四年级奥数第一讲 数的整除问题

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第一讲数的整除问题

一、基本概念和知识：

1、整除：

定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。

2、因数和倍数：

如果a能被b整除，即a÷b=c

（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

请写出20以内的所有质数：

_____________________________________________________

注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。

4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。

这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。”

例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等

4、质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数

练习：

13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？

奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，…

偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，

偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

提醒：

（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；

（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；

2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5

3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除

如：27, 215等等

4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除

例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？

解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a

六个数的和是 ? 。

练习：

1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是

2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是__________，最小是________

3、四位数8A1B能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________.

4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（）。

5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（）。

个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）

解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。

由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。

再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。故知，这个数是3825。

例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这样的数中最小的是（）。?

例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有个。

练习：

a2016能被12整除，则这样的六位数1、(2016年第十四届希望杯)若六位数b

分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B 除以8，列竖式，可以推算出B=6。然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9整除，所以A=5.

7．五位数能被12整除，这个五位数是____________。

8、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是__________元。（注：微波炉单价为整数元）。

解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。

故这笔账应是36792元。

9、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C 应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。

当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156