分式通分的技巧
分式通分的7种技巧
通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分例1 计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分例2 计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++=+=。
三、整体通分例3 计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+= + =。
四、分解因式,约分后通分例4 计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分例5 计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++=++==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。
解原式=++=++==1。
点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。
解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。
2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。
3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。
解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。
4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。
解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。
5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。
解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。
解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。
3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。
分式通分的若干技巧
—
２ｍｎ
将一个多项式视 为一个整体 ， 再与分式通分． 例
解
：
解： 原式 ＝ ｍ（ ｍ十 Ｉ Ｉ ． ） （ ｍ —ｎ ） ｍ ｎ （ ｒ ｎ＋ ）
， ｎ （ ｍ ＋ｌ ｉ ｔ ｎ＋ｎ ２
计算
２ ００１ ｎ
一
—
一。 一 ｏ ” 一１
（ ａ 加 。 一１ ） １ ＝
可获解． ．
例化 简 ｎ ‘ ＋ ｎ 一 Ⅱ １ 一 ＋ Ⅱ ＋ ０ １ ＋ ｌ ‘ ＋ 一 口 ＋ ３
解： 设 Ｋ＝ Ⅱ ＋０＋１ 贝 ０ 原式 ＝ １
２
一
例
矗 ｖ致掌大世界 。 ． ５▲ ▲ ；。 ＋ ． ＋ 。 ＋ 化 简 １ ＋
例化 简 ８ 一 ｊ ｎ 十 一 等： 口 一 ｊ 口 一 Ｚ ＋
鱼 ： ± Ｚ ： ± 三 二 Ｚ
６Ⅱ ＋ ｎ 一 １
＋
十 ＋Ｗ
＋ — Ｗ－ — ｌ ｌ ， ＋
Ｗ ＋ １ １ ，
解： 原 式 ：［ 。＋２
一
＝ Ｉ ｎ — ｌ Ｊ ｌ口
一（ Ｏ ｌ １ Ｉ １ 一 ） （ 卢一 ） （ 一 ）
． ．
一
・
ｃ
）
一
川
…
， ’
整理 得 Ｏ ｌ ＋ ｜ Ｂ ｙ＋卿 ＝０
・ ． ．
：
土
一
土
６ｒ 上
Ｉ ｔ ，
＋ 移 ＋ ＋ Ｉ ｕ ＋ 格 ） Ｉ １ ｊ ＋ ） Ｉ Ｗ ＋ ｕ ） ＝ ０
＋
＋
＋
Ｗ
１ １ ，
０一 ｌ ３口 一 ｌ
十、 拆 项 后 通 分
分式的通分课件(共17张PPT)
(2) x2 36 .
2x 12
解：(1) 9ab2 6abc 3ab(3b 2c) 3b 2c ；
3a2b
3ab a
a
(2) x2 36 (x 6)(x 6) x 6 .
2x 12 2(x 6) 2
第2课时 分式的通分
归纳总结 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什 么?
第2课时 分式的通分
第2课时 分式的通分
学习目标
能利用分式的基本性质进行分式的通分．
第2课时 分式的通分
新课引入
通分：
3 4
与
2 3
.
最小公倍数：3×4=12
解： 3 4
33 43
9 ，2 12 3
24 3 4
8 12
.
通分的关键是确定几个 分母的最小公倍数.
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变
(a b) 2a ab2c 2a
3bc 2a2b2c ,
2a 2 2a
2ab 2b2c
.
第2课时 分式的通分 (2) 2x 与 3x x5 x5
1·(x - 5) 1·(x + 5) 1(x - 5) (x + 5) 最简公分母
(2)最简公分母是(x+5)(x-5).
2x x5
3x x5
2x( x 5) 2x2 10x
4
4(2 x +1)
1 - 2x -(2x - 1)(2x+1)
2x 4 x2 -1
4
2x x2 -1
.
8 x +4 4x2 -1
,
在分式的约分与通分中， 通常碰到如下因式符号变 形：(b-a)2=(a-b)2； b-a = -(a-b).
分式通分有技巧
＝
３（
一
） ３（ ＋
一丽１ ） ３（ １ ＋ 丽
１
一
）
．
３ ３ ＝ 一 — —１ ａ－
６ ａ 二 ‘
注 ：此题不但 用到 了分离整 式技 巧，还涉 及到拆项 抵消 等技 巧． 六 、换元 后 （ ） 免 通分
例 简 ｘ斗 ＋－（ｚ＋． ６化 一 罨＋ Ｘ ） ） － ｙ Ｚ （ －ｚ） － ｘ ｙ （ｘ ｙ＋ － ）
＝
ａ －ｂ （ －￣’ ａ
口
一 ．
Ｃ一
ｂ）
一
ｂ 一
ｃ
（ － ） －ｃ 。 －ａ（－ｂ ｂ ａ（ ） （ ） ｂ ｃ ｃ ）
ｊ ｂ＋ — ａ ｂ＋
—
一 一
（ － ） 一６ 。 － （— ） － ） ａ ｃ（ ） ｂ ｃ’ ａ（ ｂ ｃ ｃ ｃ
一
ｃ一 一 ：—
２ ｘ～ １ ２
Ｉ ＝ 一 ： 二 ＿一
一
一
＝： 塑±
＋ ） ２ － ） １ ＋ ） ２
一ｊ一
ｘ ２ ＋ ‘
二 、化繁为简 后再通 分 例 ２ 计 算 ： ２ 一 ｘ ２ ｘ －２ ＋
二－ ３ｘ
．
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先化简约分，然后再 通分 ，可 使运算 简便．
探问瑜伽
§３ ７
一
旦 螳 ｌ Ｉ 敞： 技
分 ：用 法 低 子 数将 式 为＋的 式 再 析 利 除 降 分 次 ， 分 詈化 号 形 后
通分．
解： 原式＝ ＋ ＋ （ ２
一
一
） ２＋ 一（ ａ ３
３ ａ－６
）（ １ ＋
分式通分的常用技巧
分式通分的常用技巧作者：张开智来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第03期通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分例1 计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分例2 计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++=+=。
三、整体通分例3 计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+= + =。
四、分解因式,约分后通分例4 计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分例5 计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++=++==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。
解分式方程的特殊方法与技巧
解分式方程的特殊方法与技巧1.将分式化简为整式：在解分式方程之前，我们通常会将其化简为整式方程。
化简的方法包括：合并同类项、消去括号、约分等。
通过化简，我们可以将分式方程转化为更简单的整式方程，更易于解答。
2.通分：如果分式方程中含有多个分母，并且不能直接消去分母，可以考虑通分。
通分可以将分式方程转化为整式方程，更容易解答。
通分的方法是找到分母的最小公倍数，然后对方程两边乘以最小公倍数的倒数。
3.交叉相乘法：在一些情况下，可以使用交叉相乘法来解分式方程。
交叉相乘法是将方程两边的分式相乘，然后进行约分。
这样可以得到一个新的整式方程，再进行求解。
4.增减交换法：在一些情况下，我们可以通过增加或减少方程的一些项，来简化分式方程。
通过增减交换法，我们可以得到一个更简单的方程，进而解答。
5.变量代换：有时候，我们可以通过引入新的变量或代换来简化分式方程。
比如，我们可以将一个复杂的分式方程转化为一个关于新变量的整式方程，进而解答。
变量代换可以帮助我们更好地理解问题，简化方程，并找到求解的途径。
6.等式的性质：在解分式方程时，一些等式的性质也是很有用的。
比如，等值代换定理、等价无穷大定理等。
这些性质可以在解分式方程中发挥重要作用，简化方程，找到解的方法。
7.化简符号：有时候，我们可以通过化简符号来简化分式方程。
比如，我们可以通过代入一些特定的数值，去掉绝对值符号、根号符号等。
化简符号可以帮助我们更好地理解问题，并将分式方程转化为整式方程。
8.分数相关的性质：在解分式方程时，我们可以利用一些分数相关的性质来简化问题。
比如，利用两分数的和差的性质，相除的性质等等。
分数的性质可以帮助我们更好地理解问题，并找到解的途径。
9.齐次方程：齐次方程指的是方程两边的分母相等。
解齐次方程时，我们可以让方程中的两个分式相减，从而得到一个整式方程。
解齐次方程可以帮助我们简化问题，并更好地理解问题的本质。
以上是解分式方程的一些特殊方法和技巧。
分式通分的技巧讲课教案
分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
分式的运算通分技巧大放送
通分技巧大放送分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分例1 计算2111111x x x ++++- 分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．解：原式=221212x x ++-=414x- 评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分例2 计算112+-+a a a 分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=11111)1)(1(1222+=++-=++--+a a a a a a a a a 评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便．三、分裂整数例3. 计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x 分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分. 31412111)311()411()211()111(3134********:-+--+-+=-----+++-++=-------++++-+++=x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解 )4)(3(1)2)(1(1)3)(4()4(3)2)(1()1(2---++=------+++-+=x x x x x x x x x x x x)4)(3)(2)(1(23127)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(22--++---+-=--+++----=x x x x x x x x x x x x x x x x )4)(3)(2)(1(1010--+++-=x x x x x 评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
分式通分的技巧
分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
分式运算巧通分
例 １ （０９年义乌 市） ２０ 如
图 １抛物线 Ｙ＝ ＋ ＋ 与 ， ｋ ｃ
轴的一个交点Ａ在点（ ２０ 和 － ，）
４ 恰 当分 组
巧 妙 通 分
避 免 通 分
计 ｙ 十 恭 ｖ一 一＋ 算— 南一＋＋一 ｖ ｙ一 ｖ ｖ一 十 一 戈
例 博 ＋ ７ ｌ ＿
＋ 两
・ 解题研究 ・
中‘擞 ， （ １午 ２ 初 版 ７ ？ ２ ０ 第１期・ 中 ） ０
２ ３
浅谈数学 审题的方法和策略
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３２０ 浙江省嵊州市教研 室 蔡建锋 １４０
审题是 解 题 的基 础 和 关键 ， 切 解 题 的 思路 、 法 、 一 方 技 巧都 来源于认 真审题 审题 就是 弄 清 问题 ， 是解 题 者在 思 维 分析 本 题 的 已知 条 件 都 是 不 确 定 的 ， 运 动 变 在
化， 因此在审题 时一定 要仔细 ， 看清题 目中 的每一 条有 用 的信息 ， 如本题 中的 “ 包括这 两点 ” 包括边界 和 内 和“ 部” 恰恰是本题解题 中的突破 口， 利用 这条信息 ， 可采取
地运用通分技巧 ， 不仅可以化难 为易， 简捷求解 ， 而且对 于提高我们思维 的创造性 和求异性大有益处．
分式的约分与通分及其运算规则
分式的约分与通分及其运算规则分式是数学中常见的一种数形式，由分子和分母组成，表示为a/b的形式。
分式的约分与通分是分式运算的基础，它们在分式的运算过程中起到了重要的作用。
本文将介绍分式的约分与通分的概念和运算规则。
一、分式的约分与通分的概念1. 约分：约分是指将分式中的分子和分母同时除以它们的公因数，使得分式的值保持不变且分子与分母互素（即它们的最大公约数为1）。
约分后的分式与原式等值，但其分子与分母通常会更小。
2. 通分：通分是指将两个或多个分式的分母进行相同的乘积操作，使它们拥有相同的分母。
通分后的分式可以方便地进行相加、相减、相乘、相除等运算。
二、约分与通分的运算规则1. 约分运算规则：a) 分式的分子与分母可以同时除以一个相同的非零整数，得到等值的分式。
b) 分式的分子与分母可以同时乘以一个相同的非零整数，得到等值的分式。
2. 通分运算规则：a) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母相等，则可以直接相加、相减、相乘、相除等运算。
b) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母不等，则需要进行通分操作，即将它们的分母相乘，并将分子按相应倍数扩大，使得它们的分母相等，然后再进行相加、相减、相乘、相除等运算。
三、约分与通分的实例演示1. 约分实例：分式4/8可以约分为1/2，因为它们的最大公约数是4。
分式6/15可以约分为2/5，因为它们的最大公约数是3。
分式12/18可以约分为2/3，因为它们的最大公约数是6。
2. 通分实例：分式1/3和2/5需要进行通分操作才能相加。
首先，它们的分母分别为3和5，所以它们的最小公倍数为15。
将1/3乘以5/5，得到5/15；将2/5乘以3/3，得到6/15。
现在，它们的分母相等，所以可以相加，结果为5/15 + 6/15 =11/15。
四、总结分式的约分与通分是数学中重要的运算规则，能够简化分式表达式和方便分式的运算。
约分能够使分式的分子和分母互素，降低分式的大小；通分能够使不同分式的分母相等，进而方便进行分式的加减乘除等运算。
解读分式的通分技巧
解读分式的通分技巧
通分是指将分式的分母相同，从而使分式可以相加、相减等。
下面是几种通分的常见技巧：
1. 找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
首先分解两个分母的质因数，然后将两个分母中的质因数按照最大次数排列，得到最小公倍数。
将每个分子乘以与原来分母相乘得到的新分母的倍数，即可得到通分的分子。
2. 如果两个分式的分母是已知的乘积关系（例如a/b和c/b），则可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，分式
1/2和3/4，可以直接将1和3相加得到4，分母为2和4的乘积，即1/2+3/4=4/8+6/8=10/8。
3. 对于复杂的分式，可以先将分子和分母进行因式分解，然后找到所需的最小公倍数，并进行通分。
例如，分式(2x+1)/(x+3)和(3x-2)/(2x+1)，可以将分母的因式分解为(x+3)和(2x+1)，然
后找到它们的最小公倍数(x+3)(2x+1)，再将每个分子乘以所需的倍数。
通过以上通分技巧，可以将分式的分母统一，从而方便进行分式的加减、乘除等运算。
分式运算中的十二种常用技巧
分式运算中的十二种常用技巧在分式运算中，有很多常用技巧可以帮助我们简化表达式、求解问题。
下面我将介绍分式运算中的十二种常用技巧。
一、分子与分母的公因式法当分子与分母有公因式时，我们可以先约去它们的公因式，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3x^2}{4x}$，我们可以约去分子和分母的公因式 $x$，简化为 $\frac{3x}{4}$。
二、通分法对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要先将它们的分母化为通分，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$，我们可以将它们的分母化为通分，变为 $\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$，再进行求和。
三、分数相加减法分数相加减法可以通过通分法化简，再按照分子相加减，分母保持不变的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$，我们可以先将其通分为 $\frac{9}{12} + \frac{2}{12}$，再进行求和，得到$\frac{11}{12}$。
四、负号的运用在分式运算中，可以用负号将有多个项的分式变为一个项的分式。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$，我们可以将其转化为 $\frac{ad - bc}{bd}$。
五、分式的乘法分式的乘法可以按照分子相乘、分母相乘的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$，我们可以将其简化为 $\frac{ac}{bd}$。
六、分式的除法分式的除法可以通过将被除数与除数的分子与分母交叉相乘，再进行约分得到结果。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，我们可以将它转化为 $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$，再进行约分。
七、分式的乘方分式的乘方可以通过将分子与分母分别进行乘方运算得到结果。
分式方程练习题的解题技巧
分式方程练习题的解题技巧分式方程是一个含有分式的数学方程，通常包含有未知数。
解决分式方程可以需要一些特定的技巧和策略。
以下是一些解题技巧，可帮助您解决分式方程练题。
1. 清除分母分式方程通常具有分式形式，包括分母。
为了使方程更容易处理，您可以消除分母。
这可以通过两种方法实现：方法一：通分如果方程中存在多个分数，可以通过找出它们的最小公倍数（LCM）来找到一个相同的分母。
然后，将每个分数的分子乘以相应的倍数，使得它们的分母都变成LCM。
例如，对于分式方程 $ \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{c}{4} $ ，我们可以找到2、3和4的LCM为12。
因此，将方程两边的每个分式的分子乘以适当的倍数，得到 $ 6a + 4b = 3c $ 。
方法二：乘以分母的倒数对于只有一个分数的方程，可以将方程两边乘以该分数的分母的倒数。
这将消除方程中的分母。
例如，对于分式方程 $ \frac{x}{2} = 5 $ ，我们可以乘以2的倒数，得到 $ x = 10 $ 。
2. 合并和化简在消除分母之后，您可以合并和化简方程的项。
这可以通过组合相似项、使用分配律和化简系数来完成。
合并项后，方程中可能会出现未知数的项。
例如，对于方程 $ 8x + 4 - 2x = 16 $ ，我们可以合并 $ 8x $ 和$ -2x $ ，得到 $ 6x + 4 = 16 $ 。
然后，我们可以化简 $ 6x + 4 $ ，得到 $ 6x = 12 $ 。
3. 求解未知数一旦分式方程被转化为简化形式，您可以通过解算未知数来找到方程的解。
例如，对于方程 $ 6x = 12 $ ，我们可以将两边除以6，得到$ x = 2 $ 。
4. 验证解一旦找到方程的解，应该将解代入原方程，验证它是否满足。
例如，对于方程 $ \frac{x}{2} = 5 $ ，我们将 $ x = 10 $ 代入原方程，得到 $ \frac{10}{2} = 5 $ ，这是正确的。
分式的运算法则
分式的运算一.通分的方法:1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方;(1)把异分母分式化为同分母分式; (2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等;(3)通分的根据是分式的根本性质,且取各分式分母的最简公分母,否那么使运算变得烦琐.2.求最简公分母是通分的关键,其法那么是:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;(3)一样字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的.这样取出的因式的积,就是最简公分母.例1.通分:解:∵8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2.∴.通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面.例2.通分:解:将分母分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b) ∴最简公分母为(a+b)(a-b)2∴[分子,分母同乘以(a-b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]=-[分子作整式乘法]说明: (1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的一样式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。
(2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以一样的因式,使几个较简单的分式变成分母一样的较复杂的形式。
约分是对一个分式而言的;通分那么是对两个或两个以上的分式来说的。
二.分式的乘除法:1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法那么用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进展因式分解,再约分。
3.整式和分式进展运算时,可以把整式看成分母为1的分式。
八年级数学下册 5.3 分式的加减法 方法茶座 通分技巧大放送素材 (新版)北师大版
通分技巧大放送（一）分式的运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分，但对于某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分，要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分例1 计算：2121111xx x ++++- 分析：本题若采用将各项一起通分后再相加的方法，计算量很大，注意到前后分母之间存在着平方差的关系，则可逐步通分来计算.[来*#源:zz~s&tep.c^om]解：原式=4221412-12x x x -=++. 说明：若一次通分计算量太大，利用分母间的递进关系逐步通分，避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式，可使问题简单化.二、整体通分例2 计算：112++a a -a+1. 分析：本题中既有分式又有整式，不相统一，同学们可以寻求作为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=112++a a -121111)1)(122+=++-+=++-a a a a a a a （. 说明：本题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作是分母为1的代数式，再通分相加，则可使问题的解法更简便.三、分裂整数法例3 计算：2312++-++x x x x . 分析：如果两个分式的分母不同，通分时可使用分裂整数法.解：原式=212111+++=+++x x x x ＝（1＋11+x ）-（1＋21+x ） ＝2111+-+x x ＝)2)(1(1)2)(1()1(2++=+++-+x x x x x x . 说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分.2 四、活用乘法分式例4 计算：（x+x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x）（x 2-1），（x ≠0且x ≠1）. 分析：乍一看本题，同学们可能会感觉要求的式子很长，不知如何下手，仔细观察各式的特点，巧妙运用平方差公式逐步通分，可使运算简便.解：当x ≠0且x ≠1时，原式=[（x-x 1）（x+x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]（x 2-1）÷（x-x1) ＝[(x 2 -21x ）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]·（x 2-1）÷(x-x1) ＝…＝(x 32-321x )·x ＝x 33－311x . 评注：在本题中，原式乘以一个代数式后再除以同一个代数式还原，就可连续运用平方差公式，在分式运算中，若能恰当地运用乘法公式，则可使计算简便.。
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分式通分的技巧
一、分组通分
例1、计算：x
y x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452y
x x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244x
y xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值
例2、计算：9
69362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2
++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法
例3、计算：4214121111x
x x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.
解：原式844422181414141212x
x x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法
例4、计算y x y
x x +-+2
分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以
做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.
解：原式y
x y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=2
2222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
五、裂项相消，拆项通分
例5、计算：)
2010)(2009(1)2)(1(1)1(1)1(1+++++++++-x x x x x x x x Λ 分析：我们看到题目中每一个分式的分母是两个因式之积且两个因式之为1，而分子又是一个定值1，所以我们考虑逆用同分母分式的加减法则，将每一个分式先拆成两项之差，前后相互抵消后再通分。
解：原式
)2010120091()3121()2111()111()111(+-+++-+++-+++-+--=x x x x x x x x x x Λ2010
12009131212111111111+-++++-+++-+++-+--=x x x x x x x x x x Λ )
2010)(1(20092010111+-=+--=x x x x 反思：当分式比较复杂，而且按常规方法通分十分艰难时，这时看看题中是否隐含着某些规律，当具有以上特征（每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时），可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分。
对应练习：
1、计算：x
x x x -+--+2244212 2、11
2
+-+a a a 3、2
22
2222b ab a b a b a b a +--+--。