定积分二重积分和三重积分
重积分的计算方法
重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。
我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。
通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。
为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。
着重介绍累次积分的计算与变量代换。
一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。
需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。
积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。
所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。
选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。
（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。
从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。
利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。
于积分区域的多样性。
为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。
（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。
曲线积分和曲面积分
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。
最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。
该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。
以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。
因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。
表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。
两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。
）。
最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。
求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。
因此，它也生动地称为通量。
在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。
然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
定积分与二重积分、三重积分等概念紧密相关，都涉及到求体积的问题，通过积分计算就可以得出结果。
下面让我们从定积分和二重积分三重积分来进行简单介绍：
一、定积分
定积分是在一定范围内，通过积分函数求出曲线下函数图形及其不等式的面积、曲面及其不等式的体积，称为定积分。
定积分的求解可采用分段积分法、蒙特卡洛法等方法来进行。
二、二重积分和三重积分
二重积分是指两个变量 x 和 y 的变化范围，在范围上内分别做积分。
三重积分则是三个变量 x、y、z 的变化范围，在范围上同时进行积分，通过二重积分或三重积分，可以求出曲面上这个不等式的体积。
三、求体积
利用定积分、二重积分、三重积分求出曲面下给定的不等式的体积，最常用的方法是将曲面拆分成四储较小的子面，由定积分在每个子面上求出面积，然后将子面的面积累加起来就是原曲面的体积。
或者采用蒙特卡洛法准确地求体积，其原理是对给定的曲面，随机地采样得到若干个点，根据点在曲面上不同位置，以其重心为原点绘制出一个小三角形，根据三角形的面积可以求出曲面的体积。
综上，定积分、二重积分、三重积分都是求体积的机制，它们都有一定的特点，可以根据不同的实际情况，来选择较适合的方法来求取曲面的体积。
二重积分概念与性质
的怎样划分以及 M i 在 i 上如何选取，只要
d 0 时恒有同一极限I ，则称此极限为f(M)
在几何形体 上的黎曼积分。
记为 ： I lim
d 0
f (M )
i 1 i i
n
f ( M )d
根据几何形体的具体形式，可分别给出 各几何形体上的积分的具体表达式及名称： 1、若为一块可求面积的平面图形 D ，则 D 上的 积分称为：二重积分。 直角坐标系下记为： f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
d e ,
a2
a2
ab e
D
( x 2 y2 )
d abe .
d 例 2 估计 I 的值， 2 2 x y 2 xy 16 D 其中 D： 0 x 1, 0 y 2 . 1 解： f ( x, y) , 区域面积 2 , ( x y)2 16
L
4、如果是可求面积的曲面块S,则 S上的积分称 为：第一类曲面积分。
记为： f ( x, y, z )dS
S
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x , y )是有界闭区域 D 上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
2 , ， n，其中 i 表示第 i 个小闭区域，
对上面五种情况：各自具体的对象不同，但归结为 处理同一种形式的和的极限问题，概括地给出下 面定义： Def: 有界闭区域 上黎曼积分定义： 设 为一几何形体，它是可度量的，在该几何体 上定义一函数f(M), M ，将 分为若干可度 量的小块 1 , 2 n ，并把它们的度量大 i ) 为最大直径； 小仍记为 i ，并令 d max( i M i ，做和式（黎曼 在每小分块 i 中任取一点 n 和数/积分和数） f (M i ) i ，若该和式不 i 1 论对
三重积分讲解
三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。
以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。
其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。
2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。
在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。
例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。
3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。
具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。
（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。
（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。
（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。
4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。
5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。
同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。
6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。
通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。
第九章重积分
性质 3 :
D1 D2
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D1 D2
性质 4 : 设 ( x, y ) D, f ( x, y ) g ( x, y ) 则
f ( x, y)d g ( x, y)d
2 2 2
x y z , x y z R , z 0.
2 2 2 2 2 2 2
§3.重积分的应用
1.二重积分的应用 (1)立体的体积
例1. 计算由曲面 z x 2 y 2 和 x 2 y 2 ( z 1) 2 1 所围公共部分的立体体积。
3 例2. 计算 x y z 2 z 和 x y z 2 公共部分的立体体积。
0 x
1
1
2 y2
dy
2。利用极坐标计算二重积分 设积分区域是由不等式
r r2 ( )
r r1 ( )
r1 ( ) r r2 ( ) ,
积分元素d rdrd
β α 0
d
x
来表示，其中r1 ( ) , r2 ( ) 在[ , ] 上连续。
来表示，其中 r ( ) 在[ , ] 上连续。0
则极坐标下二重积分可化为二次积分
β α
r r ( )
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D D
d
r ( )
0
f (r cos , r sin )rdrd
例9. 计算二重积分 e
例3. 计算三重积分 e dv，其中 是由曲面
y
x y z 1及 y 0 , y 2 所围成。
重积分
重积分的理解引言：在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。
这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。
高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。
在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。
重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其它一些工程学科中碰到它们。
摘要：重积分是大学高等数学学习过程中很重要的一部分，在一元函数积分学中，定积分的定义是将定义在区间[],a b 上的一元函数()f x 采用划分，近似，求和，取极限等四个步骤，得到某种确定形式的和的极限，这就是定积分()()ba f x d dx ⎰. 若将一元函数分别推广成平面区域和空间区域，这就得到了二重积分和三重积分的概念。
本篇论文主要讲述了重积分的性质，计算，应用以及所涉及的习题，这些事我对重积分学习的一个总结。
关键词：重积分，二重积分，三重积分，性质，应用二重积分的定义：设(),f x y 为有界闭区间D 上的有界函数，将D 任意划分为n 个小闭区域12,,...,n σσσ∆∆∆并以i σ∆表示第i 块闭区域的面积，在第i 块上任意取点(),i i ξη。
令λ为所有i σ∆的直径的最大值，若()01lim ,ni i i i f f λξησ→=∆∑.存在，则成(),f x y 在闭区间D 上可积，并把上述极限称为(),f x y 在D 上的二重积分，记为(),Df x y d σ⎰⎰.即(),Df xy d σ⎰⎰()01l i m ,ni ii i f λξησ→==∆∑.其中()1,ni i i i f ξησ=∆∑. 称为积分和，(),f x y . 称为被积函数，d σ称为面积元，(),f x y d σ称为被积表达式D 称为积分区域。
三重积分
D
(1 x 4 )dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
D
(1 x )dxdydz dx 2
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
4
y z2 x
(1 x 4 )dydz 2
x3 x7 4 (1 x 4 ) x 2 dx [ ]2 2 3 7
0 0
1
x
2
(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步 把x和y交换,第二步再x和z交换
但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围
成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影
曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影. F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中 消去y,得到H(x,z)=0即是:0≤x≤1, 0≤z≤x+y y=0 y=1-x y=0 z=x+y y=1-x z=x+y 0≤y≤1-x,
1
1 x 2 2 0
上面的计算方法我们称为“投影法”.
“投影法”计算和后面的曲面积分的计算密切
相 关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键 是 把空间区域Ω向坐标平面投影,如何求空间区域 向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再 利用区域Ω的图形去观察就容易出错.例如求空 间区域Ω:0≤x≤1, 0≤y≤1-x, 0≤z≤x+y 在 xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得
把f(x,y,z)看成z的函数,在区域
[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分.积分的结果是x,y的函数,记 作
二、三重积分的计算
D2
X-型域或Y-型域 ,则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
5
第九章利用极坐标系计算二重积分面积元素i i
i
D
i
o
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
6
第九章
基本简化区域的定义 r－型区域： 穿过区域且r＝常数的圆周与区 域边界相交不多于两个交点.
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
第九章
28
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
z
o
x
A
•
y
x yP
x2 y2 z2 r2
x2 y2 r2 sin2
3·球坐标的取值范围： 0 2,0 r ,0
25
第九章
规定： 0 r , 0 , 0 2.
三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
26
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
D
f (x,
y)d
V f ( x, y) 0 V f ( x, y 0)
二重积分的物理意义：平面薄片D的质量
MD ( x, y)d
各类积分的关系
学院：统计与数学学院班级：信息与计算科学学号：902094135导师；毕远宏姓名：贾建慧各类积分之间的关系积分有不定积分、定积分以及二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分等。
我在这里只介绍我们在大学的时候学习过的几类常用积分的关系。
一、不定积分：即已知导数求原函数。
定义1:设函数f与F在区间I上都有定义。
若F′（x）=f(x),x ∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数。
例如，13x3是x2在（—∞，＋∞）上的一个原函数，因为（13x3）＇=x2；又如-12cos2x与-12cos2x+1都是sin2x在（−∞,+∞）上的原函数，因为（-12cos2x）＇=（-12cos2x+1）＇=sin2x.定理8.1可知由于初等函数为连续函数，因此每个初等函数都有原函数（只是初等函数的原函数不一定是初等函数）当然如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数。
定义2:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f x dx其中∫称为积分号,f x被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。
由定义2可知不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
f x dx=f x或d f x dx=f x dx；性质1：ddx性质2：F＇x dx=F x+C或dF x+C；性质3：αf x±βg x dx=αf x dx±βg x dx，α,β为非零常数。
二、定积分:定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。
即由 y=0, x=a ,x=b, y=f x所围成图形的面积。
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
重积分的几种计算方法
柱面
y
x及平面y=0,
z=0x,
y
所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤
2
y cos( x z)dxdydz,
x
0
y y y x
dxdy
2
0
x
y
cos( x
z)dz
D
2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x
z)dz
Dx
0
2
2 1
16 2
y=y1(x, z) z 0 y=y2(x, z) Dxz y x
z x2 y 2 z =r
x
y
z
x2
y 2 dxdydz
zr 2drddz
*
2 1 r 2 (1 r 2 )dr
0
2
2 d
1 r 2 dr
1 zdz
0
0
r
2 15
z
z=r
z=1
r 2drd
1
zdz
D
r
D
例2. 计算
zdxdydz,
zdxdydz zrdrddz
*
r =常数 =常数 =常数 dxdydz= r2sin z x y
drd d
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1
z
r=1 用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
重积分
的奇函数,故 被积函数是 x 的奇函数 故 积分为0. 积分为0. 答案: 答案 B R
x
对称区域上奇偶函数的积分. 测试点 对称区域上奇偶函数的积分
例5
2 2 由曲面 z = 1 − x − y 及 设空间闭区域 Ω
2 2 2 围成, z = x 2 + y 2 围成,则 ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = [
].
A. ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ rdr
0 2π
2π
π
2 1
Ω
π
0
0 1
B. ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr
0
2π
4
π
2
0
0
1
C. ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r 2 dr
0
D. ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r 3 dr
0 0 0
2π
π
0
0
4
1
测试点:直角坐标的三重积分化为球面坐标的三重积分 测试点:直角坐标的三重积分化为球面坐标的三重积分. (1) x = r sin ϕ cos θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ
例3 交换积分次序后 ∫ dx ∫ f ( x , y )dy =
1 0
e
ln x【Fra bibliotek】A.∫ dx ∫ f ( x , y )dy
0
e
1
e2
y
e
1
y = ln x D
O
B.∫ dy ∫ f ( x , y )dx
0 e ey e
y
1
e
x
二重积分与三重积分区别
二重积分与三重积分区别都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r2sin2φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
二重积分和三重积分
得 zdv zdv0.
0
R
zdvh dz zdxdy0 dz zdxdy
x2 y2R2
x2 y2R2z2
0
R
zdz h
dxdy0 zdz
dxdy
x2 y2R2
x2 y2R2z2
0
zR2dz
R z(R2z2 )dz
h
0
R2h2 1R4 .
2
4
由 zdv0 ，得 R2h2 1R4 0h 2 R.
(
x
)
f
(
y
)dxdy
1 2
1
0
f
(
x
)dx01
f
(
y
)dy
1 2
A2
。
解法 2：利用定积分换元法。
11
0dxx
f
(
x)
f
(
y)dy
11
0[x
f
(
y)dy]
f
(
x)dx
01[x1
f
(
x
y)dy]d[1
f
(
y)dy]
01[1x f ( y)dy]d[1x f ( y)dy]
1 [ x f ( y)dy]2 1 1 [ 0 f ( y)dy]2 1 A2 。
x2
y
)dxdy
1 3
0
1 3
。
o D3 D4
1x
（2）
1dy
0
1
3 y
1
y 3 cos x5dx
3 sin1 20
。
解：
1
d
0
y31y
y
1 3
co
二重积分、三重积分
第九章 重积分教学内容二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。
教学目的、要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。
2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。
3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。
4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。
重点与难点1重点：二重积分的概念与计算。
2难点：三重积分的计算，重积分的应用。
第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面()y x f z ,=(()y x f ,在D 上连续)且()0,≥y x f ,这种立体称为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域 ∆∆∆σσσ12,,, n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体 ∆Ω∆Ω∆Ω12,,, n 。
（假设∆σi 所对应的小曲顶柱体为∆Ωi ,这里∆σi 既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,∆Ωi既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。
）从而∑=∆Ω=ni i V 1。
由于()y x f ,连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是()()()i i i ii i i f σηξσηξ∆∈∀∆≈∆Ω,,。
整个曲顶柱体的体积近似值为()∑=∆≈ni i i i f V 1,σηξ 。
为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。