0)(=ξG ，即)()(ξξf a f =+．
2. 试问如下推论过程是否正确。对函数2
1sin
0()0
0t t f t t
t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得：
21
sin 0
()(0)111sin ()2sin cos 00x f x f x x f x x x ξξξξ
--'====--- (0)x ξ<< 即：1
1
1
cos
2sin
sin
x x
ξξ
ξ
=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由0
1
lim 2sin
0ξξξ
+→= 0
1
lim sin 0x x x
+
→= 得：0
lim x +
→1
cos 0ξ
=，即0
1
lim cos
0ξξ
+→=
解：我们已经知道，0
1
lim cos
0ξξ
+→=不存在，故以上推理过程错误。
首先应注意：上面应用拉格朗日中值的ξ是个中值点，是由f 和区间[0,]x 的
端点而定的，具体地说，ξ与x 有关系，是依赖于x 的，当0x →时，ξ不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使0
1
lim cos
0x ξ
+→=成
立，而0
1
lim cos
0ξξ
+→=中要求ξ是连续地趋于零。故由0
1
lim cos 0x ξ
+
→=推不出
1
lim cos
0ξξ
+→=
3.设)(x f 在][a,b 上可微，且()0()0()()f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/x f 在
)(a,b 内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间)(a,b 内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b 上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵()()
()lim 0x a f x f a f a x a
++→-'=>-，由极限的保号性知，
)(1a,δ+∃ （不妨设21b-a δ<），对于)(1a,δx +∈∀ ，均有0)
()(>--a x a f x f ，
特别地，)(11a,δx +∈∃ ，使得
0)
()(11>--a
x a f x f ，∴得A a f x f =>)()(1；
同理，由()0f b ,-'>得)(22b,δx -∈∃ （22b-a
δ<），使得0)()(22>--b
x b f x f ， 从而得A b f x f =<)()(2；
又∵)(x f 在][21,x x 上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,x x ξ∈使得
A ξf =)(；
∵)(x f 在][a,ξ、][ξ,b 上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b 内可导，且A b f ξf a f ===)()()(， ∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1a,ξξ∈、)(2ξ,b ξ∈，使得12()()0f ξf ξ''==，结论成立。
4.设函数)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数，且
(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'==
==试用柯西中值定理证明：
)10()
()()(<<=θn!θx f x x f n n
。
知识点：柯西中值定理。
思路：对)(x f 、n x x g =)(在]0[,x 上连续使用n 次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵)(x f 、n x x g =)(及其各阶导数在]0[,x 上连续，在)0(,x 上可导， 且在)0(,x 每一点处，(1)()!0n g x n x -=≠，又(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====，
∴连续使用n 次柯西中值定理得，
(1)(1)11111(1)111()(0)
()()(0)
()()(0)(0)(0)
(0)
n n n n n n n n n f ξf f f ξf f x f x f x x g n n ξg n!ξg ξξ-------'''---=====
'--- )10()()(<<=θn!
θx f n ，从而结论成立。
