直线与平面垂直的判定(优秀公开课)

探究活动：请同学们拿出一块
三角形的纸片，做如图所示的
试验：
过△ABC的顶点A翻折纸片，
D
得到折痕AD，将翻折后的纸片
A
竖起放置在桌面上（BA D、DC
与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
B
(2)如何翻折才能保证折痕AD
D
与桌面所在平面肯定垂直？
B
D
C
C
A
B D
C
C
l
m
α
O
n
直线与平面垂直的判定定理：
D′ A′
C′ B′
D A
C B
例题示范,巩固新知
例2.如图，已知a∥b、a⊥α.
ab
求证：b⊥α.

分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知，
直线a与这两条相交直线是垂直的，
又由b平行a，可证b与这两条相交
直线也垂直，从而可证直线与平面
垂直。
a
例2.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
2.3.1直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定
教学内容：
一、理解直线与平面垂直的定义； 二、探究、归纳直线与平面垂直的判定 定理及应用。
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
回顾知识： 空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？
（1）直线在平面内， （2）直线与平面平行，
（3）直线与平面相交 (垂直)
例题示范,巩固新知
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。 求证：b⊥α。
ab
分析：在平面内作两条相交直线，
由直线与平面垂直的定义可知， 直线a与这两条相交直线是垂直的， 又由b平行a，可证b与这两条相交 直线也垂直，从而可证直线与平 面垂直。
阅读P66页的证明过程.
巩固练习
1.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
D
C
O
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1
B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
例1 如图，已知OA、OB、OC两两垂直 A （1）求证：OA⊥平面OBC （2）求证：OA⊥BC
分析：（1）要证OA⊥平面OBC，
必须在平面OBC中找出两条
O
与OA垂直的相交直线。因
为OA、OB、OC两两垂直 B
C
OA⊥OB、OA⊥OC.
奎屯
平面α的垂线
l
图形表示：
直线l的垂面
P
α
垂足
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
内所有的直线都垂直.
（）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直.
（)
b
a
α
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理
提出问题：除定义外，有没有比较方便可行的方法来 判断一条直线与一个平面垂直呢？
b n

m
证明: 在平面内作两条相交直线m,n.
因为直线a ,根据直线与平面垂直的定义知
a m, a n（. 线面垂直 又因为 b//a
线线垂直）
所以
b m,b n.
又因为m ,n , m, n是两条相交直线,
所以
b （线线垂直 线面垂直）
练习：
V
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,
K
E
C F
B
知识小结
1. 2. 3
作业
书本P67练习1， 书本P74 B组 第2题.
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、教学目的
通过联系生活，使学生理解直线与平面垂直的定义， 通过折纸试验，使学生归纳和确认直线与平面垂直 的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；
2、教学重点、难点
探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，
体会定义和定理中所包含的转化思想．
线面垂直的定义
线线垂直
线面垂直
线面垂直的判定定理
关键：线不在多 相交则行
α内过点B的直线⊥ AB所在直线 α内不过点B的直线⊥AB所在直线
α内任意一条直线⊥ AB所在直线
A
α B1
B C
C1
观察实例,发现新知
旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1
影,就可以求出A1B和平面
BCC1B1和平面A1B1CD所成的
角。
D
C1 B1
O
C
阅读教科书P67上的解答过程A
B
巩固练习 1.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影
一定是平行直线
（）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
一定是相交直线
（）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影
要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P



l


l

m

α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
例题示范,巩固新知 例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的 绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的 两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两 点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为什 么？ 解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝ PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不 共线 因此A，O，B三点确定平面α， 因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2， 所以 PO⊥OA，PO⊥OB 又OA∩OB＝O 所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
A
C
B
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。

斜线 P A 斜足
斜线
求证:BQ⊥l .
P
提示：
A

欲证BQ⊥l ⇔l⊥平面BPQ
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
lQ
B

练习：
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,
AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB．
A
变式：
V
K
C B V
在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点，试判断EF与平面
A
VKB的位置关系．

举例说说
生活中直线与平面垂直的现象
大漠孤烟直
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
A
B
B1
C1
C
直线与平面垂直的定义：
文字表示：
如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，
则称这条直线与这个平面垂直.记作
l
新疆
王新敞
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 l
画直线与平面平行时，通 常把直线画成与表示平面
α
P
的平行四边形的一边垂直。
三点说明:
①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.