勾股定理单元复习课件
合集下载
勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
《勾股定理》复习课件ppt
答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。 所以 BD = √20 = 2√5。
THANKS
感谢您的观看
勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系， 通过一系列的逻辑推理证明勾股定理 。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系 ，通过构造两个正方形证明勾股定理 。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中 的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几 何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具 ，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析
勾股定理单元复习课件
综合练习题
01
题目5： 在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边长为10，求直角三 角形的面积。
02
答案5： 30
03
题目6： 若三角形三边长分别为a、b、c，满足a^2+b^2=c^2，且 a+b=10，求三角形的面积。
04
答案6： 25/2
05
总结与展望
勾股定理的重要性和意义
勾股定理是几何学中的基础定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系， 对于解决几何问题具有重要意义。
一。
应用价值
勾股定理在几何学、三角学、物 理学等领域都有广泛的应用，是 解决实际问题的重要工具之一。
03
勾股定理的实际应用
勾股定理在建筑学中的应用
建筑设计
结构工程
勾股定理在建筑设计中被广泛应用， 如确定建筑物的垂直角度、计算建筑 物的斜率等。
勾股定理在结构工程中用于计算结构 的稳定性、强度和刚度等。
勾股定理单元复习课件
目录
• 勾股定理的回顾 • 勾股定理的变种和推广 • 勾股定理的实际应用 • 勾股定理的练习题和答案 • 总结与展望
01
勾股定理的回顾
勾股定理的定义
勾股定理定义
勾股定理是平面几何中一个基本 的定理，它指出直角三角形中， 直角边的平方和等于斜边的平方 。
勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两个直角边，c是斜边。
答案1： AC=5
题目2： 若直角三角形两条直 角边的比为3:4，斜边长为10，
求两直角边的长度。
04
答案2： 6和8
进阶练习题
题目3： 在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角 形ABC的面积。
第17章_勾股定理复习课优质课件
一、重、难点 重点：勾股定理及其逆定理的应用。 难点：勾股定理及其逆定理的应用。
• 知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角 形三边之间的关系，是直角三角形的重要 性质之一，其主要应用：（1）已知直角三 角形的两边求第三边（2）已知直角三角形 的一边与另两边的关系，求直角三角形的 另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平 方关系的问题
•
第四部分 中考题萃
一、填空题 1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的 一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的 高为____________． 3.（永州）一棵树因雪灾于A处折 断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离 为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地 面，那么此树在未折断之前的高度约为 ____________米（答案可保留根号）．
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。
• 勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知 a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15， 求a. • 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
• 16．某校把一块形状为直角三角形的废地 开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°， AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小 渠，且D点在边AB上，• 已知水渠的造价为 10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的 造价最低？最低造价是多少？
• 三、解答题 一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙 上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的 顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向 沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识， 论证你的结论．
• 知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角 形三边之间的关系，是直角三角形的重要 性质之一，其主要应用：（1）已知直角三 角形的两边求第三边（2）已知直角三角形 的一边与另两边的关系，求直角三角形的 另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平 方关系的问题
•
第四部分 中考题萃
一、填空题 1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的 一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的 高为____________． 3.（永州）一棵树因雪灾于A处折 断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离 为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地 面，那么此树在未折断之前的高度约为 ____________米（答案可保留根号）．
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。
• 勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知 a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15， 求a. • 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
• 16．某校把一块形状为直角三角形的废地 开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°， AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小 渠，且D点在边AB上，• 已知水渠的造价为 10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的 造价最低？最低造价是多少？
• 三、解答题 一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙 上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的 顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向 沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识， 论证你的结论．
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
勾股定理单元复习完整ppt课件
.
7
基础知识
逆命题与逆定理
所有命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理 逆定理一定是逆命题，但是逆命题不一定是逆定理
.
8
基础知识
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正 整数 ，称为勾股数
常见的勾股数有
3、4、5 5、12、13 6、8、10
7、24、25
8、15、17
3n、4n、5n …… ……
3.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则AC边
上的高长为
;
分类
思想
4.已知一个直角三角形的三边长分别为 6cm , 8 cm, X cm ,则 这个三角形的最大边长是
cm;
.
16
5.在三角形ABC中， ∠A ∠B ∠C 的对边分别 是a、b、c，下列说法错误的是（ B ）
A、如果 ∠C -- ∠B = ∠A，那么△ABC是直角三角形
D
转化 思想
13
A
12 3┐
B4 C
.
20
必会题型
如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示， 试求它的面积。
A
转化 思想
4
13
5
B
3
∟
C
12
D
.
21
必会题型
如图，四边形ABCD中，AB = BC, ∠ABC = ∠CDA = 90°，BE ⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积是25， 求 BE的长
转化 思想
__________
勾股定理单元复习
.
1
知识框架
勾股定理
勾股定理逆定理
如果△是直角三角形
那么a2 + b2 = c2
勾股定理全章复习课ppt课件
BD的长.
D B
C
A
2.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明 以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时
30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小
方在B处,请求出AB的距离.
B C
A
D D
10-x
x
E
6
C
A
10
E
C
A
10-x
10
探究3: 应用拓展二
2.长方形ABCD如图折叠，使点D落 在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长.
A 8 10 D E 8 A 8 10 10
?
x 10
D x E 8 8-x 4
B
10
F
C
B
6
F
C
应用拓展三 3.折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD， 在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕 DG，若AB=4，BC=3，求AG的长.
勾股定理应用一 1.已知直角三角形ABC中,
A
C
(1)若AC=8,AB=10,则 周长 = ____.
B
S ABC =______ (2)同上题，
2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边 的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_____ 3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它 的周长为________
10 . 如图：在 Rt ABC 中， AD 是斜边的高 AB 24 ， AC 7 ，求 AD 的长。 .
B
D A C
勾股定理在特殊三角形中的应用 11.如图:一工厂的房顶为等 ABC, AB=AC, AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
勾股定理复习课件整理ppt
• 知识点1：（已知两边求第三边) 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，
2cm ，则斜边长为___．斜边上的高为_____.
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是 ________________．
3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长？
变式练习： 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得 BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度． 请你求出这块草地的面积．
F
知识点4：利用方程思想解决有关问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
知识点5：勾股定理在立体图形中的应用(二)
（几何体内部最长线段问题）
如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是 _____________.
寻找规律性问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
满足 a2b2c2
称为勾股数。
的三个正整数
，
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
6，8，10； 7，24，25；
8，15，17 ；9，40，41
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
2cm ，则斜边长为___．斜边上的高为_____.
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是 ________________．
3、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC的长？
变式练习： 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得 BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度． 请你求出这块草地的面积．
F
知识点4：利用方程思想解决有关问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
知识点5：勾股定理在立体图形中的应用(二)
（几何体内部最长线段问题）
如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是 _____________.
寻找规律性问题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
满足 a2b2c2
称为勾股数。
的三个正整数
，
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
6，8，10； 7，24，25；
8，15，17 ；9，40，41
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第1章 勾股定理(单元复习课件)-2024-2025学年八年级数学上册(北师大版)
cm，ED＝32 cm，又∵∠A＝∠D＝90°，由勾股定理，得BE＝ AB2＋AE2 ＝30(cm)，EC＝ ED2＋DC2 ＝40(cm)，又∵BE2＋EC2＝302＋402＝502＝ BC2.∴∠BEC为直角．
典例剖析
15．观察下面的表格所给出的三个数a、b、c，a＜b＜c.
3,4,5
32＋42＝52
解：过点C作一条虚线CA⊥AB(垂足为A)，∵BA⊥AC于点A，在Rt△ACB 中，BC2＝AC2＋AB2.∴BC2＝802＋602＝1002.BC＝100(米)．
典例剖析
11．已知，如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝AP2＋BC2.
证明：连接BM，∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2 ＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得，BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2 ＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2 ＋AP2＋PM2，∴BP2＝BC2＋AP2.
典例剖析
8．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面
积S1＝285π，S2＝2π，则S3＝
9 8π
.
9．如图，圆柱的底面周长为8 cm，点B距离底面3 cm，则在圆柱底面和B 正对的圆周上一点A与B的最近表面距离是 5 cm .
典例剖析
10．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米， 又向南走40米，再向东走70米．求小明到达的终止点B与原出发点C的距 离．
A．1103 C．6103
B．1153 D．7153
典例剖析
3．如图，正方体盒子的棱长为3，BM＝2，一只蚂蚁从M点沿正方体的表 面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是( A )
典例剖析
15．观察下面的表格所给出的三个数a、b、c，a＜b＜c.
3,4,5
32＋42＝52
解：过点C作一条虚线CA⊥AB(垂足为A)，∵BA⊥AC于点A，在Rt△ACB 中，BC2＝AC2＋AB2.∴BC2＝802＋602＝1002.BC＝100(米)．
典例剖析
11．已知，如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝AP2＋BC2.
证明：连接BM，∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2 ＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得，BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2 ＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2 ＋AP2＋PM2，∴BP2＝BC2＋AP2.
典例剖析
8．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面
积S1＝285π，S2＝2π，则S3＝
9 8π
.
9．如图，圆柱的底面周长为8 cm，点B距离底面3 cm，则在圆柱底面和B 正对的圆周上一点A与B的最近表面距离是 5 cm .
典例剖析
10．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米， 又向南走40米，再向东走70米．求小明到达的终止点B与原出发点C的距 离．
A．1103 C．6103
B．1153 D．7153
典例剖析
3．如图，正方体盒子的棱长为3，BM＝2，一只蚂蚁从M点沿正方体的表 面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是( A )
人教版勾股定理复习课件(2)
2.△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边 上的高是___2_._4__。 3.长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成（首 尾连接）直角三角形的个数为（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理(同步+复习)精品讲义课件
2.
① ②
变式：
a2=c2- b2 ； b2=c2-a2 a=√ c2- b2 b=√c2-a2 c= √a2+b2
3.
注：
① ② ③
定理用途：三边知二求一；搭建需要的方程。 a,b,c是相对的，运用公式时要特别认准斜边。 斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的长。
【例1】△ABC中，∠C=90°
① 若a=3 ,b=4，求c。 ② 若C=41，b=40，求a。 ③ 若一条直角边a=5,斜边比另外一条直角边大1， 求斜边的长。 ④ 折叠长方形ABCD, 使点D落在BC边上的点F 处，折痕为AE，AB=8，BC=10，求EC的长
A D E B F C
【练习1】
二．勾股定理的证明
1. 2. 拼正方形法： 拼梯形法：
【例题】
【习题1】
【习题2】
【习题3】
【习题4】
【习题5】
【习题6】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
看 一 看
探索-发现： 回答问题
（1）观察图2-1 正方形1中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
3 1 2
图2-1
3 1 2
图2-2
正方形2的面积是 9 个单位面积。 正方形3的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一．勾股定理
1. 定理：
① 文直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ② 符如果a,b是直角边，c是斜边，则：a2+b2=c2
4.
5.
【例1】
1. 给定三边直接判定是否直角三角形。 2. 试一试：
二．勾股数
1. 定义：满足a 2 +b2=c2 的三个正整数，叫做 勾股数。 本质：以这三个数的长度为边的三角形是直 角三角形；知道直角三角形的两边是勾股数 之二，直接写出第三边。 每组勾股数的倍数还是勾股数。 构造公式：a为大于1的奇数：a与其平方分 别加减1除以2所得的数为一组勾股数；a为 大于1的偶数， a 与其一半的平方分别加减1 所得的数为一组勾股数。 常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；8、 15、17；5、12、13；9、12、15。熟记。
勾股定理复习课件
h
1.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 ABD中，根据勾股定理 A’
BD AB AD 4 3 5
2 2 2 2 2 2
D’ B’
C’
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
BD'2 DD '2 BD 2 12 2 52 13 2 BD' 13(cm）。
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平 方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
选择: 直角三角形的两条直角边长为a,b, 斜边上的高为h,则下列各式中总能成立 的是 ( D )
A. ab=h
2
B. a +b =2h
2
2
2
1 1 1 C. + = a b h
1 1 1 D. 2 + 2 = 2 a b h
4.互逆命题与互逆定理的概念
无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13 , 17 , 5，20
4.勾股定理及其逆定理的应用
①勾股定理可以解决直角三角形当中一些
与边有关的问题（直角边、斜边、斜边上
的高、面积等）
②勾股定理的逆定理可以判断一个三角形
是否是直角三角形(此时先找到最长边,再
看看两较短边的平方和是否等于长边的平
本章知识框图:
实际问题
(直角三角形边长计算)
互逆 定理
由形到数
勾股定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理 的逆定理
题设
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2+b2=c2
勾股定理单元复习ppt课件
度;
2.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则
AC边上的高长为
;
.
3 ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c, 下列判断错误的是（ ） A.如果CB A,则ABC是直角三角形 B.如果c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=90 C.如果(c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形 D.如果A：B：C 5：2：3,则ABC是直角三角
.
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
.
练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底 面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里， 杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多 长？
.
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
.
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
.
教学重难点
重点：用勾股定理和勾股定 理的逆定理解决简单问题
难点：能理解运用勾股定理解 题的基本过程；掌握在复杂图 形中确定相应的直角三角形，
根据勾股定理建立方程。
.
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理复习课件
4
44
4
∴AC2+AD2=CD2, ∴∠CAD=90°．
12+（3）2=5. 44
∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AD·AC=12×1×34+12×3×54=94
第十七章 勾股定理
素养提升
专题一 方程思想——折叠问题
例 1 如图, 将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠, 点 B 落在 点 E 处, AE 交 DC 于点 F, 已知 AB=4 cm, BC=2 cm. 求折叠后重合 部分(△ACF)的面积.
如图, 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
由勾股定理, 得 AB= AC2+BC2= 92+122=15.
根据等积法 12AC·BC=
12AB·CD,
则 CD=
36. 5
第十七章 勾股定理
专题二： 勾股定理的实际应用
例 3 如图, 在公路 l 旁有一块山地正在开发, 发现需要在 C 处进 行爆破. 已知点 C 与公路上的停靠点 A 的距离为 300 m,与公路上 的另一停靠点 B 的距离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 400 m,且 AC⊥CB, 为了安全起见, 以爆 破点 C 为圆心, 250 m 为半径的圆内不得有人进入. 则在进行爆破 时, 公路 AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？
相关题 2 [广州中考]在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=9, BC=12, 则
点 C 到 AB 的距离是( A ).
A．356
B．1225
C．94
D．3 4 3
分析：
先根据题意画出图形, 再结合勾股定理求出直角三角形的斜边长, 最
《勾股定理复习课》课件
现代数学中使用线性代数 方法来证明勾股定理。
形似三角形及其应用
1
相似三角形的性质
2
相似三角形有相等的角度，但边长与面
积不一定相等。
3
形似三角形的概念
形似三角形是具有相似角的两个三角形。
利用相似三角形解决实际问题
相似三角形可以应用于测量、景观设计 等多个领域。
文化背景
勾股定理的历史
勾股定理是中国、印度、古希腊 等多个文化中独立发现的数学定 理。
《勾股定理复习课》
本PPT课件将复习勾股定理的基本概念、三种形式、直角三角形的判定、定理 的证明、形似三角形及其应用、文化背景，并为学生提供总结与回顾。让我 们理，用于计算直角三角形中的边长关系。它的几何意义是在直角三角形中，最长的 边的平方等于其他两边的平方和。
勾股学派的发展
勾股学派是中国古代数学学派之 一，对勾股定理的发展做出了重 要贡献。
勾股定理在文化交流中的 地位
勾股定理作为数学领域的重要成 果，通过文化交流传播到世界各 地。
总结与回顾
1 总结本次课程的内容
本次课程复习了勾股定理的基本定义、几何意义、三种形式、判定方法、证明方法、相 似三角形和文化背景。
2 回顾本次课程的难点与重点
重点在于理解勾股定理的三种形式和三角形的判定方法。
3 鼓励学生加强练习，提高技能水平
通过多次练习和实际应用，加深对勾股定理的理解和掌握。
1
直角三角形的定义
直角三角形是一个角为90度的三角形。
2
判断方法：勾股定理与勾股数
根据勾股定理可以通过计算三个边的关系来判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的证明
1 祖冲之证明
2 欧几里得证明
八年级数学上册 第一章 勾股定理单元复习课件
内容 总结 (nèiróng)
第一章 C．10或14
No 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)。C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2。A．100 D．100或28。A．锐角三角形 B．钝角三角形。C．直角三角形
B．28。 D．等腰三角形
Image
12/13/2021
第十九页，共十九页。
解：作AD⊥MN于点D，并作AB＝AC＝200 m交MN于点B，C.因为AD＝120 m，所以BD＝ 160(m)，BC＝160×2＝320(m)＝0.32(km)，t＝0.32÷72×3600＝16(s).答：A处受噪音影响 的时间是16 s
第十六页，共十九页。
16．如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上 找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个(yī ɡè)直角三角形，且 木棒所在边为直角边，这个点将绳子分成的两段各有多长？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
第二页，共十九页。
2．已知一个(yī ɡè)直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是( )
D
A．100
B．28
C．10或14 D．100或28
第三页，共十九页。
3．(郑州二中月考)如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现
7．下列说法中，错误的是( D ) A．在△ABC 中，若∠C＝∠A－∠B，则△ABC 为直角三角形 B．在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三 角形 C．在△ABC 中，若 a＝35 c，b＝45 c，则△ABC 为直角三角形 D．在△ABC 中，若 a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形
勾股定理全章复习课ppt课件
7.下列线段不能组成直角三角形的是( D )
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a:b:c=2:3:4
B
A．锐角三角形 C. 钝角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
9
9.如图，在东西方向的海岸线MN上有相距10海里的A、B两艘船，
均收到已触礁搁浅的船C的求救信号， 6分钟后同时到达C地．已
y
E
F
D
C
根据勾股定理列出方程即可解决此
类型问题.
A
x B
13
小结
1、你学到哪些数学知识？
理解原命题、逆命题与逆定理的概念及关系 掌握勾股定理及其逆定理并能运用其解决实际问题
2、你学到哪些数学思想方法？
在运用定理解决问题中，体会分类、方程与转化的思想方法
14
课堂检测
1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中，不能作为直角三角形边长的是( )
A
A
利用勾股定理解决 实际问题：先转化 成数学问题， 找到 直角三角形， 最后 利用勾股定理解决 问题。
7
6.如图，长方体的长为6，宽为4，高为8，点B离点C的距离为2，一只妈蚁 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
展开(分类)
∴最短路径为10 8
知识运用
四、 勾股定理逆定理及其实际应用
型
5
3.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长．
答案： 5 cm或 cm.
4.已知在△ABC中， AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求BC
第十七章勾股定理复习完整ppt课件
完整版PPT课件
7
想一想
（多选）下列哪个选项能判断△ABC为直角三角形（ ）
A、∠A+∠B=∠C
B、∠A=∠C-∠B
C、∠A：∠B：∠C=1：1：2
D、∠A：∠B：∠C=1：2：3 E、∠A= 12∠B= 13∠C F、∠A=2∠B=3∠C
G、a2+b2=c2
H、a2=c2-b2
I、a2：b2：c2 =1：2：3
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
完整版PPT课件
12
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的 高线AD=8,求BC
J、a2：b2：c2 =1：1：2
K、a：b：c =1：1：2
L、a：b：c=3：4：5 完整版PPT课件
8
勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
完整版PPT课件
9
例3．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、__1_7____； （2）10、26、__2_4__． （3） 7、 __2_4__ 、25
求线段CF 和线段EC的长.
A
10
D
8-X
8 10
E
X 8-X
B
6
F4 C
完整版PPT课件
19
专题四 截面中的勾股定理
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画 出几何体截面
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
完整版PPT课件
20
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必会题型
大家来写逆命题： 两点之间，线段最短 不平行的两条直线一定垂直 三角形的内角和为180度 等边三角形的三个角都相等 对角线互相垂直的平行四边形就是正方形 …… ……
逆命题：
基础知识
逆命题与逆定理
所有命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理 逆定理一定是逆命题，但是逆命题不一定是逆定理
基础知识
__________
勾股定理单元复习
知识框架
勾股定理
勾股定理逆定理
如果△是直角三角形
那么a2 + b2 = c2
______性__质__定理
如果a2 + b2 = c2
那么△是直角三角形
判定定理
基础知识
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么 a2 + b2 = c2
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
O
A
B E
必会题型 •
E
D
C
方程
F
思想
A
B
必会题型
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重 合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF 为边长的正方形面积
E
D
C
A
GF
B
必会题型
如图，折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上
的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,分别求CF和EC的
B A
必会题型
如图：B是台风中心，正以每小时60km的速度，往北 偏东30°的方向运动，已经距离台风中心方圆150km 内的地方都会受台风的影响，A城在B地正东方向 320km处，受台风影响吗？
B A
必会题型
如图：为了方便小区居民的交往，政府准备在AB两个 小区之间修一条笔直的小路。经测量，A北偏东60°、 B北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的圆形 公园，问计划的小路会不会穿过公园?
A、如果 ∠C -- ∠B = ∠A，那么△ABC是直角三角形
A CD
6 或 10
分类 思想
DC
B
A
B
7.在三角形ABC中,AB = 10 , AC = 17 , BC边上的 高线 AD = 8 ,求BC
分类 思想
A
17
8
10
B
C
必会题型
如图，四边形ABCD中，AB＝3 ，BC=4 , CD=12 , AD=13 , ∠B=90°，求四边形ABCD的面积
长.
A
10
D
8-X
方程 8
E
思想
10
8-X X
B
6
F4 C
必会题型
如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到 点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？
2 O 蛋糕 B
周长的一半
C６
B
8
A
８ A
必会题型
如图：正方体的棱长为５cm，一只蚂蚁欲从正方体底 面上的顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那 么它需要爬行的最短路程的长是多少？
基础知识
勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形
基础知识
原命题与逆命题
如果你喜欢数学，那么就要认真听讲！
题设
结论
逆命题 如果你（在数学课上）认真听讲，那么你就是喜欢数学
必会题型
大家一起来造句： 如果你喜欢我，那么…… 如果你喜欢我，那你就应该好好学习 如果你喜欢我，那我们就坐同桌吧 如果你喜欢我，那我也试着喜欢你好啦 如果你喜欢我，请不要告诉我 如果你喜欢我喜欢的人，那就是图谋不轨
C
A
D
E
必会题型
如图，正方形的网格当中，有一个三角形，每个小 正方形格子的边长都为1.
B
（1）求出三条边的长度 （2）试判断三角形的形状 A （3）求出三角形的面积
C
必会题型
如图，点O是矩形ABCD对角线的中点，将BC边沿
着CE翻折后，B点刚好落在O点上。如果BC长为3，
求折痕CE的长。
D
C
方程 思想
D
转化 思想
13
A
12 3┐
B4 C
必会题型
如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示， 试求它的面积。
A
转化 思想
4
13
5
B
3
∟
C
12
D
必会题型
如图，四边形ABCD中，AB = BC, ∠ABC = ∠CDA = 90°，BE ⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积是 25，求,则 这个三角形的最大边长是
cm;
3.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则AC边
上的高长为
;
分类
思想
4.已知一个直角三角形的三边长分别为 6cm , 8 cm, X cm ,则 这个三角形的最大边长是
cm;
5.在三角形ABC中， ∠A ∠B ∠C 的对边分别 是a、b、c，下列说法错误的是（ B ）
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正 整数 ，称为勾股数
常见的勾股数有
3、4、5 5、12、13 6、8、10
7、24、25
8、15、17
3n、4n、5n …… ……
基础知识
如何快速寻找勾股数
列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
13、b、c
勾股数
猜想 32 = 4 + 5 52 = 12 + 13 72 = 24 + 25
C
A
D
B
数学思想
1.利用已知几部分之间的关系，构造方程来解决。 例如：已知直角三角形两边之和和第三边的长，判断 三角形的形状。折叠问题使用较多
方程 思想
1.已知一个直角三角形的三边长分别为 3cm , 4 cm,
X cm ,则 X 是
cm;
分类
思想
2.已知一个直角三角形的三边长分别为 6cm , 8 cm,
…… 132 = b + c
数学思想
分类 思想
转化 思想
方程 思想
数学思想
分类 思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道 时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图， 避免遗漏另一种情况。
数学思想
转化 思想
1.当我们遇到的问题是不容易解决的，可以先将问题 转化为已经学过的知识，再想办法解决。 例如：不规则图形的面积，转化成几个直角三角形的 面积和；空间问题，通过展开转化成平面问题
D′
C′
A′
B′
D
A
C B
必会题型
如图：正方形ABCD的边长为6，点E为边BC的中点，
点P在对角线BD上运动，连接PE、PC，那么 PE+PC
的最小值是多少？
A
D
P
B
E
C
必会题型
如图：B是台风中心，正以每小时60km的速度，往北 偏东30°的方向运动，已经距离台风中心方圆150km 内的地方都会受台风的影响，A城在B地正东方向 320km处，受台风影响吗？