一概率论的基本概念

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第一章随机事件与概率
第一节随机试验与随机事件第二节随机事件的概率第三节古典概型第四节条件概率及事件的独立性

第一节随机试验与随机事件 1、随机试验
自然界有一类现象在一定条件下必然发生，称为确定性现象；而在一定条件下，通过试验或观察会发生多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。
表示事件“A1、A2 、 …诸
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事件A发生且事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。显然有：
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。基本事件是两两互斥的。
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60 AU B S且AI B
则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。
（3） A，B，C至少有一个事件发生： AU B UC.
（4） A，B，C至少有两个事件发生： (AB) U(AC) U(BC).
（5） A，B，C恰好有两个事件发生： ( ABC) U( AC B) U(BC A).
（6） A，B，C恰好有一个事件发生： ( ABC) U(B AC) U(C AB).
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历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.
实验者德·摩根蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
k 1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5006
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）（4）德·摩根律（De Morgan）：
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例1 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：
（1） A发生而B与C都不发生： ABC 或 A B C 或 A (B UC).
（2） A，B都发生而C不发生： ABC 或 AB C.
可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.
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大量试验证明当重复试验的次数 n很大时,频率逐渐稳定于某某个常数，这种“频率稳定性”就是通常所说的统计规律性。
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2、概率的公理化定义定义2
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概率的性质：
对于任意的事件A，B只有如下分解：
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AB
S
A B
AB
S
AB
A B
AB
S
A B
S
A B
A B
S
A
A B
B
S
A
A
S
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事件的运算律（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA （2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
2、样本空间与随机事件
样本空间：随机试验E所有结果的集合称为样本空间，记为S，随机试验的每一个可能结果称为样本点。注：样本空间的元素是由试验目的确定的，
一般试验目的不同，其样本空间也不一样。
随机事件：一般的，随机试验的样本空间的子集为随机事件，简称事件。用大写字母A,B,C….表示。在每次试验中当且仅当该子集中的一个样本点出现，称这一事件发生。随机事件中有两个极端情况： •每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件S。 •每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。基本事件是只包含一个样本点的事件。必然事件包含所有样本点，它就是样本空间S。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。
（7） A，B至少有一个发生而C不发生： ( A U B)C.
（8） A，B，C
A U B UC 或 ABC.
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第二节随机事件的概率
1、频率
定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值k/n 称为事件A在n次试验中发生的频率，记为
频率具有下列性质： (1)对于任一事件A，有 (2)
下面举一些随机试验的例子. E1 ：一个盒子中有十个完全相同的球，分别标号 1,2...,10.从中任取一球。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数。 E3：记录某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数. E4：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.
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3、事件之间的关系及其运算 10 A B
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指
事件A发生必然导致事件B发生.
20 A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B.
事件A1，A2，…An 的和记为
,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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对随机现象进行的观察或实验称为试验。
若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。
可列个事件A1 , A2 , … , An 的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为
。
在可列无穷的场合，用事件同时发生。”
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练习
1、比较下列四个数的大小，用不等号连接
P(A), P(A B), P(AB), P(A) P(B)
2、P(A) 2 , P(B) 4 , P(AB) 4 ,求P(A B), P(A B), P(AB)
5
5
15
3、一飞机投弹炸地面目标，已知飞机投一弹命中地面第1,2,3号目标的概率分别为0.01,0.02，0.03. 求该飞机投一弹没有命中目标的概率。