函数单调性与最大最小值

单调性与最大（小）值
曹利霞
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
y
f ( x1 ) f ( x2 )
y f (x)
y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 f ( x ) 在区间D上是减 函数”？
f (x)
y
y f源自文库(x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x1
x2
注意：函数的单调性是对某个区间而言的， 对于单独的一点，由于它的函数值是唯一 确定的常数，因而没有增减变化，所以不 存在单调性问题；对于闭区间上的连续函 数来说，只要在开区间上单调，它在闭区 间上也就单调，因此，在考虑它的单调区 间时，包括不包括端点都可以；
例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
知识迁移,应用提高
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
思考:能否写成 [-5,-2) 解：函数y=f(x)的单调区间有 ∪[1,3)?
[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5] 其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
1 x
在（0，1）上是减函数
例 3 .函 数 f ( x ) 1 在 (0, )上 是 增 函 数 还 是 x 减 函 数 ？ 证 明 你 的 结 论.
1 x1 1 x2 1
减函数
f（x）在定义域 上是减函数吗？ 取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 x f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）
证明： 1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则 设x
f ( x1 ) , f ( x2 )
y
－1 1
O
f ( x1 ) f ( x 2 )
1 x1

1

x 2 x1 x1 x 2
x2
－1
x1 , x 2 ( 0 , ) x1 x 2 0 f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x1 ) f ( x 2 ) x1 x 2 x 2 x1 0
b 在 - ， 2a
在(o y x x
∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
o y
o
y
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
x
在 增函数 b 在 - ， 2 a 减函数
b , 2a
当堂检测反馈：
1、如果 x , x a , b ，且 x x 时，有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ，则函数 1 2 a , b 上是( D ) 在 A．增函数 B．减函数 C先减后增． D．不能确定
1 2
f (x)
2、函数 y x 2 6 x 1 0 在区间（2，4）上为( C A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数
x
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x 2 的值，若当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) , 则称函数 f ( x ) 在区间D上是减函数.
思考3：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 f ( x )在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x ) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 2 函数 f ( x ) ( x 1) 的单调区间如何？
证明： 1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，则 设x
f(x1)－f（x2）＝（3x1＋2）－ （3x2＋2） ＝3（ x1－x2 ） 由x1<x2，得x1－x2<0 于是f（x1）－f（x2）<0 即f（x1）<f（x2） 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
－－－定号 －－下结论 －－－取值 －－－作差 －－－变形
函数 f ( x )
1 x

在 ( 0 , ) 上是减函数
.
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
1
2
3
t
知识探究（一）
考察下列两个函数:
2
（1） f ( x ) x ； (2) f ( x ) x ( x 0 )
y y
o
x o x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？
f (x)
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x 2 的值，若当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) , 则称函数 f ( x ) 在区间D上是增函数.
知识探究（二）
考察下列两个函数:
2
（1） f ( x ) x ； (2) f ( x ) x ( x 0 )
思考3:如图为函数 f ( x ) 在定义域 I内某个区间D上的图象，对于该 区间上任意两个自变量x1和x2， f 当 x1 x 2 时， ( x1 )与 f ( x 2 ) 的大 小关系如何？
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1
x2
x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f ( x ) 在区间D上是增函数”？
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
注意：
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质，是函数的局部性质； 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.
下面是常见的基本初等函数的单调 区间（应熟记）
y
o y x x
y
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
)
3、已知函数 f ( x ) 在 a , b 上单调，且 f ( a ) f ( b ) 0 ，则方 程 f ( x ) 0 在区间 a , b 上( B ) A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有一个实根 4、证明函数 f ( x ) x