多元函数积分学

多元函数积分学总结

多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。

几何意义：曲顶柱体的体积

性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2

2

y x +） 常见计算类型：

① 选择积分顺序：能积分、少分块

② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分

③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内

⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ⎰)cos(2、dx e

x ⎰

-2

、dx x ⎰

ln 1、dx x

x

⎰sin 概率积分例题展示

证明

2

2

π

=

⎰

∞

+-dx e

x

证：令=)(x f 2

x e

-

① 易证)()(x f x f -=⇒)(x f 为偶函数⇒

2

12

=

⎰

+∞

-dx e

x

dx e

x

2

⎰

+∞

∞

--

（奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ⎰

-2

为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e

x

2

⎰+∞

∞

--的形式

令=

w dx e

x

2

⎰

+∞

-

4

1

2

=w •

dx e x 2

⎰

+∞

∞

--

4

1=

dxdx e x x

⎰

⎰+∞

∞

-+-+∞

∞

-)

(22

（了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）

③ 令其中一个x 变成y ，构造2

2

y x + 2

w 4

1

=

dxdy e

y x ⎰

⎰+∞

∞

-+-+∞∞

-)

(22

④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2

w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2

w =θdrd e r r ⎰

⎰-+∞

•π

20

2

41

=

⎰⎰

+∞

-•π20

2

θd dr e r r

20

2

12

1

2dr e r •=⎰

+∞

-π

2021212

lim dr e b

r b •=⎰-+∞

→π

)1(2121

2lim --=-+∞

→b b e π

π4

1==⇒w 2π 即220π=⎰∞+-dx e x

成立

（极坐标系⇔直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分⇔二次积分，了解广义定积分）

（此类积分为概率积分 b

dt e b

dx e

t bx

π

2110

2

2

⎰

⎰

∞

+-∞

+-=

=

）