洛阳市2019-2020上学期期中考试高一数学试卷及答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}，则A∩B=()A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=()A. 6B. 8C. 9D. 114.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设PEED=m，则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C：x24−y22=1的离心率为()A. √22B. √62C. √24D. √646.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()A. 2cm 3B. √3cm 3C. 3√3cm 3D. 3cm 37. 已知sin (α+π3)+sinα=−4√35，则cos (α−π3)=( )A. −45B. −35C. 45D. 358. 设实数x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1则z =2x −3y 的最大值为( )A. −13B. −12C. 2D. 39. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=( )A. 3B. 2C. 23D. 3211. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，点F 1，F 2是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，▵AF 1F 2的内切圆的圆心为M ，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. √2−112. 已知函数，若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是( )A. [0,1]B. (0,1)C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 6+a 5=4，a 4+a 3−a 2−a 1=1，则a 1的值为______．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1的中点，Q是底面ABCD上一动点，则D1P+PQ的最小值为．16.若函数在在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1000项的和．18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2asin(C+π)=√3b．3(1)求角A的值．(2)若b=3,c=4，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．(1)若CEEP =32，求证：EF//平面PAB；(2)若FE⊥PC，求二面角E−DB−C的平面角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(−2,y0)是C上一点，且|MF|=2．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意x2>x1>0，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；)，求△MOP面积的最大值．(Ⅱ)设M(4,3π423.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|．(Ⅰ)当m=a=−1时，求不等式f(x)≥x的解集；(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}，求实数m 的集合．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：由题意可知：(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i，∵复数为纯虚数，∴2+a≠0，2a−1=0，∴a=12.故选D．3.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，求出圆心为(−1,1)，半径为2√2，利用圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22，即可求出结论．解：圆C:x2+y2+2x−2y−6=0，可化为(x+1)2+(y−1)2=8，圆心为(−1,1)，半径为2√2．由题意得，圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22．∵m>0，∴m=9．故选C．4.答案：B解析：本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解，过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=23EH即可求解．解析：解：过E作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥面ABCD∴V C−ABE=V E−ABC，所以三棱锥C−ABE的体积为23EH，若三棱锥C−ABE的体积不小于1，则EH≥32，又PA=3，∴PEED=m≤1．即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件．故选B．5.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．。

洛阳市2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷和答案

洛阳市２０１９ ——— ２０２０学年第一学期期中考试高二数学试卷本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第 Ⅰ 卷１至２页，第 Ⅱ 卷３至４页．共１５０分．考试时间１２０分钟．第 Ⅰ 卷（选择题，共６０分）注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．２．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．若犪＜犫＜０，那么下列不等式中不正确的是Ａ．犪犫＞犫２Ｂ．犪犫＜犪２Ｃ．１＜犪１犫犫Ｄ．犪＜犪犫２．在 △ 犃犅犆中，内角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，若犫犮＝ｃｏｓ犅ｃｏｓ犆，则 △ 犃犅犆一定是Ａ．等边三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．直角三角形Ｄ等腰直角三角形３．若数列｛犪狀｝的通项公式犪狀＝２狀狀＋１，则此数列是Ａ．递增数列Ｂ．递减数列Ｃ．摆动数列Ｄ．以上都不是４．下列函数中，狔的最小值为２的是Ａ．狔＝狓＋１狓Ｂ．狔＝狓２＋３槡狓２＋２Ｃ．狔＝犲狓＋犲－狓Ｄ．狔＝ｓｉｎ狓＋１ｓｉｎ狓（０＜狓＜ π ２）５．已知等比数列｛犪狀｝满足：犪１＋犪７＝９，犪２犪６＝８，且犪狀＜犪狀＋１，则犪１０等于Ａ．１６槡２Ｂ．１６Ｃ．８槡２Ｄ．８６．已知锐角三角形的三边分别为５，１２，狓，则狓的取值范围是高二数学第１页（共４页）（２０１９．１１）Ａ．（７，１７）Ｂ．（７，１３）Ｃ．（７，槡１１９）Ｄ．（槡１１９，１３）７．若ｌｇ（３犪）＋ｌｇ犫＝ｌｇ（犪＋犫＋１），则犪犫的最小值为Ａ．１Ｂ．槡２Ｃ．槡３Ｄ．２８．已知数列｛犪狀｝的前狀项积为犜狀，且满足犪狀＋１＝１＋犪狀１－犪狀（狀 ∈ 犖），若犪１＝１３，则犜２０１９为１３Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．２３Ｄ．９．如图，在 △ 犃犅犆中，犅＝４５° ，犃犆＝８，犇是犅犆边上一点，犇犆＝５，犇犃＝７，则犃犅的长为Ａ．４槡２Ｂ．４槡３Ｃ．８Ｄ．４槡６１０．实数狓，狔满足条件狓－狔－１ ≤ ０，烄烅当目标函数狕＝犪狓＋犫狔（犪，犫＞０）在该约束烆２狓－狔－３ ≥ ０．条件下取到最小值４时，１犪＋２犫的最小值为Ａ．６Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．２１１．设等差数列｛犪狀｝，｛犫狀｝的前狀项和分别为犛狀，犜狀，若犛狀犜狀＝３狀＋３３狀＋３，则使犪狀犫狀∈ 犣的狀的个数为Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６１２．在 △ 犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，已知犮＝２槡２，点犘是犃犅的中点，若犘犆＝犪－犫，则 △ 犃犅犆面积的最大值为Ａ．槡３Ｂ．３Ｃ．２槡３犇．１２高二数学第２页（共４页）（２０１９．１１）。

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)

洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i ，则z 等于（）A. 2i B. 2i C. 12i D. 12i【答案】 B【解析】【分析】在等式12iz i 两边同时除以i ，可求出复数z .【详解】12iz i Q ，212iz i i ，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合3log 22Ax x ，29B x x ，则A B （）A.,32,U B. 3,11C. 2, D. ,32,3【答案】A【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用并集的定义可得出集合A B . 【详解】3log 220292,11Ax x x x ，29,33,B x x ，因此，,32,A B U U .故选：A.【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知实数x 、y 满足1341yx xy y ，则3x y 的最大值为（）A. 7B. 4C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】设3z x y ，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y ，观察该直线在x 轴上取得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可. 【详解】设3z x y ，作出不等式组1341yx x yy所表示的可行域如下图所示：联立13y xx y ，解得12x y ，得点1,2A ，平移直线3z x y ，当直线3z x y 经过点1,2A 时，直线3zx y 在x 轴上的截距最大，此时3z x y 取得最大值，即max 1327z . 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。

河南省洛阳市2019-2020学年高二上期中考试数学试卷(含答案)

洛阳市2019—-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x|62--x x ＜0} ，B={x|822-+x x ＞0}，则A ∪B =A. {x |2＜x ＜3}B. {x |-2＜x ＜3}C. {x |x ＞-4或 x ＞2}D. {x |x ＜-4或 x ＞-2}2.在△ABC 中，Cc B b A a cos cos cos ==,则△ABC 一定是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3.若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 A. 2cb a -＞0 B. 2)(c b a -＞0 C. ac ＞bc D.a+c ≥b-c 4.在等比数列{a n }中，a n ＞0，已知a 1=6,a 2 +a 2+a 3=78,则 a 2 =A.12B. 18C. 24D. 365.设正实数a ，b 满足2a+3b=1,则ba 32+的最小值是 A.25 B.24 C.22 D.16 6.海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°,航行8 n mile 以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile. A.8 B.4 C. 34 D. 334 7.设等差数列{a n }的公差d≠0,且a 2 =-d ，若a 6= a k-6等比中项，则是A.5B.6C.9D.368.若函数12)(12-=++ax x x f 的定义域是R,则实数a 的取值范围是A. (-2，2)B.(一∞，一2) ∪(2，+∞)C.（一∞, -2]∪[2，+ ∞) a [-2，2]9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a= bcos C + csin B ，且△ABC 的面积为21+，则b 的最小值为A. 3B. 2C. 3D. 210.设等差数列{a n }的前n 项和为S,S 15＞0, a 8+ a 9＜0,则使nS n ＜0成立的最小z 自然数n 的值为A.15B.16C.17D.18 11.在平而直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤+≤+,,0,022222r y x y x y x y x 表示的平面区域面积为π,若y x ,满足上述约束条件，则31+++=x y x z 的最小值为 A. -1 B. 7125+- C. 57- D. 512- 12.已知数列{a n }中，21=a ，若21n n n a a a =-+，设1....112211++++++=m m m a a a a a a T ，若m T ＜2018,则正整数m 的最大值为A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（）.A. 12B. 12- C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】()1sin 510sin 360150sin150sin 302︒=︒+︒=︒=︒=. 故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题. 2.函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（）. A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】【分析】先化简函数得()cos f x x =，即得函数的最小正周期. 【详解】由题得()442222cossin (cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x x =-=+-=. 所以函数的最小正周期为2π. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2πk αθ=+,()21πk βθ=+-,其中k ∈Z ,则角α与β的终边（）.A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于y x =对称【答案】C 【解析】【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2πk αθ=+与θ的终边相同,()21πk βθ=+-与πθ-的终边相同,且θ的终边与πθ-的终边关于y 轴对称,故角α与β的终边关于y 轴对称. 故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a r 与b r的夹角为π3，则+=r r a b （）.A. 1B.C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用a b →→+==，结合,a b →→的模长和数量积进行求解.【详解】因为a b →→+==，又,a b →→为单位向量，且,a b →→的夹角为π3，所以1cos32a b a b π→→→→⋅==，所以a b →→+====故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=，向量的模一般要转化为a →=来求，属于基础题.5.下面结论正确是（）.A. 若a r ，b r 是单位向量，a b =r rB. 若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形C. 若向量a r ，b r共线，则a b a b +=+r r r r D. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r【答案】B 【解析】【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项A 中，a r，b r是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a r ，b r是单位向量且方向相同时，才有a b =r r，所以错误；选项B 中，因为点O 为四边形ABCD 内一点，OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以BA CD =u u u r u u u r，又BA u u u r与CD uuu r不共线，所以可得BA CD =且∥BA CD ，所以ABCD 是平行四边形，所以正确；选项C 中，当向量a r ，b r 同向时，有a b a b +=+r r r r ，当向量a r ，b r反向时，有a b a b +=-r r r r ，所以错误；选项D 中，因为a c b c ⋅=⋅r r r r，所以cos ,cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅r r r r r r r r 即cos ,cos ,a a c b b c =r r r r r r，不能得到a b =r r，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（）.的A.π12B.3π8C.9π16D.13π12【答案】C 【解析】【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12πα=时，coscos1242ππ>=，sin sin 1242ππ<=，不满足cos sin αα<，所以A 选项错误；当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误；当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 124ππ<=135sin sin 124ππ>=，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题. 7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）. A. sin y x x =B. 2cos y x x =-C. 1tan tan y x x=+D. sin cos y x x =+【答案】D 【解析】【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，()sin y f x x x ==，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，则sin y x x =为偶函数；对于B ，()2cos y f x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，则2cos y x x =-为偶函数；对于C ，()1tan tan y f x x x ==+，定义域为(),2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，()()()()11tan tan tan tan f x x x f x x x -=-+=--=--，则1tan tan y x x=+为奇函数；对于D ，()sin cos y f x x x ==+，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=-+，()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则sin cos y x x=+既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求()f x -；（3）若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. 8.已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（）.A. ()f x 的最小正周期为π2B. ()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C. ()f x 的值域为[]1,3- D. ()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 4cossin 4cos 4cossin 4sin13366x x x x ππππ=++++11cos 4sin 4cos 4sin 412222x x x x =++++4sin 41x x =++2sin 413x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭242T ππ==，所以，()f x 的最小正周期为π2，A 选项正确；()432x k k Z πππ+=+∈，解得()244k x k Z ππ=+∈，所以，B 选项错误；由1sin 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，得12sin 4133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]1,3-，故C 选项正确； ()43x k k Z ππ+=∈，解得()124k x k Z ππ=-+∈，所以()f x 的对称中心为,1124k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故D 选项正确. 故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为1的正方形ABCD 内,以AB 为直径作半圆,若点M 为半圆（包括端点A ,B ）上任意点,则MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是（）.A. 0,⎡⎣B. (0,C. 0,⎡⎣D. (0,【答案】A 【解析】【分析】设正方形的中心为O ,再根据平面向量的加法法则,将MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r 转换为MO u u u u r的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC 的中点分别为,Q P ,正方形的中心为O .根据正方形的对称性可知O 为,Q P 中点..根据平面向量的加法有22224MA MB MC MD MQ MP MO MO +++=+==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r.易得当M 在O 处4MO u u u u r 取最小值0；当M 在,A B 处4MO u u u u r 均可取最大值为4AO =u u u r.故MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是0,⎡⎣.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）.A. 3-B. 3-C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出ω值，再利用三角函数的对称轴及ϕ的范围，求出ϕ值，利用π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出A 值，进而求出π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()sin 2x g x A ωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期是2π，所以222ππω=，解得2ω=，所以()()sin g x A x ϕ=+，()()sin 2f x A x ϕ=+，()22x k k Z πϕπ+=+∈，解得()242k x k Z πϕπ-=+∈，所以，函数()f x 关于()242k x k Z πϕπ-=+∈对称，所以()2342k k Z ππϕπ-=+∈，且π2ϕ<，解得6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 126A ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 13A π=，解得A =，所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π16336323f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 11.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(,且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,若13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,直线y t =与()y f x =有三个不同的交点,则实数t 的取值范围是（）.A. (-B. []0,2C. [)0,2D.)2【答案】D 【解析】根据()f x 过点(可得3πϕ=,再根据()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合可得2ω=.进而求得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数t 的取值范围即可. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点(,故sin ϕ=,又π2ϕ<,故3πϕ=.又()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调且0>ω,故12521212πππω⋅≥-,即03ω<≤. 又因为()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,故2,k k Z ππω⋅=∈,所以2ω=.故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.再分析()52sin ,,32g x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭可得：2sin 33g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭数形结合可知当直线y t =与()g x 有三个交点时,)2t ∈.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题. 12.已知点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（）. A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】【利用数乘的定义作图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，∴0λ<，如图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r ，则110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C S S S S ===V V V V ，由13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，知113OABOAB S S =V V ，111111133OBC OB C OB C S S S λλ=⨯=--V V V ，11OAC OAC S S λ=-V V ， ∴111:::():()33OAB OBC OCA S S S λλ=--V V V ， ∴113111333OAB ABCS S λλ==--V V ，解得2λ=-．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若tan α=，则cos2α________．【答案】13- 【解析】【分析】先由二倍角公式将cos2α化为22cos sin αα-，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan α=，所以2222221tan 1cos21tan 3cos sin cos sin ααααααα--===-++. 【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，则点B 的横坐标为______.【答案】2-. 【解析】【分析】作出图形，求出OA ，以及sin AOC ∠，cos AOC ∠，利用两角和与差的三角函数求出点B 的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，作AD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥轴于点E ，作BF y ⊥轴于点F ，由()3,4A ，则5OA =，4sin 5AOC ∠=，3cos 5AOC ∠=，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，所以，点B 的横坐标为：()345cos 45552522AOC ︒⎛∠+=⨯⨯-⨯=- ⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为DAB ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =则AD CB ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4- 【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4=AD ，利用平面向量线性运算法则可得()AD CB AD AB AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD 的图形，如图：Q //AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，∴30CAD DCA CAB ∠=∠=∠=︒，60DAB ∠=︒，∴AD CD =，又10AB =，AC =取AC 的中点E ，连接DE，则4cos AE AD EAD ===∠， ∴()AD CB AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos AD AB DAB AD AC DAC =⋅⋅∠-⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r1410442=⨯⨯-⨯=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题. 16.已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL ______.【答案】100 【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得(1A，(2A ，()25,0B ，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OA B A ⋅=u u u r u u u u u r 即120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA ，由平面向量线性运算法则可得()1122n n OA OC OA OA A C ⋅=⋅+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数()π02y x x =≥的最小正周期242T ππ==，将函数()π02y x x =≥位于 x 轴上方的图象不变、位于 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方后即可得函数()()π02f x x x =≥的图象，如图所示：可得(1A，(2A ，()25,0B ，所以(1OA =u u u r，(221,B A =u u u u u r ，所以122220OA B A ⋅=-=u u u r u u u u u r ，由()1,2,310n C n =⋅⋅⋅在线段22A B 上可得120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA，则(2OA =u u u u r，所以()11221212n n n OA OC OA OA A C OA OA OA A C ⋅=⋅+=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r24010=⨯+=，1,2,310n =⋅⋅⋅，所以11121101010100OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL . 故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：sin 20cos110cos200sin70︒︒+︒︒；（2）已知α.【答案】（1）1-；（2）2cos α-. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sin cos 1αα+=即可得到结论；（2）根据α是第二象限角，得到sin α与cos α的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论. 【详解】（1）原式()()()sin 20cos 9020cos 18020sin 9020︒︒︒︒︒︒︒=+++-()22sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 201︒︒︒︒︒︒=--=--=-（2）由α是第二象限角，则sin 0α>，cos 0α<，=2cos cos cos sin cos cos sin cos 21sin 1sin cos cos αααααααααααα-----+=+==--+. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 18.已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC V 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +u u u r u u u r最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=u u u r u u u r，求x 、λ的值. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-u u u r ，()1,1AB =u u u r，此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r ，即AC AB ⊥u u u r u u u r ，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，则()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，所以，5CA CB +=≥u u u r u u u r，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +u u u r u u u r取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，因CA CB λ=u u u r u u u r，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值.【答案】（1）()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2. 【解析】【分析】（1）由函数的最低点可求得2A =，由函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为3π可得6T π=，由2T πω=可得ω，再代入点()5π,2-求出ϕ后即可得解；（2）由[]0,3πx ∈可得15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）Q 函数()f x 图像上的一个最低点为()5π,2-，0A >，∴2A =，又函数()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，∴函数的最小正周期6T π=即26ππω=，解得13ω=， ∴()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()15π2sin 5π23f ϕ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，∴5sin π13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5π2,32k k Z πϕπ+=-+∈即132,6k k Z πϕπ=-+∈，又π2ϕ<，∴令1k =，6πϕ=-， ∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当[]0,3πx ∈时，15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1366x ππ-=-即0x =时，()f x 取最小值，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1362x ππ-=即2x π=时，()f x 取最大值，()max 2sin 22f x π==. ∴当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a =r，(2,b =-r ，且a r 与b r夹角为2π3. （1）求2a b +r r；（2）若()()43a kb a b +⊥+r r r r，求实数k值.【答案】（1）7；（2）34-. 【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b =r ，利用平面向量数量积的定义可得a b ⋅r r ，再利用2a b +=r r化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得()()430a kb a b +⋅+=r r r r，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1）Q (2,b =-r ，∴4b ==r，的又3a =r ，a r 与b r夹角为2π3，∴21cos 34632a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭r r r r ， ∴27a b +====r r ；（2）Q ()()43a kb a b +⊥+r r r，∴()()()2243443324180a kb a b a k a b kb k +⋅+=++⋅+=+=r r rr r r r r ，∴34k =-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD 的边长为1，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点. （1）如图，当AP PB =uu u r uu r ，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r时，求MPN △面积的最小值；（2）如图，当APN V 周长为2时，求PCN ∠的大小.【答案】（1）14；（2）4π. 【解析】【分析】（1）设MPB α∠=，则ANP α∠=，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin 2MPN S PN PM α=⋅=△，求得sin 2α的最大值即可得解；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，由题意结合正切的概念及和角公式可得()()2tan x y x y xyβγ-++=+-，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得12AP PB ==，PM PN ⊥，设MPB α∠=，则ANP α∠=，∴1sin 2sin AP PN ANP α==∠，1cos 2cos PB PM MPB α==∠，∴11128sin cos 4sin 2MPN S PN PM ααα=⋅==△，当sin21α=即4πα=时，MPN △的面积取最小值，最小值为14；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，则tan 1PB x BC β==-，tan 1DNy DCγ==-，则()()2tan tan tan 1tan tan x y x y xyβγβγβγ-+++==-⋅+-，Q APN V 周长为2，∴2x y ++=，化简得()22xy x y =+-，∴()()()()22tan 122x y x y x y xy x y x y βγ-+-++===+-+-+-⎡⎤⎣⎦，又02πβγ<+<，∴4πβγ+=，∴()24PCN ππβγ∠=-+=.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-. （1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πx ∈上的简图；（2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得()cos f x x =，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，转化条件为22151sin 24a a x ⎛⎫--≥--+ ⎪⎝⎭、25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++- 22221cos 1cos 2222cos 22cos 1cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪=⋅+⋅+-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列表如下：则函数()f x 在[]0,2πx ∈上简图如下：；（2）Q ()g x 为定义在(],5-∞上的减函数，()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立， ∴()22π152a f x a f x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭即22π1cos cos 52a x a x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，∴221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，的∴2222151cos sin 1sin sin sin 24a a x x x x x ⎛⎫--≥+=-+=--+ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立， 25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，又x ∈R 时，2max 155sin 244x ⎡⎤⎛⎫--+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()min sin 1x =-， ∴2251451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，解得122a --≤≤， ∴实数a的取值范围为12,2⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

A. 2, 3
B. 0, 2
C. 0, 2
D. 3, 2
【答案】D 【解析】【分析】
根据 f x 过点 0,
3
可得 ,再根据 3
f
x
在
π 12
,
5π 12
上单调,且
f
x 的图象向右平
移
π
个单位与原图象重合可得
2
.进而求得
f
x
2
sin
2x
3
.再根据三角函数图像
性质数形结合分析实数 t 的取值范围即可.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. sin 510 （）.
1 A.
2
B. 1 2
C. 3 2
D. 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】 sin 510 sin 360 150 sin150 sin 30 1 .
2
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题.
2.函数 f x cos4 x sin4 x 的最小正周期为（
2
2
π
A.
2
B. π
）.
C. 2π
【答案】C
D. 4π
【解析】
【分析】
先化简函数得 f x cos x ，即得函数的最小正周期.
【详解】由题得 f x cos4 x sin4 x (cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x) cos x .
f x x sin x x sin x f x ，则 y x sin x 为偶函数；
-4-

洛阳市2019_2020学年高一数学上学期期中试题含解析

【详解】解：由题意可得, ，
解可得, ，
故函数的定义域为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解,属于基础题．
3。设，则f(f(-1))的值为（）
A. 5B. 6C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出，从而，由此能求出结果．
【详解】∵ ，
∴ ，
．
故选:B．
【点睛】本题考查求分段函数的值，考查运算求解能力，属于简单题．
5.已知a＞0且a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是（ )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
【详解】解:A中定义域为 ,而定义域为，定义域不同,不是同一函数；
B中，与对应法则与定义域相同，故是同一函数;
故选:C．
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解对数不等式，解题的关键是灵活利用对称性，属于简单题．
11.若偶函数（是自然对数的底数）的最大值为n，则f（nm）=( )
A。 B. C.eD. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，函数（是自然对数的底数）的最大值为，再由是偶函数，求出，由此能求出 .
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分)
13。若幂函数的图象经过点，则 __________．
【答案】
【解析】
设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（2， )，
∴2α= ；解得α=﹣2,∴y=f（x)=x﹣2;∴f（3）= ，
故答案为：．
14.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40 个；若销售单价每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个____________元．

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷word版

洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝1＋2i ，则z 等于A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{x ｜log 3（x －2）≤2}，B ＝{x ｜x 2＞9}，则A ∪B ＝A ．（－∞，3）∪（2，＋∞）B ．（3，11]C ．（2，＋∞）D ．（－∞，－3）∪（2，3）3．已知实数x ，y 满足1341y x x y y －≤，＋≤，≥则x ＋3y 的最大值为A ．7 B ．4 C ．3D ．04．执行右边的程序框图，则输出的结果是A ．1132B ．833C ．1112D ．145．已知单位向量a ，b 满足｜a －b ｜＝｜a ＋2b ｜，则a ，b 夹角为A ．6B ．3C ．23D ．566．已知35a ＝，02log 01b ．＝．，3log 2c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知点P 是圆C ：（x －3－cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1上任意一点，则点P 到直线x ＋y ＝1距离的最大值为A ．2B ．22C ．21＋D ．22＋8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为A ．2B ．62C ．32D ．339．已知p ：函数y ＝ln （x 2－ax ＋1）的定义域为R ，q ：e x＞ax 对任意实数x 恒成立，若p ∧q 真，则实数a 的取值范围是A ．[0，2）B ．[2，e ）C ．（－2，e ）D ．[0，e ）10．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．211．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S －＝（nN ∈且n ＜9），有以下结论：①9S ＝0；②5a ＝0；③{n a }为递增数列；④9a ＝0．则正确的结论的个数为A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥P －ABC 的侧棱长相等，底面正三角形ABC 的边长为2，PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P－ABC 外接球的表面积为A ．32B ．32C ．D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知tan （x ＋4）＝2，则tan （x －4）＝__________．14．已知函数f （x ）的导函数为f x，222f x x xf ＝＋，则不等式f （x ）＜0的解集为__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx 在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________．16．若命题“0x ∈[0，e]，使得0121ax x e－＞成立．”为假命题，则实数a 的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若AC ＝2，求三棱锥P －BMC 的体积．18．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7．（1）求边BC 的长；（2）求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y ab＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P （1，32）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2＋y 2＝1的切线l 与椭圆C 相较于M ，N 两点，证明：∠MON 为钝角．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x t y t＝＋，＝－（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30－－＝．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设M（1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜－2｜x｜．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最大值为m，a，b，c为正数且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥3．。

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(理)试题(带答案)

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题第I 卷（选择题)评卷人得分一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（） A ．5 B ．5C ．1D ．32．已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 3．已知实数,x y 满足1341y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．则3x y +的最大值为（）A ．0B ．3C ．4D ．74．执行如图所示的程序框图，若输出的14S =，则输入的n 值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知35a =，02log 01b =．．，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为（） A．B．CD7．已知偶函数()f x 的图象关于(1,0)对称，且当01x ∈（，）时，2()f x x =，则910x ∈（，）时，()f x ＝（） A ．2xB ．2x -C ．28x -（）D ．2(10)x --8．已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:x q e ax >对任意实数x 恒成立，若p q ∧真，则实数a 的取值范围是（） A ．[)0,2B ．[)2,eC ．()2,e -D ．[)0,e9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（） A．y =B．y =或2y x =±C．y = D．y x =或y = 10．已知函数()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，若()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（）A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，1+11．已知数列{n a }满足11a =，22a =，2221cossin 22n nn n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 则2019a ·22020log a 的值为（）A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（）A ．3B C ．209π D ．203π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知平面向量a ，b r 满足2a b ⋅=v v ，1=r b ，22a b -=v v ，则a r ＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数()sin 2cos f x x x =+在0x 处取得最小值，则()f x 的最小值为__________，此时0cos x =__________． 16．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线xy e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC AD ．（1）求边BC 的长；（2）求△ABD 内切圆半径．19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，AC AB =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V =－－，求二面角Q MC A --的大小．20．已知椭圆C ：22221x y a b +＝（a ＞b ＞0）的离心率为6，且经过点P （2，2）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P 与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．已知函数()2x f x e cosx x -=-．（1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设()1,1M ，求11MA MB＋的值． 23．已知函数()32f x x x =--．（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．参考答案1．B 【解析】【分析】先化简得到2z i =-，再计算z =【详解】=1+2iz i 则1+2=2iz i i=-,z 故选B 【点睛】本题考查了复数的模，属于简单题. 2．A 【解析】【分析】先计算集合A 和集合B ，再根据A B ⊆关系解得答案. 【详解】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭A B ⊆，则2,42mm ≤≤ 故选：A 【点睛】本题考查了集合的包含关系，属于基础题型. 3．D 【解析】【分析】画出可行域，根据平移得到答案. 【详解】画出可行域：如图所示，取30x y +=画出图像通过平移：当目标函数过直线1y x -=和3x y +=的交点(1,2)A 时，有最大值即1,2x y ==时，有最大值为7 故选：D 【点睛】本题考查了线性规划，准确作图是解题的关键. 4．C 【解析】【分析】设数列111(1)1n a n n n n ==-++，则程序框图表示的是从n 项到11项之和，利用裂项相消法得到答案. 【详解】设数列111(1)1n a n n n n ==-++则程序框图表示的是数列从n 项到11项之和即111111111 (1121112124)S n n n n n =-+-++-=-=+++ 3n =故选C 【点睛】本题考查了程序框图，确定程序框图所表示的数列关系是解题的关键. 5．A 【解析】【分析】先根据函数的单调性判断b c >，再判断c a >得到答案. 【详解】0202log 01log 0.21b =>=．．． 33log 2log 31c =<=故b c >3353553332323log 2log 35>∴>∴>= ，即c a >故b c a >> 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】【分析】先确定平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR ，再计算机其面积为得到答案. 【详解】如图所示：,,F G H 是对应线段的中点. 易知：RF 与HQ 相交，确定一个平面HQ ‖RG ，故G 在平面内，同理P 在平面内故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR12623S π=⨯=故选A【点睛】本题考查了截面图形的面积，确定截面为正六边形是解题的关键. 7．D 【解析】【分析】根据对称和偶函数得到周期为4，设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈，代入化简得到答案. 【详解】偶函数f x （）的图象关于10（，）对称则()(),(1)(1)f x f x f x f x =--=-+得到()()(2)f x f x f x =-=-+，(2)(4)f x f x +=-+，故(4)()f x f x +=周期为4 设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈ 2()(2)(10)(10)(10)f x f x f x f x x =-+=--=--=--故选：D 【点睛】本题考查函数的对称性和奇偶性，利用代换得到函数的周期是解题的关键. 8．A【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意；（2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题. 9．B 【解析】【分析】根据题意得到a =，再讨论焦点在x 轴，y 轴两种情况得到答案.12AF F ∆是顶角为120︒的等腰三角形：则=c故a =当焦点在x轴上时：渐近线方程为y x = 当焦点在y轴上时：渐近线方程为y =综上所述：渐近线方程为y =或y x = 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，遗漏一种情况是容易发生的错误. 10．C 【解析】【分析】画出函数图像，根据对称性得到121x x =+，再计算31x <. 【详解】()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x 设123x x x << 画出函数图像得：根据对称性知：121x x =+取1lg ,4x x ==，则31x <<综上所述：21312x x x ++<<故选：C【点睛】本题考查了函数零点的范围，画出图像得到临界点是解题的关键.11．C【解析】【分析】讨论n 的奇偶性分别计算得到21k a k -=，22k k a =代入数据计算得到答案.【详解】11a =，22a =，2221cos sin 22n n n n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 当n 为奇数时：化简得到21n n a a +=+，隔项成等差数列.设21n k =-，21k a k -=，故20191010a =当n 为偶数时：化简得到22n n a a +=，隔项成等比数列.设2n k =，22k k a =，故202010102a =故2019a ·02220210101010l 010og 1a =⨯= 故选：C【点睛】本题考查了数列的求值，讨论n 的奇偶性分别计算是解题的关键.12．D【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到222)()3R OG =+和222(3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大.如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上BE =DE =EG = ，BG =设半径为R ，则222)3R OG =-+，222(3R OG =+解得：3R =，表面积22043S R ππ== 故选：D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，利用勾股定理求出半径是解题的关键.13．【解析】【分析】对22a b -=r r 两边平方得到，计算得到答案.【详解】22a b -=r r 两边平方得到：22444a a b b -⋅+=r r r r ，即28,a a ==r r故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14．11【解析】【分析】变形32317n a n =+-，构造函数3()2317f x x =+-，根据函数的单调性，得到答案. 【详解】 6312(317)332317317317n n n a n n n --+=+-==-- 易知对应函数3()2317f x x =+- 在17(,)3+∞上单调递减，对应函数值大于零在17(,)3-∞上单调递减，对应函数值小于零故32317n a n =+-的最大项为6a ，最小项为5a 即11i j +=故答案为11【点睛】本题考查了数列的最大项和最小项，构造函数3()2317f x x =+-得到单调区间是解题的关键，可以简化运算.15．【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()()f x x ϕ=+，可得出函数()y f x =的最小值，根据题中条件得出0x 与ϕ之间的关系，然后利用诱导公式可求出0cos x 的值.【详解】())sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x ϕϕ⎫=+=+=+⎪⎪⎭Q()x ϕ+，锐角ϕ满足cos ϕ=，sin ϕ=()y f x =的最小值为由题意可得()()00f x x ϕ=+=()0sin 1x ϕ∴+=-，得()0322x k k Z πϕπ+=+∈，()0322x k k Z πϕπ∴=-+∈，则03cos cos 2sin 2x k πϕπϕ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭.故答案为. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.161【解析】【分析】利用抛物线性质得到11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-设(,)x Q x e ，则22221x QF e x x =+-+，22()21x f x e x x =+-+，求导，得到函数的单调性，进而求得最小值.【详解】如图所示：1PH PF =- ，11PH PQ PQ PF QF +=+-≥- 即求QF 最小值设(,)x Q x e ，则22222(1)()21x x QF x e e x x =-+=+-+设函数222()21,'()222x x f x e x x f x e x =+-+=+-，'(0)0f =2''()420x f x e =+>，'()f x 单调递增故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.min ()(0)2f x f ==，QF当(0,1)Q ，,,P Q F 共线时，PH PQ +11【点睛】本题考查了距离的最小值，变换11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-是解题的关键.17．（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解析】【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n n b n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）4；（2【解析】【分析】（1）设BD BC m ==，利用两次余弦定理和ADB ADC π∠+∠=，化简计算得到答案. （2）利用余弦定理得到cos ADB ∠=，sin 14ADB ∠=，再利用面积公式得到ABD S ∆=，再利用1()2ABD S r AB BD AD ∆=++计算得到答案. 【详解】（1）设BD BC m ==，在,ABD ACD ∆∆中利用余弦定理得到：297cos m ADB =+-∠，2137m ADC =+-∠ADB ADC π∠+∠=解得2m =，则24BC m ==（2）在ABD ∆中，利用余弦定理得到：2972ADB =+-∠，cos 14ADB ∠=，sin 14ADB ∠=12sin 22ABD S ADB ∆=⨯∠=又1()2ABD S r AB BD AD ∆=++=即1(52r =解得6r =【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中1()2ABD S r AB BD AD ∆=++是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握. 19．（1）见解析；（2）4π 【解析】【分析】（1）先证明CM ⊥平面PAB 得到CM AB ⊥，再根据AB AC ⊥得到AB ⊥平面PAC .（2）根据14Q BMC P ABC V V －－＝确定Q 为AB 中点，再根据定义得到QMA ∠为面角 Q MC A --的平面角，计算得到答案.【详解】（1）PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，故CM PA ⊥Q 平面PAB ⊥平面PAC ，CM PA ⊥，故CM ⊥平面PABAB ⊆平面PAB ，故CM AB ⊥，又Q AB AC ⊥，,AC CM 相交，故AB ⊥平面PAC ；（2）Q 是棱AB 上一点，设h 为三棱锥P ABC -的高132M BCQ Q B C MC B Q h V V S -∆==⨯⨯－ 13A ABCB PC V S h ∆=⨯⨯－ 14Q BMC P ABC V V －－＝，即12BCQ ABC S S ∆∆=，故Q 为AB 中点. 由（1）知：AM MC ⊥，QM MC ⊥故QMA ∠即为面角Q MC A --的平面角.在Rt QAM ∆中，12AM AC =，1122AQ AB AC ==故AM AQ = QAM ∆为等腰直角三角形，4QMA π∠=故二面角Q MC A --为4π 【点睛】本题考查了线面垂直，二面角，找出二面角对应的平面角是解题的关键，也可以利用空间直角坐标系求解.20．（1）22116163x y +=；（2）点P 在以MN 为直径的圆上【解析】【分析】（1，过点22P （，），代入计算得到答案案. （2）设直线(1)1y k x =--，联立方程组得到222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=，根据韦达定理计算0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，验证斜率不存在的情况，得到答案.【详解】（1）22221x y a b +＝c a = 经过点22P （，），则22441a b +=，解得4,a b == 故椭圆C 的方程为：22116163x y +=（2）当MN 斜率存在时：设直线方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)1116163y k x x y =--⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得到：222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=1,1Q -（）在椭圆内，恒有两个交点.12221226(1)313(1)1631k k x x k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩11221122(2,2)(2,2)(2,(1)3)(2,(1)3)PM PN x y x y x k x x k x ⋅=--⋅--=---⋅---u u u u r u u u r 1212(2)(2)[(1)3][(1)3]x x k x k x =--+----22121212122()4(3)()(3)x x x x k x x k k x x k =-+++-++++222223(1)166(1)(1)(2(3))4(3)3131k k k k k k k k k --+=+-+++++++ 222222(1)(3613)6(32)(1)(613)(3+1)=031k k k k k k k k k k k +---++++++=+即PM PN ⊥u u u u r u u u r当MN 斜率不存在时：(1,M N 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r即PM PN ⊥u u u u r u u u r综上所述：点P 在以MN 为直径的圆上【点睛】本题考查了椭圆方程，直线的椭圆的关系，将点P 在以MN 为直径的圆上转化为 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r 是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（1）y x =-，（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到'(0)1k f ==-，代入切点得到切线方程y x =-. （2）先验证0是函数的1个零点，再求导得到当02x x π-<<时，函数()f x 单调递减.当0x x >时，函数()f x 单调递增，得到0()0f x <，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）()2x f x e cosx x -=-，s '()2in x f x e x +=-'(0)1k f ==-，(0)0f =故切线方法为：y x =-（2）()2x f x e cosx x -=-，易知：(0)0f = ，0是函数的1个零点s '()2in x f x e x +=-取'()20sin xf x e x +=-=，即sin 2x e x -=-画出函数图像：知两函数有一个交点设为00(,)x y ，001x << 当02x x π-<<时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.(0)0f =，所以0()0f x <当0x x >时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.x →+∞时,()f x →+∞，根据零点存在定理：当0x x >时有且仅有一个零点综上所述：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，根据单调性判断存在0()0f x <是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.22．（1）22:230C x y x +--=，10l y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得出关于t的二次方程，并列出韦达定理，可计算出121211t t MA MB t t ++=的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可得出曲线C 的普通方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=. 在直线l 的参数方程中消去t1y +=10y +=；（2）直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，消去x 、y得230t --=.由韦达定理得12t t +=1230t t =-<. 因此，1212121211t t t t MA MB t t t t +-+=====.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义，对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥，解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥，解得13x ≤，此时103x <≤；当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解. 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥，即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.因此，2223a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。

2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。

洛阳市2019—2020学年高三上学期期中考试数学试卷(理)及答案

p∧q 真，则实数 a 的取值范围是
A．[0，2）
B．[2，e）
C．（－2，e）
D．[0，e）
9．双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，F2，虚轴的一个端点为 A，若
△AF1F2 是顶角为 120°的等腰三角形，则双曲线 C 的渐近线方程为
A． y＝ 2x
B． y＝ 2x 或 y＝ 2 x 2
C． y＝ 6 x 2
D． y＝ 6 x 或 y＝ 6 x
2
3
10．已知函数 f x＝－lg xx，2＋x∈ x，(1x＋∈∞0)，，1，若 f（x）＝a 有三个不等实数根 x1，x2，x3，则 x1＋x2＋
x3 的取值范围是
A．（2，＋∞） B．[2，＋∞）
C．（ 2 ，1＋4 10 ） D．[ 2 ，1＋4 10 ]
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz＝1＋2i，则｜z｜等于
A． 5 5
B． 5
C．1
D．3
2．已知集合 A＝{x｜log3（x－2）≤2}，B＝{x｜2x－m＞0}，若 A B，则实数 m 的取值范围是
D－ABC 体积最大时，其外接球表面积为
A． 15 3
B． 2 15 3
C． 20 9
D． 20 3
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知平面向量 a ， b 满足 a · b ＝2，｜ b ｜＝1，｜ a － 2b ｜＝2，则｜ a ｜＝__________．

洛阳市2019-2020上学期期中考试高二数学试卷及答案

（１）求数列｛犪狀｝的通项公式；
（２）设犫狀
＝
１犪狀犪狀＋１
，求
数
列
｛犫狀｝的
前狀
项
和
犜狀
．
１８．（本小题满分１２分）
在 △犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，已知犆＝ π４，犪＝２槡５１０犮．
（１）求ｓｉｎ犃的值；
（２）若犮＝槡５，求 △犃犅犆的面积．
条件
下
取到
最小
值
４时
，１犪
＋
２犫
的最小值为
Ａ．６
Ｂ．４
Ｃ．３
Ｄ．２
１１．设
等
差
数
列
｛犪狀｝，｛犫狀｝的
前狀
项
和
分
别
为犛狀
，犜狀
，若犛狀犜狀
＝
３狀＋３３，则狀＋３
使犪狀犫狀
∈犣的
狀的个数为
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．５
Ｄ．６
１２．在 △犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，已知犮＝２槡２，点犘是犃犅的中点，
高二数学第４页（共４页）（２０１９．１１）
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题
１－５ＣＢＡＣＡ６－１０ＤＡＢＤＤ１１－１２ＣＡ二、填空题
１３．２犪犫１４．［９４，７］１５．－２１６．１２三、解答题
Ｄ．２３
９．如图，在 △犃犅犆中，犅＝４５°，犃犆＝８，犇是犅犆边上一点，
犇犆＝５，犇犃＝７，则犃犅的长为

2019-2020学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版含答案)

C．
(
1 2
,1)
(2,
)
B．
(
1 2
,1)
(0,
)
D． (1 , 2) 2
11．若偶函数 f (x) e(xm)2 (e 是自然对数的底数）的最大值为 n ，则 f (nm ) (
)
A． 1 e
B．
1 e2
C． e
D．1
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11
．
4
14．某商品进货单价为 30 元，按 40 元一个销售，能卖 40 个；若销售单位每涨 1 元，销售
量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个元．
15．函数 f (x) ln(x 4) ln(1 x) 的单调增区间是．
16．已知集合 M {x | m4x 2x1 1 0} ， N {x | 1x1} ，若 M N ，则实数 m 的取
的解集为 ( )
-7-
A．
B．{x | 0 x 7 13 或x 7 13}
7
2
C．{x | 0 x 3 或 x 4}
D．{x | 3 x 7 13} 2
【解答】解： f (x) 是定义在 (0, ) 上的单调函数，
e
e
1 m2 2m 1 m2 2m ，解得 m 0 ，
f (nm ) f （1） e1 1 ． e
故选： A ．
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11

高一上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(原卷版)

2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章、第三章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集UU=R，集合AA={xx|4<xx−2<8}，BB={xx|2+aa<xx< 1+2aa}，若AA∪BB=AA，则aa的取值范围是（）A．(−∞,1]B．�−∞,92�C．�4,92�D．(−∞,1]∪�4,92�2．（5分）（23-24高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（）A．已知xx∈R，则“xx>1”是“1xx<1”的充要条件B．命题“若∃xx0≥1，使得xx02<2”的否定是“∀xx<1,xx2≥2”C．已知xx,yy∈R，则“|xx|+|yy|>0”是“xx>0”的既不充分也不必要条件D．已知aa,bb∈R，则“aa−3bb=0”是“aa bb=3”的必要不充分条件3．（5分）（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2≤2xx+3yy≤6，−3≤5xx−6yy≤9，则zz=11xx+3yy的取值范围是（）A．�zz|53≤zz≤893�B．�zz|53≤zz≤27�C．�zz|3≤zz≤893�D．{zz|3≤zz≤27}4．（5分）（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数ff(xx)的图象经过点�√2,12�，则下列判断正确的是（）A．ff(xx)在(0,+∞)上为增函数B．方程ff(xx)=4的实根为±2C．ff(xx)的值域为(0,1)D．ff(xx)为偶函数5．（5分）（23-24高二下·浙江·期中）关于xx的不等式(aa−1)xx2−aaxx+aa+1≥0的解集为RR，则实数aa的取值范围是（）A．aa>1B．aa≥2√33C．−2√33≤aa≤2√33D．aa≤−2√33或aa≥2√336．（5分）（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数ff(xx)=xx2−2,gg(xx)=−12xx+1，用MM(xx)表示函数ff(xx),gg(xx)中的较大者，即MM(xx)=max{ff(xx),gg(xx)}，则MM(xx)的最小值为（）A．0 B．7−√178C．14D．27．（5分）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若aa>bb，且aabb=2，则(aa−1)2+(bb+1)2aa−bb的最小值为（）A．2√5−2B．2√6−4C．2√5−4D．2√6−28．（5分）（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数ff(xx)的定义域为R，对任意实数xx，yy满足ff(xx+yy)= ff(xx)+ff(yy)+12，且ff(12)=0，当xx>12时，ff(xx)>0．给出以下结论：①ff(0)=−12；②ff(−1)=32；③ff(xx)为R上的减函数；④ff(xx)+12为奇函数. 其中正确结论的序号是（）A．①②④B．①②C．①③D．①④二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(苏教版2019,必修第一册第1-5章)含解析

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：苏教版2019必修第一册第1章~第5章。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A = ð（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,-∞⋃+∞D ．()[),15,-∞-+∞ 【答案】A【解析】()2,5B =,则R (,2][5,)B =-∞+∞ ð，则()(]R 1,2B A =- ð.故选：A.2．已知集合{}{}2,,42,A xx k k B x x k k ==∈==+∈Z Z ∣∣．设:,:p x A q x B ∈∈，下列说法正确的是（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由(){}221,B xx k k ==+∈Z ∣，{}2,A x x k k ==∈Z ∣，故B 为A 的真子集，又:,:p x A q x B ∈∈，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3．,,,a b c b c ∈>R ，下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a c +>+B ．22a b a c +>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>【答案】B【解析】对于A ，若0c b <<，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，因为b c >，故22a b a c +>+，故B 成立，对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误；故选：B.4．已知实数a 满足14a a -+=，则22a a -+的值为（）A ．14B ．16C ．12D ．18【答案】A【解析】因为()212212a a a a a a ---=+++⋅，所以()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=.故选：A.5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若221a b +=，则()()2121a b++的最大值为（）A ．916B ．2516C ．94D ．254【答案】C【解析】因为()()212122221a b a b a b++=⋅+++，又221a b +=，所以()()22292121222(224a b aba b+++=⋅+≤+=，当且仅当1222ab==，即1a b ==-时取等号，故选：C6．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,3【答案】D【解析】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.7．已知函数()221x f x x x =-+，且()()1220f x f x ++<，则（）A ．120x x +<B ．120x x +>C ．1210x x -+>D ．1220x x ++<【答案】A【解析】由函数单调性性质得：y x x =，21x y =+在R 上单调递增，所以()221x f x x x =-+在R 上单调递增，令函数222121()||1||||21212121x x x x x x g x x x x x x x +-=-+=-+=+++++，则2112()||||()2121x xxx g x x x x x g x -----=-+=-+=-++，所以()()0g x g x +-=，则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()()()12121212200f x f x g x g x x x x x ++<⇔<-⇔<-⇔+<.故选：A ．8．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，则29c a b++的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．(,6)-∞C ．(6,)-+∞D ．(],6∞--【答案】D【解析】由不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，可知1和4-是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，由韦达定理可得4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即可得3,4b a c a ==-，所以()222499169994463444a c a a a a b a a a a a -+++⎛⎫===+=--+≤-=- ⎪++-⎝⎭.当且仅当944a a -=-时，即34a =-时等号成立，即可得(]29,6c a b∞+∈--+.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合{1,1,3,5}M =-，集合{3,1,5}N =-，则正确的结论是（）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x N x M ∃∈∈C ．{1,5}M N ⋂=D ．{1,5}M N = 【答案】BC【解析】对于A ，3N -∈，但是3M -∉，A 错误，对于B ，1N ∈，1M ∈，B 正确，对于CD ，{1,1,3,5}{3,1,5}{1,5}M N =--= ，{1,1,3,5}{3,1,5}{3,1,1,3,5}M N =--=-- ，C 正确，D 错误．故选：BC ．10．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（）A ．222a b +≥B ．22log log 0a b +≤C ．1244a b -<<D ．20a b ->【答案】ABC【解析】对于A ，有()()()()2222222222111122222222a b a ab b a ab b a b a b a b ⎡⎤+=+++-+=++-≥+=⋅=⎣⎦，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；对于B ，0a >，0b >，有()22112144ab a b ≤+=⋅=，当且仅当a b =时取等号，故1ab ≤，从而()2222log log log log 10a b ab +=≤=，故B 正确；对于C ，由,0a b >，知0ab >，所以()()()()()()222222222042224ab a ab b a ab b a b a b a b a b <=++--+=+--=--=--，故()24a b -<，从而22a b -<-<，所以22122244a b --=<<=，故C 正确；对于D ，由于当1a b ==时，有,0a b >，2a b +=，但2110a b -=-=，故D 错误.故选：ABC.11．对于任意的表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A ．函数[]()y x x =∈R 为奇函数B ．函数[]y x =的值域为ZC ．对于任意的,x y +∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]2[]430x x -+<的解集为{}23x x ≤<【答案】BCD【解析】对于A ，当01x ≤<时，[]0y x ==，当10x -<<，[]1y x ==-，所以[]()y x x =∈R 不是奇函数，所以A 错误，对于B ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以当x ∈R 时，[]Z x ∈，所以函数[]y x =的值域为Z ，所以B 正确，对于C ，因为,x y +∈R 时，[][],x x y y ≤≤，所以[][][][][]x y x y x y x y ⎡⎤+=+≤+≤+⎣⎦，所以C 正确，对于D ，由[]2[]430x x -+<，得[]13x <<，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以23x ≤<，所以D 正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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的狓的取值范围是
Ａ．（２，＋ ∞）
Ｂ．（１２，１）∪ （２，＋ ∞）
Ｃ．（０．１２）∪ （２，＋ ∞）
Ｄ．（１２，２）
１１．若偶函数犳（狓）＝犲－（狓－犿）２（犲是自然对数的底数）的最大值为狀，则犳（狀犿）＝
Ａ．犲１
Ｂ．犲１２
Ｃ．犲
Ｄ．１
１２．已知定义在（０．＋ ∞）上的单调函数犳（狓），满足犳（犳（狓）－狓２）＝２，则不等式犳（狓）＞７狓－１１的解集为
２狋
＋１，
设犵（狋）＝狋－
２狋
＋１
则函数犵（狋）在狋∈ ［１，＋ ∞）上是增函数． ∴ 犵（狋）ｍｉｎ＝犵（１）＝０ ∴ 犿 ≤０， ∴ 实数犿的取值范围为犿 ≤０．
… …１０分 … …１１分 … …１２分
… …１分 … …４分
… …６分 … …８分
… …１０分 … …１１分 … …１２分
槡１８．解
：（１）（２
１
）１２
４
＋
［（－３）４］１４
－
（槡５－槡３）０＋３
３３８
＝
（９
）１２
４
＋３４×１４
－１＋
（２７）１３８
＝
３２
＋３－１＋
３２
＝５
（２）ｌｏｇ２．５６．２５＋ｌｇ０．０１－２１＋ｌｏｇ２３＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ５４
＝２＋ｌｇ１０－２－２·２ｌｏｇ２３＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ１４５
（２）当狓 ∈ ［１，＋ ∞）时，犿犳（狓）≤２狓－２恒成立，求实数犿的取值范围．
高一数学第４页（共４页）（２０１９．１１）
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题
１—５ＤＤＢＡＢ６—１０ＣＡＣＢＢ１１—１２ＡＣ二、填空题
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
高一数学试卷
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第 Ⅰ 卷１至２页，第 Ⅱ 卷３至４页．共１５０分．考试时间１２０分钟．
注意事项：
第Ⅰ卷（选择题，共６０分）
… …２分 … …３分
∵ 犳（１）＝
１２
，
∴
犪１２＋１
＝
１，２
∴ 犪＝１， ∴ 犳（狓）＝狓２狓＋１．
… …５分
（２）犳（狓）在（１，＋ ∞）上单调递减．
… …６分
设狓１，狓２ ∈ （１，＋ ∞），且狓１＜狓２，
则犳（狓１）－犳（狓２）＝狓１狓２＋１１－狓２狓２２＋１＝（狓（狓１１－２＋狓２１））（（１狓－２２狓＋１狓１２））．
１３．１９
１４．５５１５．（－４，－
３）（也２
可
写成（－４，－
３］）２
１６．（－ ∞，５４）∪ （８，＋ ∞）三、解答题
１７．解：犃＝｛狓狘３≤３狓 ≤２７｝＝｛狓狘１≤狓 ≤３｝，犅＝｛狓狘ｌｏｇ２狓＞１｝＝｛狓狘狓＞２｝，（１）犃 ∩ 犅＝｛狓狘２＜狓 ≤３｝，犃 ∪ 犅＝｛狓狘狓 ≥１｝．（２）∵ 犆 ∪ 犃＝犃， ∴ 犆犃，当犆＝时，犪 ≤１，当犆 ≠ 时，犪＞１且犪 ≤３，即１＜犪 ≤３，综上可得犪 ≤３．
２１．（本小题满分１２分）
已
知
函
数
犳（狓）＝ｌｏｇ２２槡狓·ｌｏｇ槡２２狓
的
定
义
域
为
［１４
，２］．
（１）若狋＝ｌｏｇ２狓，求狋的取值范围；（２）求狔＝犳（狓）的值域．
２２．（本小题满分１２分）
已
知
函
数
犳（狓）＝
２狓２狓
－１．＋１
（１）判断并证明犳（狓）的奇偶性；
槡（１）（２
１
）１２
４
＋
［（－３）４］１４
－
（槡５
－
槡３）０
＋
３
３
３８
；
（２）ｌｏｇ２．５６．２５＋ｌｇ０．０１－２１＋ｌｏｇ２３＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ５４．
１９．（本小题满分１２分）
烄２狓，狓＞０
若函数犳（狓）＝烅
，
烆－狓２－２狓－２，狓 ≤０
（１）在给定的平面直角坐标系中画出函数犳（狓）的图象；
高一数学第１页（共４页）（２０１９．１１）
Ａ．犪＜犫＜犮
Ｂ．犫＜犮＜犪Ｃ．犪＜犮＜犫
９．函数犳（狓）＝ｌｎ狘狓－１狘的图象大致是
Ｄ．犮＜犪＜犫
１０．定义在犚上的奇函数犳（狓）在（０，＋ ∞）上递增，犳（１３）＝０，则满足犳（ｌｏｇ８狓）＞０
＝２－２－２·３＋１＝－５．
… …２分 … …４分 … …５分 … …６分 … …７分 … …８分 … …９分 … …１０分
… …６分
… …１２分
１９．解：（１）
… …６分
（２）由图象可得函数的值域为（－ ∞，－１］∪ （１，＋ ∞），
单调增区间为（－ ∞，－１），（０，＋ ∞），
… …９分
∵ 狓１＜狓２， ∴ 狓１－狓２＜０．
∵ 狓１，狓２ ∈ （１，＋ ∞）， ∴ １－狓１狓２＜０．
又狓１２＋１＞０，狓２２＋１＞０， ∴ 犳（狓１）－犳（狓２）＞０， ∴ 犳（狓１）＞犳（狓２）．
所以犳（狓）在（１，＋ ∞）上单调递减
… …１２分
２１．解：（１）狋＝ｌｏｇ２狓，因为狓
元．
１５．函数犳（狓）＝ｌｎ（狓＋４）＋ｌｎ（１－狓）的单调增区间是
．
１６．已知集合犕＝｛狓狘犿·４狓－２狓＋１－１＝０｝，犖＝｛狓狘－１≤狓≤１｝，若犕 ∩ 犖＝，
则实数犿的取值范围为
．
三、解答题：本大题共６个小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
５．已知犪＞０且犪 ≠１，下列四组函数中表示相等函数的是
Ａ．狔＝槡狓２与狔＝（槡狓）２
Ｂ．狔＝狓与狔＝ｌｏｇ犪犪狓
Ｃ．狔＝槡狓２－４与狔＝槡狓＋２· 槡狓－２Ｄ．狔＝ｌｏｇ犪狓２与狔＝２ｌｏｇ犪狓
６．函数犳（狓）＝
（３）狓２
－３的零点所在的区间为
所以
当狋＝－
３，即２
狓
＝
槡２
４
时，函
数的
最
小值
为
－
１４
，
当狋＝１，即狓＝２时，函数的最大值为６．
∴ 犳（狓）的值域为［－１４，６］．
２２．解：（１）犳（狓）是定义在犚上的奇函数．
∵
犳（狓）＝
２狓２狓
－＋１１，
∴
犳（－狓）＝
２－狓２－狓
－１＋１
＝
１－２狓１＋２狓
＝－犳（狓）
Ａ．（０，１）
Ｂ．（１，２）
Ｃ．（２，３）
Ｄ．（３，４）
７．函
数
犳（狓）＝
槡４－狓２
狘狓－２狘－２
的
奇
偶
性
为
Ａ．是奇函数
Ｂ．是偶函数
Ｃ．既是奇函数又是偶函数
Ｄ．既不是奇函数又不是偶函数
８．已知犪＝ｌｏｇ２０．１，犫＝２０．１，犮＝０．２１．１，则犪，犫，犮的大小关系是
Ａ．
Ｂ．｛狓狘０＜狓＜７－２槡１３或狓＞７＋２槡１３｝
Ｃ．｛狓狘０＜狓＜３或狓＞４｝
Ｄ．｛狓狘３
＜狓
＜
７＋槡１３｝
２
高一数学第２页（共４页）（２０１９．１１）
第 Ⅱ 卷（非选择题，共９０分）
二、填空题：本题共４个小题，每小题５分，共２０分．
１３．已知幂函数狔＝犳（狓）的图象过点（２，１４）．则犳（３）＝
．
１４．某商品进货单价为３０元，按４０元一个销售，能卖４０个；若销售单价每涨１元，销
售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个
１７．（本小题满分１０分）
已知集合犃＝｛狓狘３≤３狓 ≤２７｝，犅＝｛狓狘ｌｏｇ２狓＞１｝．（１）求犃 ∩ 犅，犃 ∪ 犅；（２）已知集合犆＝｛狓狘１＜狓＜犪｝，若犆 ∪ 犃＝犃，求实数犪的取值范围．
１８．（本小题满分１２分）计算下列各式：
∈
［１４
，２］，故狋∈
［－２，１］
… …３分
（２）∵ 犳（狓）＝（１＋１２ｌｏｇ２狓）（２＋２ｌｏｇ２狓）．
… …５分
∴ 犳（狓）＝
（狋＋２）（狋＋１）＝狋２
＋３狋＋２＝
（狋＋
３）２２
－
１，４
显然
犳（狓）在［－２，－
３］上单２
调递
减
，在
［－
３２
，１］上单
调
递增
，
… …７分
（２）利用图象写出函数犳（狓）的值域、单调区间．