212121b b a a b b a a +=+⇔=。
（2）Fuzzy 数定义4：一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。
对模糊数A ，它的隶属函数可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=其它0 )( 1 )(d x c x f cx b b x a x f f R A L A A其中)(x f L A为连续的单调递增函数，)(x f RA 为连续的单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。
为方便起见，记为),,,(d c b a A =。
模糊数A 的α-截集})(|{αα≥=x f x AA (]1,0[∈α)是R 的闭区间，记为],[αααR LA A A = 。
几种模糊多属性决策方法及其应用
几种模糊多属性决策方法及其应用随着社会的不息进步和进步，人们在决策过程中面临的问题也越来越复杂。
面对多属性决策问题，传统的决策方法往往无法有效处理模糊性和不确定性。
模糊多属性决策方法应运而生，它能够更好地处理决策问题中存在的模糊性和不确定性，援助决策者做出更科学、合理的决策。
本文将介绍几种常见的模糊多属性决策方法及其应用，旨在援助读者了解这些方法，并在实际应用中发挥其作用。
二、几种常见的模糊多属性决策方法1. 人工智能模糊决策方法人工智能模糊决策方法是基于模糊集合理论和人工智能技术的决策方法，其核心优势在于可以更好地处理模糊性和不确定性的多属性决策问题。
其中，模糊综合评判方法是最常用的一种人工智能模糊决策方法。
该方法通过建立评判矩阵，运用模糊数学理论计算评判矩阵的权重，从而对多属性决策问题进行评判和排序。
2. 层次分析法层次分析法是一种将问题层次化、分解的多属性决策方法。
该方法通过构建决策模型的层次结构，将决策问题划分为若干个层次。
然后，通过对每个层次的评判和权重计算，最终得到决策问题的最优解。
层次分析法对于处理多属性决策问题具有很好的适用性，因为它能够充分思量到不同层次因素的权重干系。
3. 灰色关联分析法灰色关联分析法是一种基于灰色系统理论的多属性决策方法。
该方法主要通过灰色关联度的计算来评判和排序决策方案。
它能够将不同属性之间的关联度思量在内，从而得到较为客观合理的结果。
灰色关联分析法在处理模糊多属性决策问题方面具有较好的效果，主要用于较为复杂的决策问题。
三、模糊多属性决策方法的应用1. 经济决策在经济决策中，往往存在多个因素需要综合思量而做出决策。
模糊多属性决策方法可以援助决策者在不确定性和模糊性的状况下，找到最优的决策方案。
例如，在投资项目评估中，可以利用模糊综合评判方法对不同项目进行评判和排序，从而选择最具优势的投资项目。
2. 环境决策环境决策中存在许多模糊不确定性的因素，传统的决策方法无法很好地处理这些问题。
基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策法
０ 引 言
多属 性决 策在 经济 、 军事 、 管理 、 环境 工程 等许 多领域 有着广 泛应 用 ， 在实 际决 策 中 由于人们 所考 虑 问
题 的复杂 性 、 不确定 性 以及人 类思 维 的模 糊性 不断增 强 ， 以有 关属 性不 确定 问题 的研 究 引起人 们广 泛关 所
注 。 自 １８ ９６年 ， ｔ ａｓｖｌ 出直觉 模糊集 的概念后 ， Ａａ ｓｏ【提 ｎ 有关 直 觉 模糊 集 多属 性 决 策理 论 与方 法 的研究 取 得 丰富研 究成 果 ， 但在 直觉模 糊集 中很难 用精 确 的实数 值来 表 达隶 属度 和 非隶 属度 两 个数 值 ， 此人 引， 为 们 开始对 直 觉模糊 集进 行推 广研 究 。Ａａａｓｖ和 Ｇ ｒｏ｜ 于 １８ ｔ ｓ ｎ ｏ ａｇｖ４ ９ ９年提 出 了区 间直 觉 模 糊集 的概 念 ， 即 用 区间数来 表示 隶属 度和非 隶属 度 ， 泽水 在 ２０ 徐 ０ ７年 给 出了 区间直 觉模 糊 数 的概 念 ， 给 出 了相 应 的 并
ｏ
其 他
其 中０ Ｍ ， ≤０ ≤口 ≤口 ≤１ ∈Ｒ ．
定义 ３ 设 是一个 非 空集合 ， （ 则称 ＝｛ ，ｊ ） （ ＜ 五 （ ， ）＞Ｉ ∈Ｘ｝ 为模 糊 数直 觉模 糊 集 ， 中 其 ｕ（ ｊ ）＝（ （ ， （ ， （ ） ｊ ）＝（ （ ， （ ， （ ）为 ［ １ 上 的三 角模 糊 数 ， 满 足条 ｕ ） “ ） “ ） ， （ ） ） ） ０，］ 且
ＳＳ的模糊 数直 觉模糊 数 多属性 决 策 方法 ， 方 法 首先 定 义 了两 个模 糊 数 直 觉模 糊 数之 间 的距 Ｉ 该 离， 然后 给 出 了方案 与理 想点 的相 对贴近度 ， 于相 对贴近 度对 方案进 行排序 。最后 进 行 了实例 基
基于直觉模糊相似度的逼近理想解排序方法及其应用
基于直觉模糊相似度的逼近理想解排序方法及其应用王龄苒;李登峰【摘要】直觉模糊集在处理模糊性、犹豫模糊性等不确定性方面比传统模糊集更灵活和实用,是模糊集的进一步推广.相似度是刻画两个(直觉)模糊集相似程度的工具,在直觉模糊多属性决策中有重要应用,但通过对现有文献中所采用的相似度方法进行分析,发现在某些情形下反映的相似度与实际相似度不符,为此给出一种新的相似度计算公式,据此提出基于直觉模糊相似度的逼近理想点排序(TOPSIS)法,并将其应用到多属性决策问题中,最后通过实例说明其合理性和有效性.%Intuitionistic fuzzy sets are more flexible and practical than traditional fuzzy sets in dealing with vagueness,hesitant vagueness and other uncertainty aspects,and they are further promotion of the fuzzy sets.The similarity,a tool of describing similarity degree of two (intuitive) fuzzy sets,has an important application in intuitionistic fuzzy multi-attribute decision making.However,we find that in some cases the reflected similarity and the actual similarity are inconsistent by analyzing similarity method adopted by the existing literature.Therefore,inthis paper,a new kind of similarity calculation formula is presented.A TOPSIS method based on intuitionistic fuzzy similarity is proposed and it is applied to multiple attribute decision making.Finally,an example is given to illustrate the rationality and validity.【期刊名称】《科技管理研究》【年(卷),期】2017(037)019【总页数】7页(P210-216)【关键词】多属性决策;相似度;直觉模糊集;TOPSIS;权重【作者】王龄苒;李登峰【作者单位】福州大学经济与管理学院,福建福州 350108;福州大学经济与管理学院,福建福州 350108【正文语种】中文【中图分类】C934;F224为处理现实世界中存在的不精确、模糊不确定信息等，Zadeh［1］于1965年提出了模糊集(fuzzy set)概念。
多属性决策理论基础和分析方法
多属性决策理论基础和分析方法多属性决策理论的基本概念是属性和决策。
属性是用于描述决策对象特征的变量或准则，例如价格、质量、服务等。
决策是选择一个方案或行动来达到一些目标的过程。
多属性决策就是根据各个属性的重要性和得分来进行综合评价和选择。
多属性决策分析方法包括加权求和法、启发式法、模糊数学法和层次分析法等。
其中，加权求和法是最简单和常用的方法，它通过为每个属性分配权重，然后将属性得分与权重相乘再求和，得到决策对象的综合评分。
启发式法是基于经验和直觉的方法，根据决策者的意愿和偏好来进行决策。
模糊数学法是一种处理不确定性和模糊性的方法，它将属性的得分表示为模糊数并进行运算，得到决策对象的模糊评价。
层次分析法是一种层级结构分析的方法，它将决策问题划分为不同层次的准则和子准则，并通过专家判断和比较来确定权重和评价。
多属性决策理论的核心思想是考虑多个属性的影响，避免片面和主观的决策。
它能够全面系统地评估决策对象的特征和优劣，提供更准确和科学的决策依据。
然而，多属性决策也存在一些挑战和局限性，如权重设定和属性评价的主观性、数据不确定性和决策者意愿的影响等。
在实际应用中，多属性决策理论广泛用于工程、经济、环境和管理等领域。
例如，在工程领域，可以利用多属性决策理论来选择最佳供应商或材料，考虑价格、质量、交货期等属性。
在环境领域，可以利用多属性决策理论来评估不同的治理方案，考虑环境效益、经济成本、社会接受度等属性。
综上所述，多属性决策理论是一种处理多个属性的决策方法，通过权重设定和属性评估来进行综合评价和选择。
它能够提供科学和全面的决策支持，但也需要注意主观性、不确定性和意愿性等因素的影响。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的分析方法，并结合实际经验和专家判断来进行决策。
排序决策的直觉模糊数方法
第31卷第2期辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2012年4月V ol.31No.2Journal of Liaoning T echnical University（Natural Science）Apr.2012文章编号：1008-0562(2012)02-0236-04排序决策的直觉模糊数方法郭嗣琮，吕金辉（辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新123000）摘要：为了更细腻地描述作为比较评价的语言信息，用一个直觉模糊数表示两两对象的比较评价，将直觉模糊数表示为由上理想模糊数和下理想模糊数的二元模糊数组，定义了关于直觉模糊数的一种运算并且给出了基于结构元表示的排序比较方法；在排序决策过程中，通过对相对属性判断值的规范化处理完成对一组对象的排序，实现了优选的目的.结果表明：通过下、上理想模糊数将结构元理论应用到直觉模糊数上，简化了计算，同时直觉模糊数在表达信息上考虑人的犹豫度，使得在表达语言信息上较模糊数更贴近现实，排序结果自然更精确.关键词：模糊数；直觉模糊数；下理想；上理想；模糊结构元；直觉模糊数排序；相对属性测度；相对属性测度矩阵中图分类号：O221文献标志码：AIntuitionistic fuzzy numbers approach of sequence decisionGUO Sizong,LV Jinhui(College of Science,Liaoning Technical University,Fuxin123000,China)Abstra ct：In order to delicately describe the language of information as a comparative evaluation,this paper uses an intuitionistic fuzzy number to express the comparative assessment of two objects.The intuitionistic fuzzy numbers are expressed as two-dimensional fuzzy array of up-ideal fuzzy numbers and down-ideal fuzzy numbers. Therefore,it defines a calculation expression on intuitionistic fuzzy numbers and provides a comparison and sorting method on intuitionistic fuzzy numbers based on the expression of structural element.In a decision-making process,with the standardized process on relative property values,the sequencing of a series of objects can be completed to achieve an optimal selection.The results show that the fuzzy structure element is used on intuitionistic fuzzy numbers through down-ideal and up-ideal fuzzy numbers to simplify the calculation.In addition,the consideration of intuitionistic fuzzy number on the hesitation degree of human being in expressing information makes it more close to reality in expressing language information,and the sorting results are more natural and accurate.Keywords:fuzzy number;intuitionistic fuzzy number;down-ideal;up-ideal;fuzzy structuring element;ordering of intuitive fuzzy numbers;measure of relative properties;measure of relative properties matrix0引言排序决策是重要的决策之一，对各种方案的优选、企业自身与竞争对手排序、待选者的比较等，无一不是排序决策问题.在排序过程中，人们的思维具有模糊性.目前在处理这类问题上，一般都选用优先关系排序的方法，用模糊数来表达相对属性判断的语言信息，模糊数是一个只考虑隶属度的模糊集合，不能表达人们思想上犹豫的因素，Shu[1]等定义了直觉三角模糊数，利用三角模糊数表示隶属度和非隶属度，直觉三角模糊数将直觉模糊集的论域从离散集合扩展到连续集合，它是对模糊数的一种扩展.王坚强[2]提出直觉梯形模糊数的概念，它是比直觉三角模糊数更一般的模糊数，Wei[3]定义了一些直觉梯形模糊数的算术集成算子，并应用于群决策中.万树平[4]从几何角度定义了给出了直觉梯形模糊数的排序方法，将直觉梯形模糊数应用到群决策中.上述两种模糊数实际都是特殊的直觉模糊数.本文用一个直觉模糊数来刻画相对属性的判断值，是传统的模糊数比较方法的一个进步.收稿日期：2011-11-08基金项目：教育部高校博士学科点专项科研基金资助项目（20102121110002）作者简介：郭嗣琮（1951-），男，吉林白城人，教授，博士生导师，主要从事模糊分析学、软计算等面的研究.本文编校：曾繁慧237第2期郭嗣琮，等：排序决策的直觉模糊数方法1直觉模糊数的运算及排序比较方法1.1直觉模糊数的运算及结构元表示定义1设,A αβ=<>%%%是具特性函数(),()A A x x μν<%%>的实数域R 上的直觉模糊集，如果α%和Cβ%均为模糊数[6-8]，则称A %为直觉模糊数.R上的直觉模糊数全体记为~IFS [5].定义2对于给定的直觉模糊数,A αβ=<>%%%，称模糊数Cβ%为A %的上理想，模糊数α%为A %的下理想.直觉模糊数的上理想与下理想相等时，即A %Cαβ=%%，则A %为普通模糊数.一个直觉模糊数由其下理想和上理想所唯一确定.是R 上的一个二元运算，定义两个直觉模糊数的运算A%B %=.(1)1212,[]C C Cααββ<>%%%%定理1设,A %B %∈IF S ，是连续算子，则A B %%∈~IFS .证明不妨记11,A αβ=<>%%%,22,B αβ=<>%%%，特性函数分别()A x μ<%,()A x ν>%和()Bx μ<%,()B x ν>%，又设A %B %C =%，33,C αβ=<>%%%，其特性函数为(),()C C x x μν<>%%，，于是312[]C C βββ=%%%C312()()z z αααμμ=%%%=12[()()A A z x y]x y μμ=∨∧%%，.z ∈R 312[]()()C C Cz z βββνν=%%%=121[()(CCz x y)]x y ββνν=∨∧%%，.z ∈R 而3()C z βν%12[()()C C z x y]x y ββνν==∨∧%%，，则z ∈R ()()C kkx x αβνμ%%≥，.1,2k =所以1212()())()()C C x y x ααββy ννμμ∧∧%%%%≥.因此，可得z ∈R 3()C z βν=%1[()cz x y x βν=∨∧2()]c y βν≥12[()()]z x yx y ααμμ=∨∧%%3()z αμ=%,式中，3()()C z z αμμ=%%，33()1()1C z z ββνν==%%()C z ν%，故有()C z μ%≤1(C z 则z ∈R ，(),C C z μ=<%%()C z ν>%是直觉模糊集..其次，因为1α%,2α%,12,C Cββ%%是模糊数，是连续算子，12αα%%和1C 2Cββ%%均为模糊数.综上可知，A %B %是一个直觉模糊数，证毕.根据模糊结构元理论[9]，设E 是任意的正则模糊结构元，其隶属函数为，对于任给的一个直觉模糊数)(x E ,A αβ=<%%%>，必存在[-1,1]上同序单调有界函数和，使得)(x f ()g x ()f E α=%,，于是可以表示为()Cg E β=%A %A %=(),[()]C f E g E <>.(2)设两个直觉模糊数的结构元表示分别为=A %11(),[()]C f E g E <>和B %=，其中22(),[()]C f E g E <>E 是给定的正则模糊结构元，1212,,,f f g g 为[1,1]上同序单调有界函数[10-11]，是连续二元算子，则A %B %的结构元表示为A %B %=1212()(),[()()]C f E f E g E g E <>.(3)1.2基于结构元理论的直觉模糊数的排序E 为给定的正则模糊数结构元，隶属函数为.设，其结构元表达式为=()E x ,A B IFS ∈%%A %11(),[()]C f E g E <>和B %=，22(),[()]C f E g E <>1212,,,f f g g 是[1,1]上的同序单调函数，记112121(,)()[(()())(()())]d .H A B E x f x f x g x g x x =+∫%%(4)定理2设，其结构元表达形式为=,A B IFS ∈%%A %11(),1()f E g E ，B %=22(),1()f E g E ，其中为给定的某给正规的模糊数结构元，其隶属函数为，E ()E x 1212,,f f g g 是[1上的同序单调函数，则由,1]A B p %%(,)H A B =%%112121()[(()())(()())]d()0E x f x f x g x g x x +∫p .所确定的关系“”显然为一种全序关系.p 2排序决策的直觉模糊数方法比较2.1相对属性测度在模糊排序中，要对n 对象A 2A 行判断的基础是先对i A j A 行个进进1，,,n A L 和(1,)i j n ≤≤)ν%，即()C z μ+%()1C z ν%≤，辽宁工程技术大学学报（自然科学版）第31卷238)比较进而得到相应的基础数据，在这些数据基础上，采用一定的方法，对这个对象进行比较排序.n 在和的比较中，得到的得分为i A j A (i j ≠i A ij A %，j A 得分为j i A %，这里ij A %和ji A %都可用直觉模糊数来表示，为方便计算，可以让ij A %和ji A %都是线性生成的直觉模糊数.此处称为对的相对得分，即相对ij A %i A j A i A j A 的相对属性判断值；ji A %是j A 相对于的属性判断.由于此类比较具有相对性，而且这两种比较具有逆向的特征，因此i A ij A %和j i A %在数量上应该有某种关系.若满足：（1）（1ij ji A A +=%%1,2,,,j n i j =≠L 且）；（2）（）.0ii A =%1,2,,i n =L ij A %为相对i A j A 的直觉模糊属性测度.2.2相对属性测度矩阵称()为直觉模糊数属性测度矩阵.ij n n A ×%若ij ji A A %%≥，则表示比i A j A 强，记作i j A A >.若i j A A >，j k A A >时，有，则称为一致性矩阵.i A A >k j i m )()ij n n A ×%2.3直觉模糊相对属性权重向量的得分比较步骤1把所在行的直觉模糊数相加，即为的得分.i A i A 1ni i j m A ==∑%步骤2计算所有对象的总得分.1ni i m =∑步骤3计算直觉模糊的相对权重，根据上面定义直觉模糊数的运算，计算出每个对象得分和总得分的比，，这个比称为直觉模糊相对权重.将i A 1/inA i i m ω==∑12(,,,nA A A ωωωL 称为直觉模糊相对权重向量.步骤4在两两对比中，一般不是由一个评判专家做出决策的，假设有N 位评委，并假设N 位评委的权利比重一样，如果第位专家对对k iA j A 比较得到相对属性测度k ij A %，则平均相对属性测度为.1()/Nk ij ij k A A ==∑%%N 步骤5利用本文定义的序关系对12,,A A ωω,n A ωL 进行排序比较进而确定最优选择.2.4实例分析某企业为了实现对4家供应商的择优选择，需要对其排序，评判活动中，由公司三名领导从供应品质量保证、供应效率、供应品价格、企业诚信度等方面评价，评价结果从好、较好、一般、较差、差五个等级评判比较，具体步骤如下.1234,,,A A A A （1）获取直觉模糊评价语言从中任选两个进行比较，得到模糊语言表达矩阵，并得到如下结论.1234,,,A A A A 1=较差较好好较好一般好较差一般较好差差较差p ,2=差好较好好好一差差较差较差一般较差p 般,3=一般好较好一般好差差较差一般较差好一般p .（2）模糊测度矩阵五个等级用直觉模糊数表示，得到10,00.3+0.2,0.30.250.70.2,0.70.220.80.1,0.80.150.70.2,0.70.250,00.50.2,0.50.250.70.2,0.70.230.30.2,0.30.220.50.2,0.50.250,00.70.2,0.70.280.20.1,0.20.150.30.2x xx x x x x x x xx x x x x x x x xx +++++++++++=+++++++++p x,0.30.230.30.2,0.30.280,0xx x+++,239第2期郭嗣琮，等：排序决策的直觉模糊数方法20,00.2+0.1,0.20.20.80.1,0.80.190.70.2,0.70.230.80.1,0.80.20,00.80.1,0.80.180.50.2,0.50.240.20.1,0.20.190.20.1,0.20.180,00.30.2,0.30.280.30.2,0.30.230.50.2,0x xx x x x x x x xx x x x x x x x xx +++++++++++=+++++++++p x.50.240.70.2,0.70.280,0x x x +++,30,00.5+0.2,0.50.220.80.1,0.80.150.70.2,0.70.260.50.2,0.50.220,00.70.2,0.70.20.50.2,0.50.250.20.1,0.20.150.20.1,0.20.180,00.30.2,0.30.280.30.2,0.30.260.50.2,x xx x x x x x x xx x x x x x x x xx +++++++++++=+++++++++p x0.50.250.70.2,0.70.280,0xx x +++.（3）平均模糊测度矩阵0,00.267+0.23,0.2670.2580.8210.12,0.8210.1720.6910.23,0.6910.2480.7330.23,0.7330.2580,00.6830.18,0.70.2120.5120.17,0.5120.2230.1790.12,0.1790.1720.3170.12,0.3170.1720,x xx x x xx x x xx x x x +++++++++++=++++p x x 00.50.2,0.50.280.3090.23,0.3090.2480.4880.17,0.70.2230.50.2,0.50.280,0x xx x x xx x ++++++++.（4）计算各自的得分和总得分1234,,,A A A A 总得分=1A 1m 0.5930.19,0.5930.225x x ++；总得分=2A 2m 0.6430.193,0.6430.231x x ++；总得分=3A 3m 0.3320.147,0.3320.208x x ++；总得分4A 40.4190.2,0.4190.28m x =++x =.（5）对进行排序比较：为方便计算，令=1，则有1234,,,A A A A ()E x 11212121(,)[(()())(()())]d m m f x f x g x g x x δ=+∫11(0.10.07)d x x ∫<0；12323231(,)[(()())(()())]d m m f x f x g x g x x δ=+∫11(0.6220.069)d =x x ∫>0；13434341(,)[(()())(()())]d m m f x f x g x g x x δ=+∫<0；11414141(,)[(()())(()())]d m m f x f x g x g x x δ=+∫>0.所以，故而最优.214m m m m >>>31A 3结论本文定义了直觉模糊数的运算和排序比较的方法，并且通过下、上理想的概念给出了运算的结构元表达形式，这样简化了直觉模糊数的运算.用直觉模糊数来表达相对语言的相对属性判断值，由于直觉模糊数考虑了犹豫度，因此在表达信息上更细腻，在排序比较中更符合人的思维方式，对于直觉模糊数理论系统的完善将是以后工作的重点.参考文献：[1]Shu M H,Cheng C H,Chang J ing intuitionistic fuzzy sets forfault-tree analys i son print ed circuit board assembly[J].Mi croel ectronics Reliabilit y,2006,(46):2139-2148.[2]王坚强，张忠.幕于直觉模糊数的信息不完全的多准则规划方法[J].控制与决策,2008,23(10):1145-1148.[3]Wei G W.Some induced geometric aggregation operators withintuitionistic fuzzy information and their application to group decision making[J].Appli ed Soft Computing,2010,10(2):423-431.[4]万树平，董九英多属性群决策的直觉梯形模糊数法[J].控制与决策，2010,25(5):773-776.[5]Buril lo P,Bustince H,Mohedano V.Some defini tion of int uit ionisticfuzzy number[C]//Sofia.Fuzzy based expert systems.Bulgari a:fuzzy Bulgarian enthusiasts,1994:28-30.[6]Jain R.A procedure for mul ti-aspect deci s i on making using fuzzy s ets[J].Int.J.of Systems Sci ence,1978(8):1-7.[7]Dubois D,Prade H.Operat ions on fuzzy numbers[J].Int.J.of Sys t emsSciernce,1978(9):613-626.[8]Duboi s D,Prade H.Fuzzy sets and systems theory and applications[M].New York ：Academic Press,1980.[9]郭嗣琮.基于模糊结构元理论的模糊分析数学原理[M].沈阳：东北大学出版社,2004.[10]郭嗣琮.[-1,1]上同序单调函数的同序变换群与模糊数运算[J].模糊系统与数学，2005(3):105-110.[11]郭嗣琮.模糊数比较与排序的结构元方法[J].系统工程理论与实践,2009(3):45-49.。
基于直觉梯形模糊数的多属性决策方法
ｄ ｉ ｌ ． ６０ｉ ｎ１０ －４ ３ ０ ２ ４０ ｏ： ０３ ９ ．ｓ．０ ３２ ８ ． １． ． ９ ｓ ２ ０ ８
文献标 识码 ：Ａ
１ 引言
在很多多属性决策中，由于备选方案的模糊性和复杂性， 决策者往往不能准确地给出决策方案的评价信息， 而通常以模糊数的形式给出．因此， 对各备选方案的排序和择优就成为重要的研究课题之一． 而直觉模糊集在模糊集的基础上增加了一个新 的参数——非隶属度， 它能更加细腻的描述和刻画客观世界 的模糊本质，因而有人对其进行了研究， 但主要集中在其性质、 运算和相关性等方面． 基于 目前关于直觉梯形模 糊数研究较少， 在此提 出了一种基于得分函数和投影模型下， 针对权重信息已知、 不完全未知和完全未知且属性 值为直觉梯形模糊数的多属性决策方法．
ＳＡ） （ ｘ 一 Ａ】． （ ＝ＩＡ） （ Ｖ） （） ４
定 ４ （，，，， 义 设 ＝ 。： …
州
） ＝ｙ：２ 向 模 ， ，Ｊ 为 量 的 ． 则 ／；
．
定义 ５ 仅＝（ １ ， ， ０ － ） ｌ ４ ０， ３…， ， 和 ＝（ ， ｃ ２ ｃｌ
ｌ（ ） ｐａ ：
为 在ｐ上的投影长度占ｐ长度的比例， 筒记为投影率． 则 （ ） 值越大，方案 越优．
３ 决策理 论与方法
假设某直觉梯形模糊数多属性决策问题， ｍ项可行方案 １ ， ３ － ｎ 有 ， ，， ， 项属性 Ｇ ， ２ ３ ， ， ＝ ） ２ －Ａ １ ， ， ｘ ， Ｇ Ｇ 一 ”
，
，…
，
．， １
） 是两个向量， 定义
一
．
厨 ・
） 值越大， 表示 与Ｄ 越接近． 如果ｐ 是最优理想方案， 则 ， ） ＝ 『 口 值
基于投影的直觉模糊数多属性决策方法
献 Ｅ ３ 对 权 系 数 不 完 全 确 定 和 准 则 值 题 ， 出 了 信 息 不 完 全 提
Ｗ Ｅ ＩＧｕｉ ｕ ｗ
（ ｏ ｇ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ａｒ ｓ ａ ｄ Ｓ ｉ ｎ ｅ ，Ｃｈ ｎ ｑ ｎ，Ｃｈ ｎ ） Ｃｈ ｎ ｑ ｎ ｉ ｅ ｓ ｔ ｏ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｓ ｙ ｏ ｇ ｉ ｉａ
Ａｂｓ ｒ ｃ ｔ ａ ｔ：Ｗ ｉｈ ｅ ｐ ｃ ｏ ｔ ｒ ｂｌｍ ｕｌｉ ｅ ａ ｔ ｉ ｕｔ ｄ ｃｓｏｎ ｍ ａ ｎｇ，ｉ ｔ ｒ ｓ ｅ ｔ ｔ ｈｅ ｐ ｏ ｅ ｏｆｍ ｔｐｌ ｔ ｒｂ ｅ ｅ ｉｉ — ｋｉ ｎ ｗｈｉｈ ｔ ｔ ｃ ｈｅ ａ — ｔ ｉ ｕｔ ａ ｕ ｓａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｉ ｅ ｍｓｏ ｎ ｕｉｉ ｉ ｔｃｆ ｚ ｕｍｂｅ ｓ，ａ ｎ ｕｉｉ ｎｉｔｃｆ ｚ ｙ ｄｅ ｉｉ ｎ ｍａ ｎ ｒｂ ｅ ｖ ｌ ｅ ｒ ｉ ｅ ｎ ｔ ｒ ｆｉ ｔ ｔｏｎ ｓ ｉ ｕｚ ｙ ｎ ｒ ｎ ｉ ｔ ｔｏ ｓ ｉ ｕ ｚ ｃ ｓｏ ｋｉ ｇ
ａ ｌｕ ｔ ａ ｅ ｘ ｍｐｌ ｓ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐｅ ｈ ｎ ｉ ｓｒ ｔ ｄ ｅ ａ ｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｉ ａ ｒｓ ｏｗｓ ｔ ｅ ａ ｈ ｐｐｒ ｃ ｓ ｓｍ ｐ ｅ，ｅ ｆ ｃ ｉｅ ａ ｄ ｅ ｓ ｏａ ｈ ｉ ｉ ｌ ｆ ｅ ｔｖ ｎ ａ ｙ．
摘 要 ：针 对指 标取 值 以直 觉模糊 数 形 式给 出的 多属 性 决 策 问题 ， 出了一种 基 于投 影 的 提
直 觉模糊 决策 方 法。 方法依据 一般 投 影分 析 方法 的基本 思路 ， 出了解决属 性取 值 为直 觉模 该 给 糊数 的 多属性 决 策 问题 的计 算步骤 ， 其核 心是通 过 构建 并求 解每 个方 案在虚 拟 正 、 负理 想 方案 上 的投 影 ， 而 计算 出每 个 方案 对虚 拟 正、 进 负理 想方 案 的相 对 隶属 度 ， 可得 到 所有 方 案 的排 即 序 结果 。最后 给 出的数值 算例 表 明 ， 方 法 简单 、 效和 易于计算 。 该 有
基于投影的直觉模糊数多属性决策方法
基于投影的直觉模糊数多属性决策方法
卫贵武
【期刊名称】《管理学报》
【年(卷),期】2009(006)009
【摘要】针对指标取值以直觉模糊数形式给出的多属性决策问题,提出了一种基于投影的直觉模糊决策方法.该方法依据一般投影分析方法的基本思路,给出了解决属
性取值为直觉模糊数的多属性决策问题的计算步骤,其核心是通过构建并求解每个
方案在虚拟正、负理想方案上的投影,进而计算出每个方案对虚拟正、负理想方案
的相对隶属度,即可得到所有方案的排序结果.最后给出的数值算例表明,该方法简单、有效和易于计算.
【总页数】3页(P1154-1156)
【作者】卫贵武
【作者单位】重庆文理学院经济与管理系
【正文语种】中文
【中图分类】C93
【相关文献】
1.基于直觉三角模糊数向量投影的多属性决策方法 [J], 王安;周存宝
2.基于熵权的区间梯形直觉模糊数型VIKOR多属性群决策方法 [J], 杜康; 袁宏俊
3.基于效用值的直觉梯形模糊数多属性决策方法 [J], 连强
4.基于效用值的直觉梯形模糊数多属性决策方法 [J], 连强
5.基于改进得分函数的直觉梯形模糊数群体多属性决策方法 [J], 李鹏宇;吴冲
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基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策法
基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策法苏杭;钱伟懿【摘要】Based on TOPSIS method,a multiple-attribute decision-making method is developed for multiple-attribute decision-making problems whose attribute values are fuzzy number intuitionistic fuzzynumbers.Firstly,the formula for measuring the distance between fuzzy number intuitionistic fuzzy numbers is defined.Then,the relative similarity degree of each decision-making alternative on ideal alternative is given,the alternatives are ranked based on the relative similarity degree.Finally,an illustrative example is given.%对属性值以模糊数直觉模糊数形式给出的多属性决策问题,提出了一种基于TOP-SIS的模糊数直觉模糊数多属性决策方法,该方法首先定义了两个模糊数直觉模糊数之间的距离,然后给出了方案与理想点的相对贴近度,基于相对贴近度对方案进行排序。
最后进行了实例分析。
【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(033)001【总页数】5页(P6-10)【关键词】模糊数直觉模糊数;多属性决策;理想点;TOPSIS【作者】苏杭;钱伟懿【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】C9340 引言多属性决策在经济、军事、管理、环境工程等许多领域有着广泛应用，在实际决策中由于人们所考虑问题的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性不断增强，所以有关属性不确定问题的研究引起人们广泛关注。
不完全信息下的区间直觉模糊数的多属性决策方法
ａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ＧＲＡ ｅ ｈ ｄ．Ｔｈ ｕ ｒ ｃ ｌｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｒ ｐｏ ｅ ｅ ｈ ｄ ｐ ｌ ｔｏ ｆｔ ｃ ｍ ｔｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｐ ｏ ｓ ｄ ｍ ｔ ｏ ｓ ａ ｅ ｆａ ｉ ｌ ｎ ｆ ｃ ｉ ｅ ｒ ｅ ｂ ｅ ａ ｄ ｅ ｅ ｔｖ ． ｓ Ｋｅ ｙｗ ｏ ｄｓ Ｍ ｕ ｔ— ｒｔ ｒ ａ ｄ ｃｓｏ — ａ ｉ ｇ ｎ ｏ ｒ ｌｉｃ ｉｅ ｉ ｅ ｉｉ ｎ ｍ ｋ ｎ ，ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｒ ａ — ａ ｕ ｄ ｌ ｔ ｎ ｏ ｍ ｔｏ ， ｎ ｅ ｖ ｌｖ ｌ ｅ
摘要 针对属性权 重信息不 完全 的区间直觉模 糊 的多属性决 策 问题 ，提 出灰色关联 分 析 的决 策方法．该方法首先确 定各属性 下的最佳和最劣 方案，确定各方案 与理想方案 的灰 色关联 系数，然后在属性 权重信息不完 全的情况 下，建立基 于理 想点 的最 优决策模 型，求 出属性权 重，进 而根 据与理想 方案的相对贴近 度对各方 案进 行排序 ，最后 用实例对该方 法 进行 了说 明，理论分 析和数据 结果表 明了方法 的可行性和 有效性 ． 关键词 多属性决策 ，不完全信 息，区 间直 觉模糊 集，灰 色关联分 析
ｉ ｕｉｉ ｓ ｉ ｕｚ ｙ ｅ ｓ ｒ ｙ ｅ ａ ｉ ｎｔ ｔｏｎｉｔｃ ｆ ｚ ｓ ｔ ．ｇ ｅ ｒ ｌ ｔｏｎ ａｎａ ｙｓｓ ｌ ｉ
基于犹豫直觉模糊语言数的多属性决策方法
基于犹豫直觉模糊语言数的多属性决策方法徐丹青;陈小波【摘要】综合犹豫直觉模糊集和语言集，提出犹豫直觉模糊语言集。
首先，给出犹豫直觉模糊语言数的运算法则，并探讨犹豫直觉模糊语言数的加权算术平均算子和加权几何平均算子。
其次，构建犹豫直觉模糊语言数的得分函数和精确函数，并给出犹豫直觉模糊语言数的排序方法。
最后，给出犹豫直觉模糊语言数的多属性决策方法，并通过实例验证。
%In this paper,we define hesitant intuitionistic fuzzy linguistic set by intergrating hesitant intuitionis⁃tic fuzzy set with linguistic set.Firstly,the operational laws of hesitant intuitionistic fuzzy linguistic number are given,and the weighted arithmetic averaging operator and the weighted geometric averaging operator of hesitant intuitionistic fuzzy linguistic number are explored.Secondly,score function and accuracy function of hesitant intuitionistic fuzzy linguistic number are given,then an approach of raking hesitant intuitionistic fuzzy linguistic number is studied.Finally,the multi-attribute decision making method of hesitant intuitionis⁃tic fuzzy linguistic number is proposed,and an example is given to verify the proposed method.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)002【总页数】6页(P40-45)【关键词】犹豫直觉模糊语言数;得分函数;精确函数;集成算子;多属性决策【作者】徐丹青;陈小波【作者单位】安徽科技学院数学系，安徽凤阳 233100;安徽科技学院数学系，安徽凤阳 233100【正文语种】中文【中图分类】C934由于客观世界的复杂性和人类思维的模糊性，决策者很难对方案做出精确的数值评价，故利用语言评价值代替数值评价值是一种更加现实的方法［1］.近年来，基于语言的多准则方法已受到广泛关注［2-3］.王坚强等［4］在直觉模糊集和语言评价集基础上定义直觉语言集的概念，并定义直觉语言数、直觉二元语义及其Hamming距离，且对多粒度语言评价集的一致化提出了一种新的转化函数.刘培德等［5］定义了区间直觉不确定语言变量的概念、运算规则、期望值、精确函数以及区间直觉不确定语言变量的大小比较方法，提出区间直觉不确定语言变量的加权算术平均算子和有序加权平均算子，并提出区间直觉不确定语言变量的群决策方法.但在实际问题中，人们在对事物进行决策时，常常在多个决策信息之间犹豫，同时决策者之间不愿相互妥协，使得最终决策结果难以达成一致.鉴于此，Torra［6］提出了犹豫模糊集，犹豫模糊集的隶属度是几个可能值的集合，更能表现出决策的实际情境.在此基础上，Lin等［7］结合语言评价值和犹豫模糊集各自的优点定义了犹豫模糊语言集，犹豫模糊语言数的运算，进而运用加权算子进行集成，并对备选方案进行排序.然而，加权算子是建立在准则间完全可补偿假设条件上的，因此该方法具有一定的局限性.为了克服上述缺点，王坚强等［8］定义犹豫模糊语言数的Hausdorff距离，并在此基础上建立犹豫模糊语言数的优序关系，进而提出一种基于优序关系的犹豫模糊语言多准则决策方法.由于犹豫模糊语言集只考虑评价值的隶属程度，而没有考虑到评价值的非隶属程度.故本文综合语言集［9］和犹豫直觉模糊集［10］各自的优点定义了犹豫直觉模糊语言集，给出犹豫直觉模糊语言数的运算法则；进而定义犹豫直觉模糊语言数的加权算术平均算子和加权几何平均算子；构建犹豫直觉模糊语言数的得分函数和精确函数，并给出犹豫直觉模糊语言数的排序方法，并将其应用在多属性决策领域.定义1［9］设是由奇数个语言术语组成的集合，若满足以下特征：1）有序性，si＞sj，i＞j；2）逆运算，则称为语言术语集，其中术语的个数2t+1称为该语言术语集的粒度.为了保留所有已知信息，尽量减少丢失语言决策信息，Xu［11］把原有的语言离散标度拓展成连续性语言标度定义2［10］设X是一个非空集合，则X上的一个犹豫直觉模糊集（HIFS）其中表示元素x属于X的隶属度，表示元素x属于X的非隶属度，满足条件定义3 设X是一个对象集，且，则X上的一个犹豫直觉模糊语言集（HIFLS）A可以表示为其中：为一个语言术语，表示元素x的语言评价值；θ（x）为该语言评价值对应的脚标值的一个非空有限子集，表示x∈sθ（x）的隶属程度，的一个非空有限子集，表示的非隶属程度，满足条件当X中仅含一个元素时，犹豫直觉模糊语言集A退化为犹豫直觉模糊语言集是由集合X中各元素x的语言评价值、x属于该语言评价值的隶属度及非隶属度构成.对于给定的x∈X，称x的语言评价值、x属于该语言评价值的隶属度及非隶属度为犹豫直觉模糊语言数（HIFLN），即.为方便起见，将犹豫直觉模糊语言数简记为例1 设为给定的对象集，如果一个犹豫直觉模糊语言集，则0.3和0.5表示x1属于s2的可能隶属度，0.1、0.2和0.4表示x1属于s2的可能非隶属度；0.7表示x2属于s5的可能隶属度，0.1和0.3表示x2属于s5的可能非隶属度.基于犹豫直觉模糊数和语言集的运算法则，定义犹豫直觉模糊语言数的一些基本运算法则.定义4 设犹豫直觉模糊语言数，则（1）和运算（2）积运算（3）数乘运算（4）幂乘运算（5）补运算定义5 令为一组犹豫直觉模糊语言数，并设HIFLN-WAA：Qn→Q，若则称函数HIFLN-WAA是n维犹豫直觉模糊语言数的加权算术平均算子.其中Q为犹豫直觉模糊语言数的集合；ωj是的权重，，特别的，则HIFLN-WAA算子退化为算术平均算子HIFLN-AA.定义6 令为一组犹豫直觉模糊语言数，并设，若则称函数HIFLN-WGA是n维犹豫直觉模糊语言数的加权几何平均算子.其中Q为犹豫直觉模糊语言数的集合；的权重，，特别的，则算子退化为几何平均算子HIFLN-GA.定理1 令为一组犹豫直觉模糊语言数，则由式（1）集成得到的结果仍是犹豫直觉模糊语言数，且其中证明以下用数学归纳法对定理中的结论予以证明.由定义4知，当n=2时，假设当n=k时，当n=k+1时，故等式成立.显然集成结果（3）是犹豫直觉模糊语言数.定理2 令为一组犹豫直觉模糊语言数，则由式（2）集成得到的结果仍是犹豫直觉模糊语言数，且其中定理2的结论类似定理1可证.定义7 定义犹豫直觉模糊语言数的得分函数和精确函数分别为：其中分别表示α¯中隶属度、非隶属度的个数.定义8 令）为两个犹豫直觉模糊语言数，则有：1）若2）若a）若b）若设一多属性决策问题包含候选方案集，决策属性集，属性的权重向量各候选方案在每一属性下的评估值可用犹豫直觉模糊语言数表示，从而得到决策矩阵.这里，hij、gij分别表示元素属于n语言标签sθij的隶属度、非隶属度.针对以上问题，给出求解的多属性决策方法，其具体步骤如下：步骤1 规范化决策信息.判断属性的类型（效益型或成本型），根据式（7）将决策矩阵转化为规范化矩阵步骤2 利用式（3）中的HIFLN-WAA算子或者式（4）中的HIFLN-WGA算子计算得到每一个方案的综合评价步骤3 利用式（5）计算）的期望值，若出现∂，则计算精确函数步骤4 根据定义8的排序方法，对）进行排序，产生多属性决策问题的解.某企业为提高企业数据存储效率，拟定从4个服务器供应商中进行选择.管理者综合各部门的意见，选取迁移成本e1、可带来的收益e2、转移的容易程度e3、预计风险e44个属性，属性e1和e4为成本型属性，其余是效益型属性.每个服务器供应商在各个属性下的取值用犹豫直觉模糊语言数表示，得到决策矩阵如表1所示.属性权重向量，设语言术语集｛非常差，很差，差，一般，好，很好，非常好｝.试对供应商排序并选择最佳供应商.首先，用上述的规范化方法把决策矩阵规范化，得到规范化决策矩阵，如表2所示；其次，利用HIFLN-WAA算子对规范决策矩阵R中4个供应商在4个属性上的评价值进行集成，得到各供应商的综合评价），如表3所示.依据表3的4个供应商的综合评价值，计算它们的期望值分别为则有，故供应商的排序为A4≻A1≻A3≻A2，最佳供应商为A4.利用HIFLN-WGA算子对规范决策矩阵R中4个供应商在4个属性上的评价值进行集成，并计算综合评价值的期望值分别为，限于篇幅，这里略去综合评价.依据所得的4个供应商的期望值，得到相同的排序，即A4≻A1≻A3≻A2.尽管HIFLN-WAA算子与HIFLN-WGA算子产生相同的排序，但各供应商综合评价的期望值略有不同.本文定义了犹豫直觉模糊语言集和犹豫直觉模糊语言数，定义犹豫直觉模糊语言数的基本运算法则，在此基础上给出两种集成算子.进一步构建得分函数和精确函数，实现了犹豫直觉模糊语言数之间的排序.综合提出基于集成算子的犹豫直觉模糊语言数的多属性决策方法.犹豫直觉模糊语言数能够较为准确地反映决策信息，因此，在决策领域将具有良好的应用前景.【相关文献】［1］ZADEH L.The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning-I［J］.Information Science，1975，8（3）：199-249.［2］CARRASCO R A，VILLAR P，HORNOS M J.A linguistic multi-criteria decision making model applied to hotel service quality evaluation from web data sources［J］.Int J of Intelligent Systems，2012，27（7）：704-731.［3］RODR′IGUEZ R M，MART′INEZ L，HERRERA F.A multi-criteria linguistic decision making model dealing with compar⁃ative terms［M］.Berlin：Springer Heidelberg，2012：229-241.［4］王坚强，李婧婧.多粒度直觉二元语义的多准则群决策方法［J］.科技信息，2009，33：8-9. ［5］刘培德，金芳.区间直觉不确定语言集成算子及在群决策中的应用研究［J］.管理工程学报，2014，28（1）：124-130.［6］TORRA V.Hesitant fuzzy sets［J］.Int J of Intelligent Systems，2010，25（6）：529-539.［7］LIN Rui，ZHAO Xiaofei，WEI Guiwu.Models for selecting an ERP system with hesitant fuzzy linguistic information［J］.J of Intelligent and Fuzzy Systems，2014，26（5）：2155-2165.［8］王坚强，吴佳亭.基于优序关系的模糊语言多准则决策方法［J］.控制与决策，2015，30（5）：887-891.［9］DELGADO M，VERDEGAY J L，VILA M A.Linguistic decision making models［J］.Int J of Intelligent Systems，1992，7 （5）：479-492.［10］付超，赵敬.基于犹豫直觉模糊数的多属性决策方法［J］.系统工程，2014，32（4）：131-136.［11］XU Zheshui.Uncertain Linguistic aggregation operators based approach to multiple attribute group decision making under uncertain linguistic environment［J］.Information Science，2004，168：171-184.。
一种直觉模糊多属性群决策方法及其在群决策中的应用
ｓ ｅ ｔ ｓ ． Ａ ｎ ｅ ｗ ｄｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｐ ｙ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ，ａ ｎ ｄ ｍｅ ａ ｎ ｗｈ ｉ ｌ ｅ，ｉ ｔ ｄｅ ｆ ｉ ｎ ｅ ｓ ａ ｎ ｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｒ ａ ｎ ｋ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｕ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｎ ｕｍｂ ｅ ｒ ｓ ｗｈｉ ｃ ｈ ｃ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｏ ｒ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ａｎｄ ｔ ｈｅ ｎ，ｗｅ ｕ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｍａ ｘ ｉ ｍｉ ｚ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ｅ ｎ ｓ ｕ ｒ ｅ ｕｎ ｋ ｎ ｏ ｗｎ ａ ｔ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ａ ｎ ｅ ｗ ｄ ｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ， ａ ｎ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｔ ｏ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｔ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｇ ｒ ｏ ｕ ｐ ｄ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ｍａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ．
ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｂｏ ｕ ｔ ａ ｔ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｉ ｓ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ｙ ｕ ｎ ｋ ｎ ｏ ｗｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｔ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｅ ｄ ｂ ｙ ｉ ｎ ｔ ｕ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ
直觉模糊多属性决策熵排序法在武器方案规划中的应用
ｍｎ Ａ ， （ ） ＋ Ａ ｉ＃ （ ｖ ｘ ） ＂ （ （ ） ａ ｆ ） ｍｎ Ｂ ， （ ） ＋ Ｂ ｉ ｉ＃ （ Ｖ ） ＇ （ （ ） Ｂ ｉ ｆ ） ｉ ｍｘ￣（ ） Ａ ） ＋ Ａ ｍｘ Ｂ ）／（ ） 丌 （ ａ／ Ｘ ， （ ） ＂ （ （ａ Ｖ ｉ ｆ ） ａ（ （ ， ） ＋ 月 ｇ ） Ｂ ）
本文引入改进 的直觉 模糊熵 ， 后进行 直觉模 糊信 息集成 并对 然
１ 预 备知 识
定义 １ 设 是一 个 非 空 集 合 ， 称 Ａ＝ ｛ ， （ ， 则 ＜ Ｉ ） Ｘ
则 的直觉模糊熵定义为 ：
刚， ＝ 砉
（ ）∈［ １ ；＾ｘ ０ １ ， — （ ０，］ ： — ［ ， ］ ∈ ）∈［ ， ］ ０ ＾ ） ０１且 ≤ （ ＋ （ ≤１ ∈ 另夕 仃 （ Ａ ） ， Ｘ， ＾ ）＝１ ＾ ）一 （ ， 一 （ ） ∈Ｘ表示
条件 ２ Ｅ Ａ （ ）＝１当且仅 当 Ｖ ！ 有 （ Ｘ， ）：３（ ； １ ）
Ｓｅ 使 用 定义 ２得 到 的得 分 函数 Ｓ （ 对 毛（ ｔｐ４ ） 甜）＝
和算法 ， 该改进方法能够更加有效 的符 合客观实际 ， 对于决 策方
进行武器规划方案进行决 策有很好 的利 用价值 。
（） ５
参 考文献 ：
３ 实例 分 析
［ ］ Ａａ ａｓ Ｉｔ ｔｎｓｅｆｚ ｅ Ｊ ． ｕｚ ｅ ｎ ｙ． １ ｔ ｓｏ Ｋ．ｎ ｉｏｉｉ ｕｚ ｓｔ ］ Ｆ ｚ Ｓｔ ａｄＳ ｓ ｎ ｖ ｕ ｉ ｔ ｙ ｓ［ ｙ ｓ
…
（ ．５ ０ ３ ） （ ． ０，． ０ （．０，．５ Ｏ ４ ，．５ ０ ５ ０ ３ ） ０２ ０５ ） （ ．５ ０ ２ ） （ ．０，． ０ （ ． ５ ０ １ ） ０ ６ ，．５ ０ ５ ０ ５ ） ０ ５ ，． ５ （ ．５ ０ ３ ） （ ． ５０ ３ ） （ ． ５ ０ ３ ） ０ ４ ，．５ ０ ５ ，． ５ ０ ３ ，． ５
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模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法
摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。
最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。
关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数
1引言
多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。
随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个
数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。
atanassov和gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。
对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了
记分函数及排序方法。
刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。
本文将ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。
2 记分函数
定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件 .
类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。
针对模糊数直觉模糊数，汪新凡[8]将记分函数进行拓展。
定义2[8] 假设是一个模糊数直觉模糊数，则的记分函数表示为
定义3[8] 设为一个模糊数直觉模糊数，则称
为的记分函数。
同时汪新凡给出了模糊数直觉模糊数排序方法
定义4[8] 取和为任意俩个模糊数直觉模糊数,
（1）如果，则；；
（2）如果，则：
①当时，；
②当时， .
2007年ye[12]针对直觉模糊数给出记分函数
该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，同时也考虑了反对部
分对决策影响。
表示决策者认为未知信息所起作用是积极地；表示决策者认为未知信息所起作用是消极的；表示决策者认为未知信息所起作用是无影响的。
本文将ye的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数如下
定义5设为一个模糊数直觉模糊数，则称
为的记分函数，其中。
定理1 由定义4.6定义的记分函数具有如下性质：
（ⅰ）；
（ⅱ）的充分必要条件；
（ⅲ）的充分必要条件。
证明：（ⅰ）由，，且，则有
由，有
（1）
（2）
故
（ⅱ）当时，显然有。
反之，若，由（1）知，，有。
由。
假设，即当时，
与之矛盾。
所以
（3）
从而。
假设不然，不妨设，则由于，所以与（3）矛盾。
故，
即
（ⅲ）类似（ⅱ）的证明可证（ⅲ）。
3 决策方法
基于上述分析，多准则决策问题步骤如下
步骤1：设为方案集，为属性集。
第个方案的第个属性用模糊数直觉模糊数表示，即，所有的构成决策矩阵。
步骤2：计算每个方案的综合属性值。
步骤3：根据综合属性值计算得分函数值，按得分函数值大小对方案进行排序。
4 实例分析
某高校对二级学院进行考核。
通常用教学工作（g1），科研工作（g2），学生就业情况（g3），师资队伍建设（g4），人才引进培养（g5）作为考核评估指标。
设有5个二级学院被考核，用
( =1,2,…,5)表示。
每个学院的评估信息可用模糊数直觉模糊数表示，如表1 所示:
试确定最佳选择方案。
取w= (0. 30, 0. 25, 0. 15, 0. 10，0.20). 步骤1：首先利用fifwaa算子，取，计算得到决策者所给出的方案综合属性值为
z1=
z2=
z3=
z4=
z5=
步骤2：根据综合属性值，利用定义5给出的记分函数计算出记分函数值为
，，，，
步骤3：根据记分函数值的大小对方案进行排序：
因此, 最佳方案为。
我们取属性权重与本文的一样。
按文[8]给出的得分函数公式进行计算排序，其对方案进行排序：
最佳方案为。
由此看出，本文给出的记分函数公式与汪新凡定义的记分函数公式在实例分析中计算结果一致。
说明本文的方法是可行的、有效的。
参考文献
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[12] ye. jun improved method of multi-criteria fuzzy decision-making based on vague sets, computer aided design, 2007, 39, 164-169.
作者简介：
马晓东：女，1964年生，铁岭卫生职业学院数理教研室主任副教
授，现从事数学教学和数学研究。
胡十，男，1993年生，大连枫叶国际学校高中部学生。