离散型随机变量及其分布列PPT课件

X
0 1
1
1
pk
2
2
1、两点分布（也称（0-1）分布） 定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X = xk 1 0
Pk p 1 - p 则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.
0<p<1 记为 X～B(1, P)。
应用 场合
凡试验只有两个结果, 常用0 – 1分布描述, 如产 品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、 电力消耗是否超标等等.
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
分布列的性质
任一离散型随机变量的分布列
都具有下述 p两k 个性质：
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性
规范性
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
PX k a ,k 1,2, , N,
N
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
引例：从盒中任取3 球， 记 X 为取 到白球数。则 X 是一随机变量。
X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为
P( X
0)
C33 C53
C32 C21 C53
6, 10
P ( X 2)
2
C31 C22 C53
3, 10
且 P( X k) 1。
k 0
求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率．
解：事件“编号大于 1”可用随机变量 X 表示为{X 1}，有
P{X 2} 1 2
P{X 3} 1 6
P{X 1} P{X 2} P{X 3}
112 26 3
56页2题
一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4， 5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球 中最大的号码，求X的分布列．
则 X ~ B(1例0,05.25某)，服所装以商有店3 个经及理3根个据以上以顾往客经购验买估服计装的每概名率顾为 客购买服装的概2 率是0.25，在10个顾客中有3
二项分布定义： 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次
的概率为：PX k Cnk pk (1 p)nk
X记~ 为B(n, p). k 0,1, 2, 3, n
例3：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进 行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且 P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01， P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,
X 的概率分布 P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .
X
0
1
2
P
0.01 0.18 0.81
练习 设袋中装有6个球，编号为{1,1,2,2,2,3}，从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X，
这个就是随机变量X 的概率分布。
一、离散型随机变量的分布列
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk (k 1, 2, ), 若X 取各个可能值的概率为 P{X xk} pk , k 1, 2, . 则称上式为离散型随机变量 X 的分布列 (或概率分布、分布律).
离散型随机变量的分布列也可表示为
练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X 的分布列为:
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 -1)分布.
2. 二项分布
产生背景：n 重伯努利试验 设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1 p.
P{X 3} 1 1 C53 10
P{X
5}
1 C42 C53
6 10
P{X 4} 1 C32 3 C53 10
二、几个重要的离散型随机变量及其分布列
1、两点分布（也称（0-1）分布）
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况.
1, 反面, X () 0, 正面.
其分布律为
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则 X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k , k 0,1, 2, 3, 4 .
例4 某特效药的临床有效率为75%，今有10 人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？
解 设 X 为10人中被治愈的人数，根据题意知 X ~ B(10,0.75)，则所求
的概率为 P{X 8} P{X 8} P{X 9} P{X 10}
C180
(0.75)8
(0.25)2
C190
(0.75)9
(0.25)1
C10 10
(0.75)10
0.2816 0.1877 0.0563 0.5256
X ~ B(10, 0.75)
X ~ B(6, 0.5)
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率．
解 （1）因为 X 可取的值为 1，2，3，而且
P{X 1} 1 3
P{X 2} 1 2
P{X 3} 1 6
X 的分布列为:
X P
1
2
3
1/3 1/2 1/6
练习 设袋中装有6个球，编号为{1,1,2,2,2,3}，从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X，
总结： 随机变量的分类 随机变量
随机变量所取的可能值是或无限可列个, 叫 做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
第二节 离散型随机变量 及其分布列
一、离散型随机变量的分布列 二、常见离散型随机变量的分布列 三、小结
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
N
例题P1{：X
设k随}机变N量Xa的分N布 a列为 1
k 1
k 1 N
N
试确定常数aa. 1
56页1题
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
（1） pi
i ,i 15
0,1,2,3,4,5
；（2）
pi
5 i2 6
,i 0,1,2,3 ；
例2：某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其两次独 立投篮后，投中次数 X 的概率分布。