四年级奥数第一讲 数的整除问题
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。
数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。
本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。
首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。
这个特征指的是数的各位数字之和。
例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。
例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。
其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。
这个方法利用了约数的概念。
约数是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。
如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。
再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。
这个方法利用了因子的概念。
因子是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。
如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。
最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。
这个方法利用了位数的概念。
位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。
例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。
奥数知识点：数的整除
奥数知识点：数的整除奥数知识点：数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。
如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。
下面小编给大家精心搜集整理的奥数知识点：数的整除，欢迎阅读!奥数知识点：数的整除数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7（或11或13）整除的.数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。
（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能。
四年级奥数第一讲数的整除性(三)
第一讲数的整除性（三）知识要点我们已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
如：837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
四年级奥数试题：数的整除
解：∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7，
∴根据整除"性质2"可知
4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020，79424，所以□处不能填0和4;
因为7|9828，所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元
98.28÷28=3.51(元)
答：每支钢笔3.51元。
数的整除是四年级奥数的常见问题多做多练是提高这类题目最直接的方法下面就是小编为大家整理的整除数的奥数题目希望对大家有所帮助
四题，多做多练是提高这类题目最直接的方法，下面就是小编为大家整理的整除数的奥数题目，希望对大家有所帮助!
数的整除题目
李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元?
(word版)四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：〔1〕能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
〔2〕能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
〔3〕能被4〔或25〕整除的特征：如果一个数的末两位数能被4〔或25〕整除，那么这个数能被4〔或25〕整除。
〔4〕能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
〔5〕能被8〔或125〕整除的特征：如果一个数的末三位数能被8〔或125〕整除，那么这个数能被8〔或125〕整除。
〔6〕能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7〕能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：第1页共 7页1〕一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
2〕一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
3〕一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
4〕一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
〔如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求〕。
【经典例题1】一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
第一讲数的整除(教师版)
第一讲数的整除（教师版）奥数特训四年级下册教材91、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想将所有的货物集中存放在一个仓库里。
如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？2、有89吨货物要甲地运往乙地。
大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。
大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升和9公升。
问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？3、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。
每个工厂需配备的装卸工如图所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多，会造成浪费，可让一部分装卸工跟车装卸。
这样，有人跟车，有人固定。
怎样合理安排才能使装卸工人数最少？-1-奥数特训四年级下册教材94、某工地A有20辆卡车。
要把60车渣土从A地运往B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示）。
问如何调运最省油？5、把16拆成几个互不相同的自然数，使这些自然数的乘积最大。
解：拆成的数不能有1，而2＋3＋4＋5＋6＞16，所以16至多拆成4个互不相同的自然数。
这有两种拆法：16=2＋3＋5＋6=2＋3＋4＋7由于5某6＞4某7，所以拆成2＋3＋5＋62某3某5某6=180.6、把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？解：239=17某7＋24某5所以应截成17米的7根，24米的5根。
7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
□□□某□□□某□□□解：要使乘积最大，这三个三位数也要最大，首位是9、8、7，十位是6、5、4，个位是3、2、1。
又在和一定的情况下，两数差越小则积越大。
所以这三个三位数是941、852、763.8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度是每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟。
小学小升初奥数知识集锦：数的整除
小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。
(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
四年级奥数： 4,8,9整除的数的特征
四年级奥数：4，8，9整除的数的特征我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
奥数教案 整数的整除问题教案
奥数教案整数的整除问题教案一、教学目标1. 让学生理解整除的概念，掌握整除的性质和判定方法。
2. 培养学生解决整数整除问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生运用整除性质解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 整除的概念：整除是指一个整数除以另一个整数，商是整数，没有余数。
2. 整除的性质：(1) 如果一个整数能整除另一个整数，它能整除任何小于这个整数的整数。
(2) 如果一个整数能整除另一个整数，它的倍数也能整除这个整数。
(3) 任何整数都能整除1。
3. 整除的判定方法：(1) 如果一个整数是另一个整数的倍数，它能整除这个整数。
(2) 如果一个整数的质因数分解中包含另一个整数的质因数，它能整除这个整数。
三、教学重点与难点1. 教学重点：整除的概念，整除的性质和判定方法。
2. 教学难点：整除的判定方法，特别是质因数分解的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，让学生理解整除的概念和性质。
2. 采用举例法，让学生通过实际例子掌握整除的判定方法。
3. 采用练习法，让学生在实践中提高解决整数整除问题的能力。
五、教学步骤1. 引入整除的概念，讲解整除的定义和性质。
2. 通过举例，让学生理解整除的判定方法。
3. 布置练习题，让学生运用整除的性质和判定方法解决问题。
4. 讲解练习题，引导学生总结解题规律和方法。
5. 总结整除的概念、性质和判定方法，强调其在实际问题中的应用。
六、教学活动设计1. 课堂导入：通过讲解一个有趣的整除问题，引发学生对整除的兴趣，激发学生的学习热情。
2. 新课讲解：详细讲解整除的概念、性质和判定方法，通过举例让学生加深理解。
3. 课堂练习：布置一些有关整除的练习题，让学生在实践中掌握整除的运用。
4. 解答与讲解：针对学生所做的练习题，进行解答和讲解，引导学生总结解题规律和方法。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调整除在实际问题中的应用。
七、教学评价设计1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查学生对整除概念、性质和判定方法的掌握程度。
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。
一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
四年级常考的奥数题：整数除问题
四年级常考的奥数题：整数除问题四年级常考的奥数题：整数除问题导语：在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。
下面是小编为大家整理的：奥数题。
希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!小学奥数题【例一】数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=243|24，则3|1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=279|27，则9|372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。
43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。
214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的.数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。
四年级奥数： 4,8,9整除的数的特征
四年级奥数：4，8，9整除的数的特征我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征.数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除.例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除.性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除.例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除.性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除.例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除.利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题.为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除.（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除.（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除.（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除.（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除.（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除.其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容.因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除.因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除.这就证明了（4）.类似地可以证明（5）.（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法.837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）.因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除.再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除.利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同.（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同.（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同.例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064.解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064.例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征.根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大.例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除.同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等.例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列.解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0.根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750.例4五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除.根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6.再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字.在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B 代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了.例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除.由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值.再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除.B可取0，3，6，9这4个值.由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）.例6要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除.六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9.要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小.因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小.先试取A=0.六位数的各位数字之和为12＋B＋C.它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15.因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5.当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171.练习41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除.在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4．五位数能被12整除，求这个五位数.5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除.8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？答案练习41.4，9，36.2.10个. 提示：百位与十位的数字和为4或13.3.9366；1362.4.42972.5.8232；2232.提示：先由能被8整除判断出个位数是2.6.16个.提示：6320，3720，2360，2760，6032，3072，2736，7632，7320，6720，7360，3760，7032，6072，2376，3672.7.11232.8.5.11元. 提示：□679□应能被72整除.。
四年级奥数,数的整除
【变式训练】将自然数1、2、3、4、5、6、 7、8、9，依次重复写下去组成一个1993位 数，试问：这个数能否被3整除？（不能被 整除）
【例题12】如果六位数1993AE能被105整除， 那么它的最后两位数是多少？
【变式训练】若五位数32a5b能同时被2、3、 5整除，试求满足条件的所有这样的五位数。
【变式训练】51位数33……3A22……2（其 中3和2各25个）能被7整除，那么A内的数字 是几？
【变式训练】一个六位数能被11整除，首位 是7，其余各位数字各不相同，这个六位数 最小是多少？
【变式训练】有一个四位数是45ab，同时能 被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
【变式训练】在所有五位数中，各位数字之 和等于43且能被11整除的数有哪些？
【例题9】173A是个四位数。数学老师说： “我在这个A中先后填写3个数字，所得到的 3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问： 数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【例题10】求能被26整除的六位数A1991E。
【例题11】一个六位数12A34E是88的倍数， 这个数除以88所得的商是多少？
【例题6】算式1abcde×3＝abcde1中，不 同的字母表示不同的数字，相同的字母表示 相同的数字，求abcde是多少？
【例题7】把三位数3ab接连重复地写下去， 共写1993个，所得的数3ab3ab……3ab恰是 91的倍数，试求ab是多少？
【例题8】某小学五年级学生张明做数学题 时发现“任意”一个三位数，连着写两次得 到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、 11、、13整除。这个结论你会证明吗？
【例题12】如果六位数1993AE能被105整除， 那么它的最后两位数是多少？
【例题13】三个连续自然数在100到200之间， 其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5 整除，最大的能被7整除，试写出所有这样 的三个自然数。
数的整除奥数题解题思路
数的整除奥数题解题思路
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33,33能被11整除,583也一定能被11整除.
(1)1与0的特*：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4)若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
四年级奥数-数的整除特征(一)
本讲知识总结 三大基本的整除特征（一）
知识点讲解 2和5：末一位 整除系 末尾系 4和25：末两位 8和125：末三位 整除系 和系 3和9 114,459 1001 310100 12,35 124,425 1108,750
【例1】(★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能同时被9，25和8整除。
11：单位分组求和差 差系 整除系 组合系 7和13：三位分组求和差
【例2】(★★★) 两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。
【例3】(★★★) 设六位数N= x1527y，N是4的倍数，并且被11除余5，那么x＋y等于多少？
【例5】(★★★★) 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是多少？
【例4】(★★★) 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
奥数题解析“数的整除”解题方法
奥数题解析“数的整除”解题方法奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
7若一个整数的个位数字截去，再从余下的.数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
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第一讲数的整除问题
一、基本概念和知识：
1、整除：
定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：
如果a能被b整除，即a÷b=c
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、
请写出20以内的所有质数：
_____________________________________________________
注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。
“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。
”
例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等
4、质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数
练习：
13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？
奇数：不能被2整除的整数称为奇数。
如：1，3，5，7，9，11，13，15，…
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，
偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
提醒：
（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；
2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5
3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除
如：27, 215等等
4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除
例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。
即符合题意的a
六个数的和是 ? 。
练习：
1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是__________，最小是________
3、四位数8A1B能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________.
4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（）。
5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（）。
个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）
解：因为15=3×5，且3和5互质。
所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。
可推知，百位上最大可填入8。
即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。
可推知，百位上最大可填入7。
即组成的四位数是3720。
故知，这个数是3825。
例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这样的数中最小的是（）。
?
例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个。
已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有个。
练习：
a2016能被12整除，则这样的六位数1、(2016年第十四届希望杯)若六位数b
分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B 除以8，列竖式，可以推算出B=6。
然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9整除，所以A=5.
7．五位数能被12整除，这个五位数是____________。
8、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。
72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。
由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。
故这笔账应是36792元。
9、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数的各位数字之和为12＋B＋C。
它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。
因为B，C 应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156。