中考专题(探索性问题专题)

(探索性问题专题)

例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．

（1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么

位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝8

5

，求这时点P 坐标．

[解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE

⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形

CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE

∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD

＝

，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD

＋DE ＝5又∵BE ＝CD

＝∴B （5

，

）

（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD

∴

OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52

∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴

276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标

为（1，0）或（6，0）

例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在

BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰

三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．

（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．

解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分

别是：

①E 是BA 的中点，F 与A 重

合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中

点．

图1 C

图2

B

（2）在OEB △和FOC △中，

135EOB FOC ∠+∠=°135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，

OEB FOC ∴△∽△．

BE BO CO CF =∴． BE x

=∵，CF y =

，OB OC ===， 2(12)y x x

=∴≤≤． （3）EF 与O 相切． OEB FOC

∵△∽△， BE OE CO OF =∴． BE OE BO OF =∴．即BE BO OE OF

=． 又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴． ∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，

∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．

EF ∴与O 相切．

（三）、存在探索型

例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．

⑴求此二次函数的解析式；

⑵是否存在过点D (0，-2

5)的直线与抛物线交于点M 、N ，

与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．

分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10， ∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，

∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，

又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3．

∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3．

⑵假设存在过点D (0，-2

5)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．

∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -2

5． 由⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．

∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．

当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋2

11＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，

∴直线MN 的解析式为y ＝x -25

．

∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，

与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．

例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，

10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．

（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；

（2）是否存在这样的点P ，使D P C △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由． 解（1）在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD =∠

得44tan tan 30

CD PD CPD ===∠ 10AP AD PD ∴=-=-

由AEP DPC △∽△知

AE AP PD CD =，12AP PD AE CD

∴==-． （2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =-

由AEP DPC △∽△知2CD

AP =，

4210x

∴=-，解得8x =， 图（13）