全国通用版中考数学：勾股定理有关的几何证明(一)—详解版

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2．

证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，

又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．

【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．

【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定

理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2，

1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四

边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．

证明：连接CE，

∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，

∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，

EC=BC，

又∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2

∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形．

2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．

证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；

在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，

∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，

则AB2+CD2=AC2+BD2．

3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．

证明：作AE⊥BC于E，如图所示：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

1BC，

∴BE=CE=AE=

2

∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2．

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．

证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，

∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，

∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，

∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2．

5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．

证明：连接BD，

∵D是AC的中点，∴CD=AD．

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）

=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．

【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．

∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，

∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，

∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，

∴∠AFB=∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，

在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，

∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．

【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．

证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．

又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．

又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①

∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②

∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，

MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③

把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．

1.如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．

证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则

AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，

∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）

2=MC2+2MC•DM+DM2，

CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，

∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，

∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．

2.在△ABC中，AB=AC．

（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？

画出图形，写出你的结论．（不必证明）