中值定理证明题

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中值定理证明例题

中值定理证明例题中值定理（RolleTheorem）是微积分中一个重要的定理，它指出，如果一个函数在定义域的端点上有可导的一阶连续导数，并且在定义域内单调，那么这个函数在定义域内必定存在不小于一个值的可导零点，即在两个不同的端点之间存在某点x，使得函数f(x)在该点处取得零值，而函数f(x)在该点处也取得零值。

它的具体证明如下：给定函数f(x)在定义域[a，b]上连续可导，且单调，假设存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，则f(c)=0。

证明：令g(x) = f(x) f(a)则g(x)在[a，b]上连续可导，且g(a) = g(b) = 0令h(x) = g(x) (x a)，则h(x)在[a，b]上连续可导，且h(a) = h(b) = 0设h(x)在定义域[a，b]上关于x的连续偏导数为h′(x)又根据中值定理，存在α∈[a,b]使 h′(α) = 0即h′(α) = 0对h′(x)求解：h′(x) = g(x)+ g′(x) (x a)设h′(α) = 0得 g(α) + g′(α) (α a)= 0即g(α)= 0由此可得f(α) = f(a)又由于f(α) = f(a)，而f(α) = f(c)因而可得 f(c) = f(a)再由于f(c) = f(a)，已知f(b) = f(c)所以有f(a) = f(c) = f(b)综上所述，可以得出结论：若函数f(x)在定义域[a,b]上连续可导，且单调，则存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，并且f′(c)=0。

中值定理的证明归纳出一般情况：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且有一阶可导，并且单调，则存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，并且f(x0)=0.根据中值定理，可以给出下面的例题：例题：设函数f(x)在[0，2]上连续且有一阶可导，且f(0) =2,f(2) = 4,试求f(x)在定义域内一阶偏导数等于0的解。

拉格朗日中值定理证明不等式题目

拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。

下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。

我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。

首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。

由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。

根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。

接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。

首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。

要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。

我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。

这个方程的解并不容易求出来。

不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。

我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。

根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。

首先我们来估计下$c_1$的取值范围。

当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。

进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。

然后我们来估计下$c_2$的取值范围。

考研：微分中值定理的证明题汇总

由零点定理可知： F ( x) 在 (0,1) 内至少存在一点，使得 F ( ) 0 ，即：
f ( )
唯一性：（反证法）假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1

2 sin
1

x sin
1 x
( 0 x )
因0 x，故当 x 0 时，由m i l 2 n s i 0 0，
0
1

x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1

0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)

泰勒中值定理证明题

泰勒中值定理证明题【泰勒中值定理证明题】引言：泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数在某一点和它在一阶导数所确定的切线，来研究函数在某一区间内的性质。

本文将对泰勒中值定理进行全面评估，并展示其深度和广度，希望能为您对该定理的理解提供帮助。

1. 泰勒中值定理的基本概念1.1 定理的表述泰勒中值定理可以表述为：给定一个区间[a, b]上的连续可导函数f(x)，则在[a, b]内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

该定理为我们研究函数在某一区间内的变化提供了重要依据。

1.2 理解函数的导数在理解泰勒中值定理之前，我们需要明确函数的导数概念。

函数的导数描述了函数在某一点的变化率，是函数增长或减少的速度。

导数为我们揭示了函数曲线的切线和斜率的关系。

2. 泰勒中值定理的证明2.1 一阶泰勒公式的推导我们从一阶泰勒公式开始推导。

根据泰勒中值定理，我们知道f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，可以将这个表达式进一步拆解为f(b) = f(a) +f'(c)(b - a)。

2.2 使用拉格朗日中值定理为了证明泰勒中值定理，我们可以使用拉格朗日中值定理。

根据拉格朗日中值定理，对于一个连续可导的函数f(x)，在[a, b]区间内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

将此结果代入一阶泰勒公式中，得到f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)。

证明完毕。

3. 泰勒中值定理的应用3.1 函数曲线与切线的关系泰勒中值定理使得我们能够通过函数在某一点的导数，来了解函数曲线在该点附近的变化情况。

通过连接函数在某一点的切线，我们可以推测函数的增长或减少趋势，并进一步研究函数在其他点上的性质。

3.2 近似计算与误差分析泰勒中值定理还可用于近似计算，并进行误差分析。

通过取泰勒级数中的有限项，我们可以近似计算出函数在某一点附近的数值，而可以通过增加级数项来提高精度。

柯西中值定理证明题

柯西中值定理证明题柯西中值定理是一个非常重要的数学定理，它在微积分中有着广泛的应用。

该定理的内容可以简单地描述为：如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，则存在一个点c∈(a，b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a，b]上的平均速率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明柯西中值定理，我们可以使用罗尔定理来帮助我们完成证明。

首先，我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*x。

根据柯西中值定理的假设，g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导。

接下来，我们需要证明g(x)在区间[a，b]的两个端点处取相同的函数值，也就是g(a)=g(b)。

首先，我们考虑g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*a=f(a)-f(a)+f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*a。

然后，我们考虑g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*b=f(b)-f(b)+f(a)/(b-a)*b=f(a)/(b-a)*b。

由于f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*b，我们可以得出g(a)=g(b)。

根据罗尔定理，由于g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，且g(a)=g(b)，所以存在一个点c∈(a，b)，使得g'(c)=0。

由于g'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)-（f(b)-f(a))/(b-a)=0，我们可以得出f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

综上所述，我们通过使用罗尔定理，证明了柯西中值定理的正确性。

考研数学中值定理证明题

考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。

中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。

其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。

罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。

那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。

证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。

如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。

接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。

我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。

那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。

假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。

又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。

微分中值定理的证明题

证：将上等式变形得：
作辅助函数
f
(x)
由拉格朗日定理得：
即
f
1 eb b

(1) b 1
1
xe x
ba

11
ba
1 a
，则
f (1) a
1
ea
即： aeb bee (1 )e (a,b)

(1
f
1
e
1
1 b
ba
(x)
f
1

(1 )
)e

在[1
1
1
1
e
,
ba
1
f ( ) 1 f ( ) 1
f ()
1
5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在使得
f (a ) f ( ) .
【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

微分中值定理题目

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。

微分中值定理的证明题660

微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。

证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。

2.设，证明：，使得。

证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。

3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。

证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。

试证至少存在一个(0，1)，使=1。

分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。

各种中值定理习题

题目1证明题一般。

使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bbdx x f dx x f dx x f b a b a x f aa)(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。

又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbxQ题目2证明题一般。

证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。

有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M ,(x)f x)(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a -=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题。

证明：上连续，，在设⎰⎰-+=>aadx x a f x f dx x f a a x f 02 0)]2()([)( )0( ]2,0[ )(解答_。

，则令由于⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-=-=+=a aaaaaaadx x a f x f dtt a f dx x f dx x f dtdx t a x dxx f dx x f dx x f 02 02 02 0)]2()([ )2( )( )(2)()()(题目5证明题。

中值定理的参考题(有分析和解答)

2
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1）中的，而（1）中的是由ex 求导而得到的，故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ，故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ，则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ，由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ，即e[ f ()f ()]0 ，由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。

微分中值定理证明题

一、微分中值定理及积分中值定理微分中值定理分为以下三个定理1.罗尔定理如果函数f（x）满足：（1）在闭区间a，b连续（2）在开区间（a，b）可导（3）f（a）=f（b）则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f′（ξ）=02.拉格朗日定理如果函数f（x）满足：（1）在闭区间a，b连续（2）在开区间（a，b）可导则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）3.柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续（2）在开区间（a，b，）内可导，且F（x）在（a，b）内的每一点的导数处均不为零则在（a，b）内至少有一点ξ，使f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）4.积分中值定理如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则在a，b上至少存在一个点ξ，使得下式成立∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）在讲解过程中要区分清楚前三个中值定理的条件关系，让学生知道拉格朗日定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的特例，如果给拉格朗日定理加上最后一个条件就可以得到罗尔定理的结论。

其次再谈结论之间的区别，最后应该从证明方面讲三者间的关联。

即后两个定理都可以通过构造辅助函数利用罗尔定理进行证明。

教学中需要提前告诉学生以后还会学到一个积分中值定理，并且在积分中值定理讲完之后最好通过习题将前后中值定理联系起来，加深学生对中值定理的理解。

二、典型习题1.通过结论构造原函数法理解中值定理例题1：设f（x）在R上可导，证明在f（x）的两个零点之间一定有点ξ使得f（ξ）+f′（ξ）=0在讲解这道题目的过程中要引导学生学会构造函数，先把表达式f（ξ）+f′（ξ）=0中的ξ改为x，然后让学生分析函数f（x）+f′（x）=0会是哪个函数通过求导得到的，引导学生发现可以构造一个函数F（x）=exf（x），分析函数和罗尔定理的关系最后证明结论。

例题2：证明：若f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，f（a）=f（b）=0，g（x）≠0 ，则至少存在一个点ξ∈a，b使得f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0这道题目的做法和上题有类似的地方，都要把结论表达式中的ξ改为x，例如f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0改为f′（x）g（x）+2g′（x）f（x）=0再引导学生分析等号左边的函数是那个函数求导后的记过当学生通过多次试错后构造出F（x）=f（x）g2（x）后，他们对问题的理解也就得到升华。

中值定理证明题

5、验证罗尔定理对在上的正确性f x x x ()[,]=+-33101 6、验证罗尔定理对在上的正确性f x x x x ()[,].=+---32581212 7、验证罗尔定理对函数在区间上的正确性f x x x x ()[,].=-+-32611623 8、.)2,0(0)12cos(3cos cos :012)1(3,,,2112121内至少有一个实根在证明满足设实数π=-++=--++--x n a x a x a n a a a a a a n n n n9、.)1,0(234:23内至少一个根在求证c b a cx bx ax ++=++ 10、求证方程的根不超过三个不计根的重数:().e a x b x c x =++211、.0)(,1)(0111≡+++++=--x f n a x a x a x a x f n n n n 试证明个不同的零点有设12、.)()()(:,)(的零点的两个零点间一定有求证可导设x f x f x f x f '+ 13、.0)(),,(:).(,)(lim )(lim ,),()(=ξ'∈ξ==-+→→f b a A A x f x f b a x f bx ax 使至少存在一点试证为有限值且内可导在有限区间设函数14、[].0)()2,1(,0)2()1(,)2,1(,2,1)(),()1()(=ξ''∈ξ==-=F f f x f x f x x F 使试证明存在且内二阶可导在具有一阶连续导数在其中设15、[].)(,)1,0(:,1)1(,1)0(,)1,0(,1,0)(ξ--=ξ'ξ==e f e f f x f 使内至少存在一点在求证且可导在上连续设在16、[]),()()()(,,)(321030x f x f x f x f x x x f ===且上具有三阶导数在设,3210x x x x <<<其中 ().0)(,,30=ξ''ξf x x 使内存在试证明在 17、(),0)()(0)(,),(,],[,,)(==≠∈b f a f x f b a x b a b a x f 若时且当可导在上连续在设.)()()(k f f b a k =ξξ'<ξ<ξ使存在点证明对任意实数 18、,0)()()(,),(,],[)(='==a f b f a f b a b a x f 且内二阶可导在上有连续导数在设函数.0)(,),(=''c f c b a 使内至少存在点证明在19、)( )0,(),0,(13)(2b a b a xc x x x y y <++==轴有两个交点与设抛物线cx x y x f y b f a f b a x f y ++=====13)(,0)()(,],[)(2与且曲线上二阶可导在.2)(),(,,),(=ξ''ξf b a b a 使内存在一点在求证内有一个交点在 20、.)(,1)(,),()(最多有一个实试证明方程且上可微在设x x f x f x f =≠'+∞-∞ 21、.0)()(3,)1,0(,0)1()1(0)0(,]1,0[)(='''+''='==c f c c f c f f f x f 使内存在一点证明在且上三阶可导在设22、．使内存在一点证明在且内可导在上连续在设)()(2)(,)1,0(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(c f c f c f c c f x f '=+'=23、).()1()1()()()1,0(,0)()1,0(,0)0(,)1,0(]1,0[)(为自然数使证明存在有对任意且内可导上连续在在设n c f c f c f c f n c x f x f x f --'='∈≠∈= 24、)1()1()()()1,0(,0)()1,0(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(c f c f c f c f c x f x f x f --'='∈≠∈=使证明存在有对任意且内可导在上连续在设 25、.0)()(2)1,0(,0)1(,)1,0(,]1,0[)(='+∈=c f c c f c f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设26、).(0)()(,)1,0(:0)1(,)1,0(]1,0[)(为正整数使内至少存在一点在证明且内可导上连续在在设n c nf c f c c f x f =+'=27、有且仅有三个证明方程0132=---x x e x28、.)(),(,1)(),()(,],[)(x x f x b a x f b a b x f a b a x f =≠'<<值适合内有仅有一个证明在上有在且上可导在设函数29、.,1),0()()(:0:),0()(21为任意实数其中个不同零点内至少有在求证个不同零点可导且有在设a n x f x af x x x n x f n-+∞'+<<<<+∞30、证明方程有且仅有三个实根212x x -=.31、设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 32、.)1,0(1)()1(,,4)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(2内至少有一个实根在方程试证明且内可导在上连续在设函数='+π==x f x f f x f33、.),1(1)(,,1)(,0)1(,),1(,],1[)(内至少有一实根在证明方程且内可导在上连续在设e x f x e f f e e x f ='==34、.)4,0(1)(cos ,1)4(,0)0(,)4,0(,4,0)(2内至少有一实根在试证明方程且内可导在上连续在设函数π='=π=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡πx f x f f x f35、.)2,0(cos )(,1)2(,0)0(,)2,0(,2,0)(内至少有一实根在试证明方程且内可导在上连续在设π='=π=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡πx x f f f x f36、.0)()()(),2,0(,0)2(,)2,0(,]2,0[)(=ξ'⋅ξ+ξπ∈ξ=πππf tg f f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设37、)(2sin )(2),4,0(,0)4(,)4,0(,]4,0[)(='⋅+π∈=πππc f c c f c f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设.38、)()1()(),1,0(,0)1(,)1,0(,]1,0[)(=ξ'-+ξ∈ξ=ξ-f e f f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设.39、)(arcsin 1)(),21,0(:,0)21(,)21,0(,]21,0[)(2='⋅-+∈=c f c c c f c f x f 使至少存在一点证明且内可导在上连续在设40、.)(),0(:,0)(),0(,)(1,],0[)(xae xf x a x f a e x f a x f =<'<<使内有且仅一个在证明内在且上可导在设函数41、.tan )(,)4,0(,1)(4,0],4,0[,1)(0,]4,0[)(x x f x x f x x f x f =π<'⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ∈<<π使内有且仅有一个证明在内在且上可导在设函数42、.sin )(,)2,0(,cos )(:)2,0(]),2,0[(1)(0,]2,0[)(x x f x x x f x x f x f =π≠'ππ∈<<π使内有且仅有一个证明在一个点处内的每在且上可导在设函数43、.arctan )(,)1,0(,11)()1,0(,4)(0,]1,0[)(2x x f x xx f x f x f =+≠'π<<使内有且仅有一个证明在内的每一点处在且上可导在设函数44、().ln )(,,11)(),1(,1)(0,],1[)(x x f x e x f x e x f e x f =<'<<使内有且仅有一个证明在内在且上可导在设函数45、设为偶数且试证方程仅有一个实根n a x a x a x n n n ,,.().≠+=+=00设试用罗尔定理证明方程仅有一实根a b x a x b x c 232300-<+++=,.47、.)1,0(0:,0113121,,,221021010内至少有一实根在方程试证的实数是满足设=++++=+++++nnn n x a x a x a a a n a a a a a a48、．其中使内至少有一个试证明在且阶导数存在上有在若b a f b a b f b f b f b f a f n b a x f n n <ξ<=ξξ===''='==-,0)(,),(,0)()()()(,],[)()()1(49、()0)()()(,),(:),,(,,0)()(,,,],[)(),(212121=ξϕ'⋅ξ+ξ'ξ∈==ϕf f x x b a x x x f x f b a b a x x f 使内至少存在一点在证明且内可导在上连续在设50、),()(,0)1()0(,]1,0[)(3x f x x F f f x f ===设且上存在三阶导数在若函数.0)(),1,0(=ξ'''∈ξF 使则存在 51、.0)1(,001211001110的正根必有一个小于证明方程有一正根若方程x a x n a nx a x x x a x a x a n n n n n n =++-+==+++-----52、)0()()1,0(:),()1()(,]1,0[)(00ϕ='∈ϕ-=ϕx f x x x x f x 使存在求证可导在设 53、.]1,0[2)(上的正确性在对函数验证拉格朗日中值定理xx f =54、.]2,0[sin )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数π=x x f 55、.]2,0[cos )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数π=x x f56、.],1[ln )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数e x x f =57、正确性上拉格朗日中值定理的在验证]4,2[)(2x x f =对函数在上验证拉格朗日中值定理的正确性f x x ()a r c t a n [,].=01 59、叙述并证明拉格朗日中值定理60、.2)(,)1,0(:1)1(,1)1()0(,]1,0[)(=''='==c f c f f f x f 使内存在点在证明上二阶可导在设61、.)(,1)0()()( : ),()(:xe xf f x f x f x f ==='+∞-∞则及上可导并满足在若试证明 62、[].)()(3)()(1),,(,],[)(233ξ'ξ+ξξ=-∈ξf f b f a f a b a b b a b a x f 使证明存在上可导在设63、().,,)(),(,),,(为常数其中内则在有若对B A B Ax x f b a A x f b a x +==∈ 64、).(lim )(lim 2141)(211,00x x x x x x x x x θθ≤θ≤θ+=-+≥+∞→+→及并求及证明若65、.)(,)(:,)(lim ),(),()(),,(,],[)(00000A x f x f A x f b x x a x f b a x b a x f x x =''='∈→且存在证明内均可导且与在且上连续在设66、[]设求证对有l i m (),:,l i m ()().x x f x a T f x T f x T a →+∞→+∞'=∀>+-=0 67、.))(,(0)(,0)(:,0)(,,,],[)(内有且仅有一个实根在则方程若试证为常数其中时且当可导上连续在设ka f a a x f a f k k x f a x a x f -=<>>'>+∞ 68、证明恒等式在时成立:a r c c o sa r c c o s ().334123x x x x --=≤π69、.1)()(:,0)0(,1)0(),()(),()(,)(),(22=+==-='='x g x f g f x f x g x g x f x g x f 证明且都为可导函数设70、证明当时恒等成立:,a r c t a n a r c t a n .x x x ≠+=01222π71、证明恒等式在时成立221012a r c t a n a r c t a n ,.x xxx --=< 72、证明恒等式在时成立x x x x -+=<<232232a r c t a n (s e c t a n ).πππ73、证明恒等式在时成立2222a r c t a n (s e c t a n ).x x x x +-=-<<πππ74、证明恒等式在时成立22112a r c t a n a r c t a n .x xxx --=<<+∞π75、.)()0(,,),0()(]),,0[()(,],0[)(Ma a f f a x f a x M x f a x f ≤'+'∈≤''试证明内取得最大在且上二阶可导在设函数76、且等号有对任意实数证明应用拉格朗日中值定理)1ln(arctan 2,:2x x x x +≥.0时成立=x77、用拉格朗日中值定理证明当时,,l n .x e xx x>-<0178、证明　为自然数11111n n nn +<+<l n ()()79、).1(10,01:时成立等号仅限于其中明利用拉格朗日值定理证=<<>-≤-x a x a ax x a80、证明当时:,s i n t a n .022<<+>x x x x π81、证明当时:,a r c t a n a r c t a n .01122<<-+<-<-+a x x a x x a x aa82、证明当时恒等式成立:,a r c t a n a r c s i n .x x xx≥++=12212π83、证明当时恒等式成立:,a r c t a n a r c s i n .x x xx≤-+=122102 84、设在内可微但无界，试证明在内无界。

利用柯西中值定理证明题目

利用柯西中值定理证明题目马克思柯西中值定理是指如果函数f在区间[a,b]内满足柯西中值定理，即f(x)在这个区间内有唯一的最大值和最小值，那么存在一个数c，这个数位于最大值和最小值之间，使得f(c)=f(a)+f(b)。

柯西中值定理被用来证明一些数学猜想，譬如求解不定方程，应用微分方程等。

一般来说，函数f在上述区间[a,b]上必须满足以下条件，这样才能使用柯西中值定理:1、函数f在区间[a,b]上必须是连续函数；2、函数f在区间[a,b]上必须是单调函数；3、函数f在区间[a,b]上有唯一的最大值和最小值。

柯西中值定理的证明如下：1、由假设f(x)在[a,b]上满足连续且单调性，则由这两个假设可以知道f(x)在[a,b]上一定有一个最大值和最小值，而且最大值一定大于最小值；2、首先由f(x)在[a,b]上最大值和最小值的性质，容易知道，存在连接最大值和最小值的曲线，也就是存在一个连续的曲线上的一点c，使得f(c)等于最大值减去最小值；3、根据2的结果，再进一步知道f(c)的值一定满足f(a)+f(b)；4、根据以上各结论，可以断定，存在一个数c，使得f(c)=f(a)+f(b)。

由此可见，柯西中值定理的证明是比较简单的，可以用来证明一些数学猜想，它的证明因为结构简单，概念易懂，所以被广泛使用。

除了证明某些数学猜想外，柯西中值定理还可以用于解决微积分问题，比如求解不定积分。

因为可以利用最大值和最小值的原理求取对于相应函数的不定积分，从而求得数值答案。

柯西中值定理也可以用于求解微分方程，进而运用于求解系统的动态模型。

以处理混合系统的动态模型为例，可以利用柯西中值定理来解决相关问题，从而求得相应的解。

总之，柯西中值定理是一种有效的数学工具，可以应用于许多数学问题，比如求解不定方程，求解不定积分问题，解决动态模型问题等。

因此，柯西中值定理在数学实践中是一个重要的工具，能够为我们的实践工作带来极大的便利。

有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦1、已知函数f(x)具有二阶导数，且存在一点，使得f ( ) 0.证：由lim -0，可得lim f(x) 0，由连续性得f (0)0，由此又得x 0 xx 0f (0) lim 他迴 1计卫凶 0，由f(0)f(1) 0及题设条件知f(x)在［0,1］x 0 x 0 x 0 x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点c (0,1)，使得f (c)0，又因为f (0) f (c) 0，并由题设条件知f (x)在［0,c ］上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间 (0,1)内至少存在一点，使得f ( ) 0.2、设f(x)在［0, a ］上连续，在(0,a)内可导，且 f(a) 0,证明：存在一点 (0, a)，使得 f( ) f ( )0.证：分析：要证结论即为：［xf (x)］|x 0.令F(x) xf (x)，贝U F(x)在［0, a ］上连续，在(0,a)内可导，且 F (0) F(a) 0，因此F(x) xf (x)在［0,a ］上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,a)，使得F() 0 ,即 f ( ) f ( ) 0.注1:此题可改为：设f (x)在［0,a ］上连续，在(0,a)内可导，且f (a) 0,证明：存在一点 (0, a)，使得nf( ) f ( ) 0.分析：要证结论nf( ) f ( ) 0等价于n n 1f ( ) nf ( )0 (给nf( ) f ( ) 0 两端同乘以n 1),而 n n 1f ( ) n f ( ) 0 即为［x nf (x)］x 0.故令F (x) x nf (x)，则F (x)在［0, a ］上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论 . 注2：此题与下面例题情况亦类似：设f (x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 0 , x (0,1)，有f (x)0 ,证：n N , (0,1)，使得比°f(1―' 成立•& Xf叫0 , f (1) 0,试证：在区间(0,1)内至少f( ) f(1 )分析: 要证结论可变形为nf ( )f (1 ) f ( )f (1 )0，它等价于nf n 1( )f ( )f(1 ) f n( )f (1 ) 0(给nf ( )f (1 ) f( )f (1 ) 0两端同乘以f n1() )而nf n 1( )f ( )f(1 ) f n( )f (1 ) 0 即为［f n(x)f(1 x)］|x 0，用罗尔中值定理•以上三题是同类型题•13、已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0) f(1) 0 , f(^) 1，证明：1(1 )存在一点(一,1)，使f ( )2(2)存在一点(0,)，使f ( ) 1.(3)存在一点X。

中值定理证明考研题合集

中值定理证明考研题合集
中值定理证明是数学分析中的一个重要内容，也是考研数学中的常见考点。

以下是一些可能出现在考研数学中的中值定理证明题目：
1. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b)。

证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。

2. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f'(x) > 0。

证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

3. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。

证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = f(ξ)。

4. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且存在c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。

证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = (b - a)f'(ξ)。

5. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且存在m ∈ (a, b)，使
得 f'(m) = 0。

证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。

以上题目可以用来检验考生对于中值定理的理解和应用能力。

中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍一．积分法例设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅分析将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-⋅--⋅=左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且22()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取2222()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心（2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈，使得 22()()()2f b f a f b a ξξ'-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅ 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章）例设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+=分析本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的，解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子因为任给一个()0x ϕ≠，有2()()0()[2()()]0f f f f ξξξϕξξξξ''+=⇔+=从而求证式等价于2()()()()0f f ϕξξϕξξξ'+=上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()()2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ϕϕ'''=+'=+令 ()()()2()()()()2u x u x u x x u x x x x xϕϕϕ''==⇒== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例）所以 ()()222u x u x du u dudx x dx x u x '=⇒==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =⇒=+⎰⎰ 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =证明：作辅助函数2()()F x x f x =, 2()2()()F x xf x x f x ''=+22(0)0(0)0(1)1(1)0F f F f =⋅==⋅=从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得22()()0f f ξξξξ'+=又01ξ<<，上式两边同除ξ得 2()()0f f ξξξ'+= 说明：（1）微分方程是一阶微分方程()()2u x u x x '=，通过分离变量法求解的本题也可避开微分方程上式化为()2(ln ())(2ln )()u x u x x u x x'''=⇒= 两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即ln ()2ln ln u x x c =+ 2()u x cx = 右端加上ln c 只是为了去对数方便，没有什么特殊含义（2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式2()()0f f ξξξ'+= 将ξ替换成x ，考虑方程2()()0f x xf x '+= 得()2(ln ())(2ln )ln ()2ln ln ()f x f x x f x x c f x x'''=-⇒=-⇒=-+ 去对数得，2()x f x c = (一定要让右端化为常数) 令左端为()F x ，即2()()F x x f x =例：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，满足：()()0f f ξξξ'+=分析：（1）令()()()F x u x f x =，()()()()()()1()F x u x f x u x f x x f x f x '''=+'=⋅+⋅ ()f x 与()f x '的系数对应成比例2()()()[ln ()][]1()2u x u x u x x x u x xu x ''''=⇒=⇒= 2l n ()l n 2xu x c =+ 取1c =，得22()x u x e = 辅助函数为22()()x F x e f x = （2）较为快捷的方式，将求证式中的ξ换成x ，考虑方程()()0xf x f x '+=2()[ln ()][]()2f x x x f x f x '''=-⇒=- 2l n ()l n 4x f x c ⇒=-+ 得 22()x e f x c = 左端为()F x ，即22()()x F x ef x =证明：辅助函数22()()x F x e f x =， 2222()()()x x F x xef x e f x ''=+ 12(0)(0)0(1)(1)0F f F e f ==== 从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得2222()()0e f e f ξξξξξ'+=化简得()()0f f ξξξ'+=。

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