建筑力学第11章压杆稳定

第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。

本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。

11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。

前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。

但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。

杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。

我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。

所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。

为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。

图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。

当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。

因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。

P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。

但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。

因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。

P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。

综上所述，作用在细长压杆上的轴向压力P 的量变，将会引起压杆平衡状态稳定性的质变。

也就是说，对于一根压杆所能承受的轴向压力P ，总存在着一个临界值cr P ，当P ＜cr P 时，压杆处于稳定平衡状态；当P ＞cr P 时，压杆处于不稳定平衡状态；当P=cr P 时，压杆处于临界平衡状态。

我们把与临界平衡状态相对应的临界值cr P 称为临界力。

工程中要求压杆在外力作用下应始终保持稳定平衡，否则将会导致建筑物的倒塌。

11.2 压杆的临界力--欧拉公式11.2.1 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支的细长压杆受轴向压力P 的作用,当P=cr P 时，若在轻微的侧向干扰力解除后压杆处于微弯形状的平衡状态（图11-3(a)所示）。

设压杆距离铰A 为x 的任意横截面上的位移为y ，则该截面上的弯矩为M （x ）= cr P y （图11-3(a)所示）。

将弯矩M （x ）代入压杆的挠曲线近似微分方程：EI 22dxyd = M(x)= -cr P y 利用压杆两端已知的变形条件（边界条件）即x=0时，y=0；x=1时，y=0，可推导出临界力公式cr P =22l EIπ （11-1）上式由欧拉公式首先导出，习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。

(a) (b)图11－3应当注意的是，公式（11-1）中的EI 表示压杆失稳时在弯曲平面内的抗弯刚度。

压杆总是在它抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以I 应取截面的最小形心主惯矩，即取=I m in I 。

11.2.2 杆端约束的影响公式(11-1)为两端铰支压杆的临界力公式，但压杆的临界力还与其杆端的约束情况有关。

因为杆端的约束情况改变了，边界条件也随之改变，所得的临界力也就具有不同的结果。

表11-1为几种不同杆端约束情况下细长杆件的临界力公式。

从表中可看出，各临界力公式中，只是分母中2l 前的系数不同，因此可将它们写成下面的统一形式：20222)l EI l EI P crπμπ==（ （11-2）式11-2中的l l μ=0，称为压杆的计算长度，而μ称为长度系数。

按不同的杆端约束情况，归纳压杆的长度系数如下：两端铰支： μ=1 一端固定，另一端自由： μ=2 两端固定： μ=0.5 一端固定，另一端铰支： μ=0.7对于杆端约束情况不同的各种压杆，只要引入相应的长度系数μ，就可按11-2式来计算临界力。

各种约束情况下等截面细长杆的临界力 表11-1杆端约束情况两端铰支一端固定，另一端自由两端固定 （允许B 端上下位移） 一端固定，另一端铰支压杆失稳时挠曲线形状临界力22lEIP cr π=22)2l EI P cr （π= 22)5.0l EIP cr （π= 22)7.0l EI P cr（π= 长度系数 μ=1 μ=2μ=0.5μ=0.711.3 压杆的临界力计算11.3.1 临界应力所谓临界应力，就是在临界力作用下，压杆横截面上的平均正应力。

假定压杆的横截面的面积为A ，则由欧拉公式所得到的临界应力为Al EI A P cr cr 22)μπσ（== 令2i AI=，则 2222222))λπμπμπσE il E i l E cr ==⨯=（（ （11-3） 式中i 称为惯性半径，il A I i μλ==,称为压杆的长细比（或柔度）。

λ综合反映了压杆杆端的约束情况（μ）、压杆的长度、尺寸及截面形状等因素对临界应力的影响。

λ越大，杆越细长，其临界应力cr σ就越小，压杆就越容易失稳。

反之，λ越小，杆越粗短，其临界应力就越大，压杆就越稳定。

11.3.2 欧拉公式的适用范围欧拉临界力公式是以压杆的挠曲线近似微分方程式为依据而推导得出的，而这个微分方程式只是在材料服从虎克定律的条件下才成立。

因此只有在压杆内的应力不超过材料的比例极限时，才能用欧拉公式来计算临界力，即应用欧拉公式的条件可表达为：P crEσλπσ≤=22 亦即：pp E E σπσπλ=≥2 （11-4） 式(11-14)是欧拉公式试用范围用压杆的细长比(柔度)λ来表示的形式,即只有当压杆的柔度大于或等于极限值pp Eσπλ=时，欧拉公式才是正确的，也就是说，欧拉公式的适用条件是p λλ≥。

工程中把p λλ≥的压杆称为细长压杆，即只有细长压杆才能应用欧拉公式来计算临界力和临界应力。

11.3.3 超过材料比例极限时压杆的临界力当临界力超过比例极限时或p ＜λλ时，材料将处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定称为弹塑性稳定。

对这类压杆，其临界应力一般运用由实验所得到的经验公式来计算。

我国在建筑上目前采用抛物线型经验公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21c s crλλασσ （11-5） 式中，s σ为钢材的屈服极限，α为与材料力学性能有关的系数，其中c λλ≤。

对于Q235钢及16Mn 钢，系数α=0.43，sc Eσπλ57.02=，若用E=200GPa, s σ=235MPa代入c λ式，可得Q235钢的c λ=123。

因此，也可得以下简化形式的抛物线公式： 对于Q235钢（GPa E MPa s 200,235==σ）：200668.0235λσ-=cr ，c λλ≤=123对于16Mn 钢（GPa E MPa s 200,343==σ）：20142.0343λσ-=cr ，c λλ≤=102还有一类柔度很小的粗短压杆，称为小柔度压杆。

当它受到压力作用时，不可能丧失稳定，这类粗短压杆的破坏原因主要由于杆件的压应力达到屈服极限或强度极限而引起，属于强度破坏，以强度计算为主。

【例11-1】 一钢制的空心圆管，内、外径分别为10mm 和12mm ，杆长380mm ，钢材的E=210Gpa 。

试用欧拉公式求钢管的临界力。

已知在实际使用时，其承受的最大工作压力m ax P =2250N ，规定的稳定安全系数为w n =3.0，试校核钢管的稳定性（两端作铰支考虑）。

解：钢管横截面的惯矩482244100527.0)01.0012.0(64)64m d D I -⨯=-=-=ππ（应用欧拉公式，钢管的临界力为：N lEIP cr 756438.0100527.010210289222=⨯⨯⨯⨯==-ππ临界压力与实际最大工作压力之比，即为压杆工作时的安全系数，＞P P n cr I 36.322507564max ===w n =3.0 因此钢管满足稳定性要求。

【例11-2】 一端固定，一端自由的中心受压细长杆件，长l =1m ，弹性摸量E=200Gpa ，试计算图11-4所示三种截面杆的临界力。

解：（1）48123min 1042.0101050121m I --⨯=⨯⨯⨯= N Pcra2073121042.0102002892=⨯⨯⨯⨯⨯=-）（π（2）由型钢表查得 m in I =3.89×3810m - N Pcrb19200121089.3102002892=⨯⨯⨯⨯⨯=-）（π（3）m in I =482441022.710)2838(64m --⨯=⨯-πN Pcrc35630121022.7102002892=⨯⨯⨯⨯⨯=-）（π(a) (b) (c)图11-4三种截面的截面积分别为：A a =5cm 2, A b =5.076cm 2, A c =5.18cm2可见，本例三种截面的面积基本相等，但临界力相差很大，并以空心圆截面的临界力为最大。

这种差别主要原因在于m in I 的不同。

由于矩形截面杆材料的分布离水平轴太近，m in I 非常小。

而对于空心圆截面来说，材料的离散程度对任何直径方向都是相同的，故在问题中，空心圆截面为一种比较合理的截面形式。

11.4 压杆稳定的实用计算11.4.1 压杆的稳定许用应力 折减系数φ当压杆的实际工作应力达到其临界应力时，压杆将丧失稳定。

因此，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。

为了安全地工作，应确定一个适当的低于临界应力的许用应力，也就是应选择一个稳定安全系数w n 。

由于工程实际中的受压杆件都不同程度的存在着某些缺陷，如杆件的初弯曲、压力的初偏心、材质欠均匀等，都严重地影响了压杆的稳定性，降低了临界力的数值。

因此，稳定安全系数st n 一般规定得比强度安全系数n 要高。

于是，压杆的稳定许用应力[]cr σ为[]cr σ=stcrn σ为计算方便，令[]=stcr crn σσφ则：[]cr σ=stcrn σ=φ[]σ 式中[σ]为强度计算时的许用应力，φ称为折减系数，其值小于1，并随λ而异。

几种常用材料的折减系数列于表11-2中。