复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性

【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义

如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。 例如：函数2

1

2x

y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域

① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：

已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即

)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法： 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，

即)(b a x ，∈。先利用b x a <<

求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。

3．求有关复合函数的解析式 ①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。 ②已知

)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换

成x 而得

)(x f 。

换元法：就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]

([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f 。

若)(x g u =

)(x f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数

增函数

减函数

5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

一、复合函数定义域解析式

例1 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．

例2 已知x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f

例3 ①已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f ；

②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．

例4 ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；

⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

例5 ①已知x x x f 1

)1(+

=- ，求)(x f ； ②已知221

)1(x

x x x f +=-，求)1(+x f ．

例6 ①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；

②已知x x

f x f 4)1

(2)(3=+，求)(x f ．

二、复合函数单调性及其值域

①初等函数复合求单调区间与值域

例1 已知函数225

13x x y ++⎛⎫

= ⎪

⎝⎭，求其单调区间及值域。

变式练习1

1.求函数)(x f =2

215.0x x -+的单调区间及值域

2.求函数52342

1

+⋅+=-

x x y 的单调区间和值域.

例2 求)(x f =2-4-5x x 的单调区间及值域

变式练习2 求函数f(x)=2

12

x -的单调区间及值域

例3 求21122

1

(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值

变式练习3

1.求函数)45(log )(22x x x f --=的单调区间及值域

2.求函数2log =y 2x ·4

log 2x

])81[(,∈x 的最大值和最小值.

②含参数的复合函数单调性与值域问题

例4 已知函数)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）试讨论其单调性。

例5 求函数)2(log 2x a a ax y --=的值域。

变式练习4

1.讨论函数)1(log -=x a a y 的单调性其中0>a ，且1≠a ．

③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围

例6 设函数)12lg()(2++=x ax x f ，若)(x f 的值域为R ，求实数 的取值范围．

例7 已知)2(log ax y a -=在区间]10[,上时减函数，求a 的取值范围.

例8 若函数)3(log 2+-=ax x y a 在区间]2

1

(a ,-∞上为减函数，求实数a 的取值范围.

变式练习5 已知函数1

2

2-+-=ax x

y 在区间()3,∞-上是增函数,求a 的范围.

解:令12-+-=ax x u ,则原函数是由12-+-=ax x u 与u y 2=复合而成. 原函数在区间()3,∞-上是增函数,而外层函数u y 2=始终是增函数,则易知内层函数12-+-=ax x u 在区间()3,∞-上也是增

函数.而实质上原函数的最大单调增区间是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,a ,由()3,∞-⊆⎥⎦⎤ ⎝⎛

∞-2,a 得32≥a ,即6≥a .

【过关检测】

1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

（1）=

)(x f 452+-x x ;（2）5)2

1(4)41()(++=x x x g

2.求下列函数的单调递增区间：（1）2

2621x x y -+⎪⎭

⎫ ⎝⎛=;(2) 6

2

2--=x x

y .

3.已知函数)10(log )(≠>=a a x x f a ,，如果对于任意)3[+∞∈,x x 都有1)(≥x f 成立，试求a 的取值范围.