误差分析和数据处理

误差和分析数据处理

1 数据的准确度和精度

在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测

定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此

我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误

差减到最小，以提高分析结果的准确度。

1.1 真实值、平均值与中位数

（一）真实值

真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程

序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是

一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察

的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机

率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情

况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中

是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献

手册中所谓的“公认值”）。

（二）平均值

然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称

为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均

值有下列几种：

（1）算术平均值

这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布

时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，

算术平均值为最佳值或最可信赖值。

n x n x x x x n

i i

n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。

（2）均方根平均值

n x n x x x x n i i

n

∑=++==1222221 均

（3）加权平均值

设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量

由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予

以加重平均，称为加权平均。

∑∑=++++++===n i i n i i

i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211

式中；n x x x 21、——各次观测值；

n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的

权数一般凭经验确定。

（4）几何平均值

（5）对数平均值

21

21212

1ln ln ln x x x x x x x x x n -=--=

以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找

出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观

测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多

属于正态分布，故通常采用算术平均值。

（三）中位数（xM ）

一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中

位数。当测定次数为偶数时，中位数为中间相邻的两个数

据的平均值。它的优点是能简便地说明一组测量数据的结

果，不受两端具有过大误差的数据的影响。缺点是不能充

分利用数据。

1.2 准确度与误差

准确度与误差是指测定值与真实值之间相符合程度。

准确度的高低常以误差的大小来衡量。即：误差越小，准

确度越高；误差越大，准确度越低。误差有两种表示方法：

绝对误差和相对误差。

1、绝对误差（E ）

某物理量在一系列测量中，某测量值与其真值之差称

绝对误差。实际工作中常以最佳值代替真值，测量值与最

佳值之差称残余误差，习惯上也称为绝对误差。

绝对误差（E）＝测定值（x）-真实值（T）

2、相对误差（RE）

为了比较不同测量值的精确度，以绝对误差与真值（或近似地与平均值）之比作为相对误差。

由于测定值可能大于真实值，也可能小于真实值，所以绝对误差和相对误差都有正、负之分。

绝对误差相同，相对误差可能相差很大。相对误差是指误差在真实值中所占的百分比率。相对误差不同说明它们的误差在真实值众所站的百分比率，用相对误差来衡量测定的准确度更具有实际意义。

但应注意有时为了说明一些仪器测量的准确度，用绝对误差更清楚。例如分析天平的称量误差是±0.0002g，常量滴定的读书误差是±0.01mL等。这些都是用绝对误差来说明的。

1.3 精密度与偏差

精密度是指在相同条件下n次重复测定结果彼此相符合的程度。精密度的大小用偏差表示，偏差愈小说明精密度愈高。

（一）偏差

偏差有绝对偏差和相对偏差。

绝对偏差（d ）=x x -

相对偏差是指单次测定值与平均值的偏差。

相对偏差=%100⨯-x x x

相对偏差是指绝对偏差在平均值中所占的百分率。

绝对偏差和相对偏差都有正负之分，单次测定的偏差

之和等于零。

对多次测定数据的精密度常用算术平均偏差表示。

（二）算术平均偏差

算术平均偏差是指单次测定值与平均值的偏差（取绝

对值）之和，除以测定次数。即 算数平均偏差n x

x d i -∑=)( （n i ,2,1=）

算术平均偏差和相对平均偏差不计正负。

例 计算下面这一组测量值的平均值，算术平均偏差和相

对平均偏差。

解： 55.51， 55.50， 55.46， 55.49， 55.51

平均值=n x i ∑=49.55551.5549.5546.5550.5551.55=++++

算

数平均偏差=n x

x d i -∑=)(=016.0502.000.003.001.002.0=++++

相对平均偏差=%028.0%10049.55016.0%100=⨯=⨯x d