核辐射测量chapter3

{ } P
ξ=n
=
Cn N0
pnqN0 -n
=
N0 !
pnq N0 −n
n!( N0 − n)!
可见，二项式分布的概率函数是由双参数 N0 和 p 决定的。
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二Fra Baidu bibliotek式分布随机变量的数学期望和方差:
N0
数学期望 m = E (ξ ) = ∑ n ⋅ PN0 ( n) = N0 p n=0
N0
2
方差 σ2 = D (ξ ) = ∑ ⎡⎣n - E (ξ )⎤⎦ ⋅ PN0 (n)
(机B)变再量按ξ2的条ξ件1i个组可B作取ξ值1i次ξ试21,验ξ22，, "实ξ2现ξ1i；了随
(C) 将这些可取值加起来得到一个值ξi， 并将此值定义为一个新的随机变量ξ的一个
可取值； ∑ξ 1 i
ξi
=
ξ 21
+ ξ 22
+
...
ξ +
2ξ1i
=
ξ2j
j=1
这里，随机变量ξ为随机变量ξ1与ξ2的“串 级”随机变量。而且按顺序分别称ξ1和ξ2为此
N
E(ξ1 )⋅
E(ξ2 )⋅ ⋅E(ξ N −1 )
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(D) 由两个伯努利型随机变量ξ1和ξ2串级而成的 随机变量 ξ 仍是伯努利型随机变量。即 ξ 仍是
只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。
若伯努利型随机变量 ξ1 的正结果发生概率 为 p1, ξ2 的正结果发生概率为 p2，则ξ 正结果
发生概率为：
p = p1 ⋅ p2
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(E) 由遵守泊松分布的随机变量ξ1与伯努利型 随机变量ξ2串级而成的随机变量ξ 仍遵守泊松
分布。
设ξ1的平均值为m1,而ξ2的正结果发生概率 为p2，则ξ 的平均值为：
m = m1 ⋅ p2
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3.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布
3.2.1核衰变数的涨落
例如：
当Z＝1时，置信区间为 σ
该置信区间的置信度为 2Φ(1) = 68.3%
当Z＝2时，置信区间为 2σ
该置信区间的置信度为 2Φ(2) = 95.5%
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3.1.2 随机变量的运算和组合 复杂随机变量往往可以分解为由若
干简单的随机变量运算、组合而成。
这样就可以由已知的简单随机变 量的分布函数与数字表征来求复杂随 机变量的分布函数和数字表征。
e dx m+ Zσ
−
(
x−m
2σ 2
)2
2π σ m−Zσ
令：
z=
x−m
σ
dz = 1 dx
σ
∫ ∫ { } P m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ = 1
+Z −z2
e 2 dz = 2
1
Z − z2
e 2 dz
2π −Z
2π 0
Φ(Z ) 可由高斯函数数值积分表查得。15
[m − Zσ , m + Zσ ] 表示置信区间为 Zσ 该置信区间的置信度为：2Φ(Z )
设一随机试验条件组为：作 N 0次独立试验，每
次试验中要么发生 A事件，要么不发生，且 A
事件发生的概率为 p，不发生的概率为 1 − p。
定义随机变量 ξ 为按上述条件组试验后，A事件
总共发生的次数。 ξ 可取值为0，1，2，...N0，
ξ 是离散型随机变量。 4
二项式分布的概率函数：
在一组N0个独立试验中，事件A成功n次的 概率为：
N0
每一个放射性核在t 时间内发生衰变是什么事件？
是伯努利事件 随机变量取1的正事件发生的概率 p = 1 − e−λt
取0的概率为 q = 1 − p = e −λt 26
则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0 次，发生正结果的事件之和。
对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t 时 间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布 的随机变量。
级随机变量的相对方差的贡献。
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对N个相互独立的随机变量 ξ1,ξ2 ,"ξN 串
级而成的N级串级随机变量ξ，有：
E(ξ ) = E(ξ1 )⋅ E(ξ 2 )⋅ ⋅ ⋅ E(ξ N )
( ) ( ) ( ) ν
2
ξ
=
ν
2
ξ ,1
+
ν
2
ξ ,2
E
ξ1
+
ν
2
ξ,
3
E
ξ1
⋅ E ξ2
+⋅⋅⋅
+
ν
2
ξ,
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(1). 随机变量的函数
(A) E(CX ) = CE(X ) D(CX ) = C 2D(X )
(B) 相互独立的随机变量的“和”、“差”与“积”的 数学期望，是各随机变量数学期望的“和”、“差” 与“积”，即：
E(X1 ± X2)= E(X1)± E(X2) E ( X1 ⋅ X2) = E ( X1)⋅ E ( X2 )
在核衰变过程中核衰变数的方差与其平均
值相等。
σ2 =m
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3.2.2、探测器计数的涨落分布
由于放射性核衰变具有统计分布，测量 过程中射线与物质相互作用过程也具有随 机性，因此在某个测量时间内对样品进行 测量得到的计数值同样是一个随机变量。
(1). 探测器输出计数的统计分布
脉冲探测器的特点：它的输出脉冲数
N0 ! (N0 − n)!
=
N0(N0
−
1)( N0
−
2)"( N0
−
n
+
1)
≈
N
n 0
q N0 −n = (1 − p)N0 −n ≈ (e− p )N0 −n ≈ e− pN0
{ } P
n
=
N
n 0
pne -N0 p
=
mn
e -m
n!
n!
10
此时，随机变量ξ可取全部正整数，为离散型随机
变量，其概率函数为：
概率函数
( ) ( ) { } ( ) ( ) P ξ = N
= PN0 N
=
N0!
1 − e −λt N e −λt N0 −N
N! N0 − N !
( ) 数学期望值 m = E(N ) = N0 p = N0 1 − e−λt
方差
( ) ( ) σ2 = D N = mq = N0 1 − e −λt e −λt
+∞
数学期望 E(x) = ∫ x ⋅ f (x)dx = m
方差
+−∞∞
D(x) = ∫ [x − E(x)]2 f (x)dx = σ 2 14
−∞
高斯分布连续对称，可以方便的计算测
量值出现在 m ± Zσ 区间内的概率，即：
P{m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ }
{ } ∫ P m − Zσ ≤ X ≤ m + Zσ = 1
串级随机变量的第一级和第二级。 21
串级随机变量的主要特点：
(A) 期望值：E(ξ ) = E(ξ1 )⋅ E(ξ 2 )
(B) 方差：D(ξ ) = [E(ξ2 )]2 D(ξ1 ) + E(ξ1 )D(ξ2 )
(C)
相对方差：νξ2
=
D(ξ)
[E(ξ)]2
=ν
2
ξ1
+
1
E(ξ1
)ν
2
ξ2
假如第一级随机变量的数学期望很大，那 么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串
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也就是说原子核在t时间内发生衰变的概率为： 不发生衰变的概率为：
p = ΔN (t) = 1 − e−λt q = 1 − p = e−λt
N0
所以对于原子核衰变，其数学期望为：
E = N0 p = N0 (1 - e-λt )
方差：D = N0 pq = N0 (1 - e-λt )e-λt
8
30
②、n2为进入探测器表面，即进入立体角Ω的粒 子数。 n2仍为遵守泊松分布的随机变量：
n2
=
n1
⋅
p
=
Ω 4π
N0λt
③、n3为探测器输出脉冲数。遵守泊松分布。
平均值
n3
=
n2
⋅
ε
=
Ω 4π
⋅
ε⋅
N0λt
方差
σ2 n3
=
n3
=
Ω 4π
⋅
ε
⋅
N
0λt
n3实际上是一个三级的串级型随机变量。
31
放射源在t 时间内发射的粒子数n1 遵 守泊松分布，探测器相应的输出脉冲数n3 也遵守泊松分布，探测器输出脉冲数的平
(2) 泊松分布
泊松分布是在N0很大、概率p很小的条件下， 二项式分布在数学上的直接简化，是二项式分布 的一种极限情况。
对二项式分布，当 N0 很大，但 p<<1，即 m ＝N0p 为不大的常数时，服从二项式分布的随 机变量就可服从泊松分布。
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P(n) =
N0 !
pnq N0 −n
n!( N0 − n)!
P{ξ = n}= m n e −m
n!
泊松分布随机变量的数学期望和方差
数学期望 方差
∞
E(ξ ) = ∑ n ⋅ P(n) = m
D(ξ
)
=
0 ∞
∑
[n
−
E
(ξ
2
)]
⋅
P
(n)
=
m
0
11
泊松分布随机变量的特点
(A)ξ的取值为全部正整数。
(B) E(ξ) = D(ξ) = m
(C)当m较小时其概率函数非对称，当m 较大时其概率函数趋于对称。 (D)相互独立的服从泊松分布的随机变量 之和，仍遵守泊松分布。
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例子：
如果放射性原子核的个数N0非常大，
同时测量时间t比半衰期小的多，即在t内
可不考虑放射原子核总数 N0 的改变，则在
t内放射源衰变数就可用泊松分布作为其概
率函数。
所以对于原子核衰变，其数学期望为：
m = E = N0 (1 - e-λt ) = N0 λt
方差： σ 2 = D = N0 (1 - e-λt )e-λt = N0 λt
2
计数统计学的意义可归结为两个方面： 1、可用于检验一台核计数装置的功能和
状态是否正常； 2、在处理只有一次或极为有限的测量
中，可用计数统计学来预测其固有的统计不 确定性，从而估计该单次测量应有的精密度。
3
3.1 概率论基础知识 3.1.1 几种常用的统计模型
(1) 二项式分布
二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率 分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。
就反映了t时间内射入探测器的粒子数，
也就代表了放射源在t时间内发射出的总
粒子数。
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脉冲计数器的测量过程可以概括为三个基本 过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。
源发射粒子数n1
射入探测器 粒子数n2
探测器输 出脉冲数n3
Ω
①、n1为t 时间内放射源发出的粒子数，服从
泊松分布
n1 = N 0λt
辐射测量中经常会遇到级联、倍增过 程的涨落问题，这些问题可以用串级型随 机变量的概念及运算规则来处理。
设对应于试验条件组A定义一个随机变
量ξ1，对应于另一试验条件组B定义另一 随机变量ξ2，且二者相互独立。按以下规 则定义一个新的随机变量ξ：
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(A) 先按条件组A作一次试验，实现了随
机变量ξ1的一个可取值ξ1i；
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(C) 相互独立的随机变量的“和”与“差 ”的方 差，是各随机变量方差的“和” ，即：
D(X1 ± X2 ) = D(X1)+ D(X2 )
(D) 相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和” 仍服从泊松分布。
要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机 变量之“差”，不服从泊松分布。
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(2). 串级随机变量
n=0
= N0 pq = E(ξ )⋅ (1 − p)
6
例子：具有N0个放射性原子核的放射源在t时
间内的衰变总数，服从二项式分布。
原子核衰变服从指数规律，即
N (t) = N0e−λt
那么在（0~t）时间内，发生衰变的 原子核数为：
ΔN (t ) = N 0 − N (t ) = N 0 (1 − e−λt )
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(3) 高斯分布
高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的 m>>1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分 布。对高斯分布，随机变量X取值范围为(－ ∞～＋∞)，为连续型随机变量。其概率密度函
数为：
f (x)=
1
2π σ
⎡ exp⎢−
⎣
(x − m)2
2σ 2
⎤ ⎥ ⎦
高斯分布随机变量的数学期望和方差
均值为源发射的平均粒子数与几何因子及
探测器效率之积。
如果放射源发射粒子不是各向均匀的，上 述结论是否成立？
仍然成立，只要粒子落在Ω内的概率是不变
的——某一常数 fΩ
几何因子不再是
Ω
4π
，而是
fΩ
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(2). 探测计数的统计误差
粒子计数——探测器输出脉冲数服从统计分布 规律，当计数的数学期望值
m较小时，服从泊松分布。 m较大时，服从高斯分布。
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长寿命核素，其衰变概率 p = 1 − e −λt 很小
( ) N 0 1 − e −λt = N0λt 为有限量
在t 时间内总衰变数N遵守泊松分布
P{N }= m N e −m
N!
( ) 期望值 m = N0 1 − e −λt = N0λt
( ) 方差 σ2 = N0 1 − e −λt e −λt = N0λt
放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规
律为:
N (t ) = N 0e −λt
在0~t 时间内，原来N0个放射性核中，发生
了衰变的核的平均数为 n = ΔN = N0 − N (t) = (N0 1 − e−λt )
当N0很大时，对一个核而言，一个核在0~t 时间内 发生衰变的概率为： p = ΔN = 1 − e −λt
第三章 放射性测量中的统计学
1
统计性是微观世界的属性之一。放射 性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、 辐射探测器接收入射粒子并产生输出信号 等都是一个随机过程。
这些粒子数、输出信号的电荷量、信 号出现的时刻等是一个涨落的随机变量， 这样辐射测量所得到的数据也都是涨落 的，要从这些数据推导出结论，就必须用 概率论与数理统计的方法处理。