高数重积分-二重积分及其性质计算

将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似

( i ,i )
i
看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
o x n M lim ( i ,i ) i .
0
i 1
3
二、二重积分的概念
定义
D 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 上的有界 函
n 数，将闭区域D 任意分成 个小闭区域 1 ，
ri ri i ,
o
i i
i
D
i
A
f ( x, y)dxdy f ( r cos , r sin )rdrd .
D D
33
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1 ( )
r 2 ( )
,
D D
9
性质６ 设M 、 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 m 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式） 性质７ 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
d d
x 1 ( y )
D
x 2 ( y )
x 1 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx.
23
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
f ( x , y )d D
f ( , )
（二重积分中值定理）
10
例 1 不作计算，估计 I e
D
( x2 y2 )
d 的值，
(0 b a ) .
x2 y2 其中D 是椭圆闭区域： 2 2 1 a b
解
区域 D 的面积 ab ,
在D 上
D D1 D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D D
性质５ 若在D上 f ( x , y ) g( x , y ), 则有 f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
特殊地
f ( x, y )d f ( x, y ) d .
ln( x
2
y )dxdy 的符号.
2
当r x y 1时, 0 x 2 y 2 ( x y )2 1,
故
ln( x 2 y 2 ) 0 ;
ln( x 2 y 2 ) 0,
又当 x y 1时,
于是
r x y 1
ln( x 2 y 2 )dxdy 0 .
i 2 , ， n ，其中 i 表示第 个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
( i , i ) ，
作乘积 并作和
f ( i , i ) i ，
( i 1,2,, n) ，
f ( i ,i ) i ，
i 1
1 ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4 1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 0.4 I 0.5. 故 I 5 4
12
例 3 判断
解
r x y 1
0 x2 y2 a2 ,
1 e e
0
x2 y2
e ,
a2
由性质 6 知
e
D
( x 2 y2 )
d e ,
a2
ab e
D
( x 2 y2 )
d abe .
a2
11
d 例 2 估计 I 的值， 2 2 x y 2 xy 16 D 其中 D： 0 x 1, 0 y 2 . 1 , 区域面积 2 , 解 f ( x, y) 2 ( x y ) 16
2a
27
D 例 4 求 ( x y )dxdy ，其中 是由抛物线
2
y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
D
x y2
解
两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
y x2
( x y )dxdy dx 2 ( x 2 y )dy 0 x
和近似表示曲
x
D
o

y
( i ,i )
i
n
顶柱体的体积，
曲顶柱体的体积 V lim f ( i ,i ) i . 0
i 1
2
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y )在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.
21
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
13
例 4 比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
D D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e ,
1
D
故 ln( x y ) 1,
2
1
x
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
28
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D3
D1
D2

D
.
D1 D2 D3
24
例1
改变积分 dx
1 0
1 x
0
f ( x , y )dy 的次序.
解 积分区域如图
y 1 x
原式 dy
1 0
1 y
0
f ( x , y )dx .
25
例2
改变积分
2 x x2
0 dx 0
1
f ( x , y )dy 1 dx 0
第一节、二重积分及其性质
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
柱体体积=？ 特点：曲顶.
1
D
步骤如下：
求曲顶柱体的体积采用 “分割 、求和、取极限”的方法．
z
z f ( x, y)
先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， 用若干个小平
顶柱体体积之
6
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
y
D
o x
则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
7
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
1
32
二、极坐标系中计算二重积分
1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 r ri ri 1 r ri ( 2ri ri )ri i 2 ri ( ri ri ) ri i 2
解 曲面围成的立体如图.
31
所围立体在 xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy,
所求体积V ( x y xy)d
D
0 dx 0 ( x y xy)dy
1
1 x
1 7 3 0 [ x(1 x ) (1 x ) ]dx . 24 2
n
4
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x , y )d ，
D
即 f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
D
n
0 i 1
D D
性质２
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
8
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D
1 ( ) r 2 ( ).
o


A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d


2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
y 1 y
1 4 1 2 1 2
1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x

1
x
2
x
百度文库
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
30
例7
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ，z xy ， x y 1， x 0 ， y 0 .
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x0 )
a
2 ( x )
0
y 2 ( x)
得
x
b
x
f ( x, y )d dx
b a D
y 1 ( x)
1 ( x )
f ( x , y )dy.
22
如果积分区域为： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ). ［Y－型］
o
1
2
x
ln( x y )2 , 于是ln( x y )
因此
ln( x y )d [ln( x y )]2 d .
D D
14
第二节、二重积分的计算
一、直角坐标系中计算二重积分
如果积分区域为： a x b, ［X－型］
y 2 ( x )
1 ( x ) y 2 ( x ).
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e
1 0
y
2
1 2 y3 y2 2 1 y dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
29
例 6 计算积分 I dy e dx dy e dx .
2
2 x
f ( x , y )dy 的次序.
解 积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式 0 dy 1
1
2 y 1 y
2
f ( x , y )dx .
26
例 3 改变积分 0 dx 的次序.
2a
2 ax 2 ax x 2
f ( x , y )dy (a 0)
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
5
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．