华南理工大学625数学分析考研试题

《2019年华南理工数学分析考研试题及解答》

华南理工大学2006年数学分析考研试题一．求极限lim357nnnnn n n n →∞+-++.二．设0A >，1x A >，212n n nx Ax x ++=，()1,2,n =，证明：{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞.三．设0α>，01x ≤≤，证明()11112x x ααα-≤+-≤.四．设()1S x 在区间[],a b 上连续，定义()()1x n n aS x S t dt +=⎰，()1,2,n =，证明(){}n S x 在区间[],a b 上一致收敛.五．设函数(),z f x y =满足方程(),0F u v =，其中u x az =+，v y bz =+，,a b 为常数，F 可微，且0u v aF bF +≠，求积分()22221x y x y z z ea b dxdyxy -++≤⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰.六．求积分()()222sin cos Lx y dx x y y dy +++⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点()1,1-到点()1,1上的一段.七．设0a >，确定ax x e =的正实数根的个数. 八．设()f x 在[)0,+∞上连续，对任意0A >，()Af x dx x+∞⎰均有意义，求积分()()23f x f x dx x+∞-⎰.九．求幂级数()12211n nn x n +∞=--∑的收敛域与和函数.十．设(),f x y 在(){}22,:1G x y x y =+<上有定义，若(),0f x 在0x =处连续，且(),y f x y 在G 上有界，证明(),f x y 在()0,0点连续. 十一．证明()22xx t f x xee dt -=⎰在[)0,+∞上一致连续.十二．研究函数()211n f x n x∞==+∑在区间[)0,+∞上的连续性，一致连续性，可微性，单调性.华南理工大学2006年数学分析考研试题解答一．解设n a n n n =+-,357n n n n n b =++,lim limn n n n a n n n→∞→∞=++11lim2111n n→∞==++, lim lim 3577n n n n n n n b →∞→∞=++=,所以1lim 12lim lim 714nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞===.二．证明显然有0n x >，21222n n n n n x A x Ax A x x ++=≥=，212n n n n n x Ax x x x ++-=-202nnA x x -=≤，10n n x x +-≤，所以{}n x 单调递减有下届，于是{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=，a A ≥，则有22a Aa a+=，2a A =，a A =，故lim n n x A →∞=.三．证明（1）当1α=时，显然成立；（2）当1α>时，对01x ≤≤，显然有()()111x x x x αα+-≤+-=，设()()1f x x x αα=+-，()()()111f x x x ααα--'=--，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当112x ≤≤时，有()0f x '≥，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当102x ≤≤时，有()0f x '≤，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；所以()f x 在12x =处达到最小值，()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.故有()11112x x ααα-≤+-≤.（3）当01α<<时，对01x ≤≤，显然有()()111x x x x αα+-≥+-=，设()()1g x x x αα=+-，()()()111g x x x ααα--'=--，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102x <≤时，有()0g x '≥，()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当112x ≤<时，有()0g x '≤，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；所以()g x 在12x =处达到最大值，()12g x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 故有()11112x x ααα-≤+-≤.四．证明由()1S x 在区间[],a b 上连续，存在0M >，使得()1S x M ≤.()()()21xaS x S t dt M x a =≤-⎰，()()()2322!xaM S x S t dt x a =≤-⎰, 由递推关系及归纳法，可知()()()()111!xn n n aM S x S t dt x a n --=≤--⎰，从而()()()11!n n M S x b a n -≤--，显然有()()111!n n M b a n ∞-=--∑收敛，于是()1n n S x ∞=∑在[],a b 上一致收敛，(){}n S x 在区间[],a b 上一致收敛于0.五．解由(),0F x az y bz ++=，知 10u v z z F a F b x x ∂∂⎛⎫++⋅= ⎪∂∂⎝⎭，u u vF zx aF bF ∂=-∂+，10u v z z F aF b y y ⎛⎫∂∂⋅+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭， v u vF zy aF bF ∂=-∂+，从而1z zab x y∂∂+=-∂∂，于是()22221x y x y z z ea b dxdyxy -++≤⎛⎫∂∂+⎪∂∂⎝⎭⎰⎰()()222211x y x y edxdy -++≤=-⎰⎰2210r d e rdr πθ-=-⎰⎰210122r e dr π-'⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()11e π-=-.六．解设()2sin P x y =+，22cos Q x y y =+，()22sin Q Px x y x y∂∂-=-+∂∂， (){}2,:1,11D x y x y x =≤≤-≤≤，(){}1,:11,1L x y x y =-≤≤=，利用格林公式，得()()222sin cos Lx y dx x y y dy +++⎰()11L L LPdx Qdy -⎛⎫⎪=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()()12122sin sin 1Dx x y dxdy x dx -=-+++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰()1212sin1Dydxdy x dx -=-++⎰⎰⎰2111111cos 2212x x dx ydy dx ---⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()1141113121cos 2222x dx x dx --⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎰⎰.七．解设()1ax axe f x e x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然()lim x f x →+∞=+∞，由于0ax e >，所以在(],0x ∈-∞上，有ax e x >，()01f =，()1ax f x ae '=-，当01ln x a a=-时，()0f x '=，当1a >时，00x <，0x x <<+∞时，有()0f x '>， ()f x 在[)0,x +∞上严格单调递增，0x >时，()()01f x f >=，此时，ax e x =无正实根；当01a <<时，00x >，()f x 在[)0,x +∞上严格单调递增，在[]00,x 上严格单调递减， ()f x 在0x 处达到最小值， ()1ln 01ln a a a f x ea a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()111ln 1ln a a a aa =+=+，故当1a e =时，()00f x =，()f x 有唯一的正实根；当1a e >时，()f x 无正实根；当10a e<<，()00f x <，()f x 有两个正实根。

2022年华南理工数学分析考研试题及解答

2022年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:RnRn，且fC1R，满足f某fy某y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的.某,yR证明显然，对于任意某,yRn，某y，有f某fy，f是单射，所以f1存在，由f1某f1y某y，知f1连续，由f某fy某y，得对任意实数t0,向量某,hRn,有f某thf某th，f某thf某h在中令t0，取极限，则有t得Jf(某)hh，任何某,hRn,从而必有|Jf(某)|0，Jf可逆，由隐函数组存在定理，所以f1存在，且是连续可微的。

例2.讨论序列fntinnt在0,上一致收敛性.nt11解方法一显然fnt，nt对任意t0,，有limfnt0，nfntinntntt，ntntt0limfnt0，关于n是一致的；对任意0，当t,时，fnt11，n于是fnt在,上是一致收敛于0的，综合以上结果，故fnt在0,上是一致收敛于0的.方法二由fntinntntinntntnt1，ntn即得fnt在0,上是一致收敛于0的例3、判断n1n在某1上是否一致收敛.某n例4.设f某在,上一致连续，且2f某d某收敛，证明limf某0.某2某yz例5.求有曲面21所围成的立体的体积其中常数a,b,c0.abc例6、设D为平面有界区域，f某,y在D内可微，在D上连续，在D的边界上f某,y0，在D内f满足方程试证：在D上f某,y0.fff.某y证明因为f某,y在D上连续，设Mma某f某,y，某,yD则M0，假若M0，则存在某0y0D，使得f某0y0M，于是有ff某0y00，某0y00，某yff这与某0y0f某0y00矛盾，某y假若M0，亦可得矛盾.同理，对mminf某,y，亦有m0，某,yD故f某,y0，某,yD.一．求解下列各题1、设，数列{某}满足lima0nn某na某na。

0，证明limn某na21、解由0lim某na2alim1，n某an某ann知lim2a1，所以lim某na.nn某anco某,当某为有理数f(某)2、设当某为无理数，0,证明f(某)在点某kk1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。

华南理工2001--2003年数学分析考研试题及解答

华南理工大学 2001 年数学分析考研试题
一．解答下列各题 1.求极限 lim
x→0
sin 2 x ； 1 + x sin x − cos x
− 1 4
2. 证明不等式 2e
∞
< ∫ ex
0
22ຫໍສະໝຸດ −xdx < 2e2 ；
3.判断级数 ∑
1 的敛散性； n = 2 ln ( n !)
⎧ 1 ,x ≥0 ⎪ 2 ⎪ x +1 4.设 f ( x ) = ⎨ x ，求 ∫ f ( x − 1) dx ； 0 ⎪ e ,x <0 x ⎪ ⎩1 + e
n −2
，
显然它的收敛区间为 ( −∞, +∞ ) ，
∞
∑ ( n + 1)! = ∑ ( n + 1)! = ∑ n ! − ∑ ( n + 1) !
n =1 n =1 n =1 n =1
n
∞
( n + 1) − 1
∞
1
∞
1
= ( e − 1) − ( e − 2 ) = 1 ； 6.解 f ( 0, y ) = y 2 sin 1 1 ， f ( x, 0 ) = x 2 sin ， y x
y . x
I = ∫ xzdydz + yzdzdx + z x2 + y 2 dxdy
∑
= ∫∫∫ z + z + x 2 + y 2 dxdydz
V
(
)
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0
2π
π 4 0
2a
a
( 2r cos ϕ + r sin ϕ ) ⋅ r 2 sin ϕdr

华南理工大学数学分析考研真题2001-2016

f (1) = 1 ，试证： ∃ x ∈ (−1,1) ，使 f (3) ( x) ≥ 3 ． 10．（15 分）试讨论无穷级数 f ( x) =
∑ 1 + n 2 x 在 (0, ∞) 上的一致收敛
n =1
∞
1
性，以及 f ( x) 在 (0, ∞) 上的有界性．
11 ．（ 15 分）设 f ( x) ≥ 0 在 (−∞,+∞) 上连续， f ε ( x) = 1
∫0
∞
试证： g (t ) ≤ e A f (t ), t ≥ 0 ．
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325 2006
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2
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√ √ n+ n− n . lim √ n→∞ n 3n + 5n + 7n
2
1. (10
)
n→∞
lim
√
√ 1+ n n ln √ n

√ n n+1
+
n+1 n
− 1 .

2. (10
)
x→0
lim

1 x2
−
1 x
+1−
1 x
∫−∞ f ( x) dx = 1 ，
+∞
ε
x f ( ) ．试证明：对每个有界连续函数 ϕ ( x) ，有
ε
ε →0 + − ∞
lim
∫
+∞
ϕ ( x ) f ε ( x ) dx = ϕ ( 0) ．

华南理工大学2020年数学分析考研试题参考解答

所以所求点为 (4, 2, 4) 或者 (−4, −2, −4)。 ** 十、（13 分）** 设 f (x) 在 [0, 2] 上二阶可微, 且 |f (x)| ≤ 1, |f ’’(x)| ≤ 1 . 证明:|f ’(x)| ≤ 2 . ** 证明：** 用在 x 点的泰勒公式
f (y)
=
f (x)
+∞
cos(yx)de−2x
0
20
=
− 1 e−2x 2
cos(yx)|+0 ∞
−
y 2
∫ +∞
0
e−2x
sin(yx)dx
=
1
+
y
∫
+∞
sin(yx)de−2x
2 40
=
1 2
+
y e−2x 4
sin(yx)|+0 ∞
−
y2 4
∫ +∞
0
e−2x
cos(yx)dx
因此
∫ +∞
0
e−2x
cos(yx)dx
0
ex(1
−
cos(2x)dx
=
40
eπ − 1
−
+
1
∫
π
ex cos(2x)dx
4
40
∫π
∫π
ex cos(2x)dx = cos(2x)dex
0
∫
0 π
= ex cos(2x)|π0 + 2 ex sin(2x)dx
∫
0 π
= eπ − 1 + 2 sin(2x)dex
0
∫π
= eπ − 1 + 2(ex sin(2x)|π0 − 2 ex cos(2x)dx)