空间向量的应用专题训练卷(含解析)

空间向量的应用专题训练卷
一、单选题
1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
6
3
B ．
102
C ．
155
D ．
105
2．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．
1
6
B ．
14
C ．16
-
D ．14
-
3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）
A 6
B 26
C 15
D 10 4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
2BC BD ==
AB 与平面ACD 所成角的正切值为
1
2
，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A 3B 23
C 5
D 25
5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）
A ．
215
B ．
25
C ．
35
D ．
45
6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）
A ．cos cos αβ=
B ．sin sin αβ=
C ．cos cos t αβ>
D ．sin sin αβ<
7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<<
B ．213θθθ<<
C ．321θθθ<<
D ．231θθθ<<
8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D
与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）
A ．2123,θθθθ<<
B ．2123,θθθθ><
C ．2123,θθθθ<>
D ．2123,θθθθ>>
9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2
γ
βα≤≤
B ．2
γ
βα≤
≤ C ．2
γ
αβ≤≤
D ．2
γ
αβ≤
≤
10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为2
3
，则该几何体的体积为（ ）
A ．16+8π
B ．32+16π
C ．32+8π
D ．16+16π
二、多选题
11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A ．,,,A
B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{}
,,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{}
,,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3
n =-，则直线//l α
D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5
12．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．()
10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°
D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为
63
13．（2020·福建厦门�高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
B G B
C ⊥ B ．平面AEF 平面111AA
D D AD =
C ．1//A H 面AEF
D ．二面角
E A
F C --的大小为
4
π
14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为1
2 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为
32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134
三、单空题
15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛
⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，A α∈，P α∉，且31
,,222PA ⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝
⎭
，则直线PA 与平面α所成的角为______． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，
(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.
四、双空题
18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，
AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.
19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．
20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.
21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2
ASB BSC CSA π
∠=∠=∠=
，M 、N 分别是AB 和
SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.
五、解答题
22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，
H 为平面11AA D D 内的点.
（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离.
23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.
（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离.
24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面
PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.
（1）求证：BC PD ⊥；
（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值； （3）求点N 到平面MBD 的距离.
25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵
111ABC A B C -中,AB AC ⊥.
(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;
(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.
26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，
222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.
（1）证明：AE ⊥平面PCB ；
（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.
27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．
（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD
（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值
1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
6
3
B ．
102
C ．
155
D ．
105
【答案】D 【解析】
以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),
1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110
cos ,58
BC AC ∴<>=
=⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为10
5
. 故选：D ．
2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．
1
6
B ．
14
C ．16
-
D ．14
-
【答案】A
如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长
为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，
，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则111
11
cos ,666MN OD MN OD MN OD ⋅=
=
=⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16
,故选A ．
3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）
A ．
6
3
B ．
6
5
C ．
155
D ．
105
【答案】D 【解析】
以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）
∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．
∴1410cos ,558
BC AC 〈〉=
=
⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为10
5 4．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
2BC BD ==，AB 与平面ACD 所成角的正切值为
1
2
，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A ．
32
B ．
23
3
C ．
55
D ．
25
5
【答案】D 【解析】
以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设BA
t ，0t >，()0,0,0B ，)
2,0,0C ，()
2,0D ，0,0,A t .
0,0,AB t ，2,0,CA
t ，2,2,0CD
.
设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，
则20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，
故21,1,n t ⎛= ⎝⎭
.
因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为1
2
， 所以直线AB 与平面ACD 5. 即2
25
5211AB n
AB n
t t ⋅=
=
⋅⋅++
，解得2t =.
所以平面ACD 的法向量21,1,
2n ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
， 故B 到平面ACD
的距离为
22551
112
AB n d n
⋅==
=
++
.
故选：D
5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）
A ．
21
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
【答案】B 【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2
A D M B
11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11
(1,0,)2
=MB
设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =
则1110=01
002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩
令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，
11
12sin 55
52
θ⋅=
=
=
⋅⨯
m MB m MB
故选：B
6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）
A ．cos cos αβ=
B ．sin sin αβ=
C ．cos cos t αβ>
D ．sin sin αβ<
【答案】B 【解析】
连接111,AB B D ,如图，
在长方体内知12//AB D C ,
所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，
因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，22
22A D A B A =
所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，
则2AB →，1B C →
可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，
又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1
B C →
的夹角为60︒， 所以60β︒
=或120β︒=，
即sin sin αβ=， 故选：B
7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线
1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为
3θ，则（ ）
A ．123θθθ<<
B ．213θθθ<<
C ．321θθθ<<
D ．231θθθ<<
【答案】D 【解析】
设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()10,0,2A ，(
)
1
3,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()0,0,0A ，
()0,2,0AC =，131
,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，(
)
113,1,0=A B ，
直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，
1111cos 25
B D A
C B
D AC
θ⋅∴=
=
⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，
1212sin 5
BD n BD n
θ⋅∴=
=
⋅
2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，
则11130
312022m A
B a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-
+-=⎪⎩
，取a =33,3,2m ⎛
⎫=-- ⎪⎭，
二面角111C A B D --的平面角为3θ，
33
2cos 57m n m n
θ⋅∴=
=
=⋅
231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<
故选：D
8．（2020·浙江衢州 高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为
3θ，则（ ）
A ．2123,θθθθ<<
B ．2123,θθθθ><
C ．2123,θθθθ<>
D ．2123,θθθθ>>
【答案】A 【解析】
由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，
以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()10,0,2A ，(
)
1
3,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫
⎪⎪⎝⎭
，()0,0,0A ，
()0,2,0AC →
=，131
,222B D →
⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，)
113,1,0A B →=
，
直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，
111cos 25
B D AC
B D AC
θ→→
→
→
⋅∴=
=
⋅
直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →
=，
121sin 5
B D n
B D n
θ→→
→
→
⋅∴=
=
⋅， 2
22cos 155θ⎛⎫
∴=-= ⎪
⎝⎭
设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →
=，
则1113031
2022m A B a
b m B D a b
c ⎧⋅
=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩
， 取a =
33,2m →
⎫=--
⎪⎭
， 二面角111C A B D --的平面角为3
θ， 由图可知，3θ
为锐角，即30,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 33
cos m n
m n
θ→→
→
→
⋅∴=
=
=⋅ 231cos cos cos θθθ>>，
由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，
∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.
故选：A.
9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2
γ
βα≤≤
B ．2
γ
βα≤
≤ C ．2
γ
αβ≤≤
D ．2
γ
αβ≤
≤
【答案】A 【解析】
因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，
如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：
因为::1:3:1AC AB BD =，
所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，
则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，
,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，
故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311
cos α
11
113CD AB x CD AB
x x
， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ
90，
γ452
，γ2cos
22
， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β， 故110
cos β
11CD CB CD CB ， 110311211
2
， 所以2
γ
βα≤≤，
故选：A.
10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为2
3
，则该几何体的体积为（ ）
A ．16+8π
B ．32+16π
C ．32+8π
D ．16+16π
【答案】A 【解析】
设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，
以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则
()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，
所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-， 由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为
23
， 所以
2
122
1
23
88BD AB h BD AB h h ⋅=
=
⋅+⋅+， 即22
2
2,16,483
h h h h ===+. 所以几何体的体积为211
2442416822
ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A
二、多选题
11．（2019·江苏徐州 高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A ．,,,A
B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{}
,,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3
n =-，则直线//l α
D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5
【答案】ABD 【解析】
对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则
,,,A B M N 共面，故A 对；
对于B ，已知{}
,,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{}
,,a b m 也是空间的基底，故B 对；
对于C ，因为2
1(2)+00+3=03
e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022
==
⨯l 与平面α5
，故D 对； 故选：ABD ．
12．（2020·山东平邑 高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．()
10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6
【答案】AB 【解析】
以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则111
11cos602
AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=
(
)
2222
1111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅
1
1113262
=+++⨯⨯=
而()
()
(
)
2
2
22
2222AC
AB AD AB AD AB AD =+=++⋅
121122362⎛
⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝
⎭， 所以A 正确.
()()()
11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-
22
11AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.
向量11B C A D
=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.
所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()2
1
1||=2AD AA A B B D =
+-，()2
||=
3AC AB AD =
+
()()1
1
1AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅
所以11116
cos ===6
||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，
，所以D 不正确.
故选：AB
13．（2020·福建厦门 高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、
1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
B G B
C ⊥ B ．平面AEF 平面111AA
D D AD =
C ．1//A H 面AEF
D ．二面角
E A
F C --的大小为
4
π
【答案】BC 【解析】
由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；
连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF
平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：
()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，
设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，
则00
n AF n EF ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，即20
x y x z -+=⎧⎨
-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，
得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，
所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112
cos ,3
AA n AA n AA n
⋅<>=
==
⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4
π
，所以D 不正确. 故选：BC.
14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为1
2 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为
32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134
【答案】BC 【解析】
如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =； 则123
AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()
10,2,23AC =-．
底面ABC 的其中一个法向量为：()
0,0,23m =，
1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111
123
cos ,2423
m AC m AC m AC -<>=
=
=⨯⨯，； A ∴错B 对．
11A B 的中点K 的坐标为3(2
，1
2-，0)；
∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,022KC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭；
1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：111111
33
cos 4,43
AC KC AC KC AC KC <>=
=
=⨯⨯，； 故C 对D 错； 故选：BC ．
三、单空题
15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛
⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，A α∈，P α∉，且31
,,222PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则直线PA 与平面α所成的角为______．
【答案】π3
【解析】
设直线PA 与平面α所成的角为θ，
则s 102342
131022444in cos n PA n PA
θθ==
=
--⋅=
⋅++++， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3
． 故答案为：
π3
． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 【答案】
16
【解析】
设AB =2,作CO ⊥面ABDE
OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，
CH =OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
3,11
(),22
1
2AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM
====+=-∴⋅=
故EM ,AN 1
16
=。

17．（2019·安徽埇桥 北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，
(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.
【答案】5
【解析】
两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →
=-
， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，
2cos
a b
a b
θ
→→
→→
=
=
=
=
这两个平面所成的锐二面角的余弦值为
5
. 故答案为：
5
. 四、双空题
18．（2020·浙江宁波 高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，
AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.
【答案】
()
1
22
a b c +-. 16.
【解析】
画出对应的正四面体,设棱长均为1则
(1) ()()
11
222
DM DA AM c a b a b c =+=-+
+=+-. (2)由(1) ()1
22DM a b c =+-,又()
11222
CN AN AC a b a b =-=-=-. 又1
2
a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.
设异面直线DM 与CN 所成角为θ则()()2222cos 33
22a b c a b DM CN DM CN
θ+-⋅-⋅=
=
⋅⋅ 22
1
11212
222412
=
3
36
a a
b a b b a
c b c -+--+-⋅+⋅--⋅+⋅=
=
. 故答案为：(1).
()
1
22
a b c +-. (2). 16
19．（2018·北京海淀 高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．
【答案】136,4⎛- ⎝⎭
26
由题意易得：
60,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,,026B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，136,,4126M ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
， BCD 的法向量为(0,0,1)，
30,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1536,,4126DM ⎛⎫=--
⎪ ⎪⎝⎭, 2
66
sin 153616126θ=
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故答案为136,,4126⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
，269 20．（2020·山东德州 高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.
【答案】
3π 3
直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，
1CC BC ∴⊥，1CC AC ⊥，AC BC ⊥
如图以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,0C ,()10,0,1C ，()10,1,1B ，()11
,0,1A ()10,1,1BC ∴=-,()111,1,0A B =-，()1,1,0AB =-
111111111
1
cos ,2
BC A B BC A B BC A B ⋅∴<=
=⋅> 所以异面直线1BC 与11A B 所成角为
3
π； 设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z =
则100n BC n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00
x y y z -+=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()1,1,1n = 显然平面1CBC 的一个法向量为()1,0,0m =
13
cos ,3
31n m n m n m
⋅<>=
=
=⨯⋅ 故二面角1A BC C --的余弦值是
33
故答案为：
3π；
3
3
21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2
ASB BSC CSA π
∠=∠=∠=
，M 、N 分别是AB 和
SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.
10
4π
【解析】
因为2
ASB BSC CSA π
∠=∠=∠=
，所以以S 为坐标原点，SA,SB,SC 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐
标系，设1SA SB SC ===，则11
1(,,0),(0,1,)222
SM BN ==-
111(,,0)(0,1,)
10222cos ,515
24
SM BN ⋅-<>==-所以异面直线SM 与BN 10， 平面SAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 设平面SCM 的一个法向量为2(,,)n x y z =， 则由220,0,n SC n SM ⋅=⋅=得11
0,
022
z x y =+=∴可取2(1,1,0)n =-， 121223cos ,,242
n n n n π
<>=
=-∴<>=
因为二面角A SC M --为锐角，所以二面角A SC M --大小为
4
π
故答案为：105
，4π 五、解答题
22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.
（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）H 是1AA 的中点；（2）1 【解析】
以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：
由棱长为1可得()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，()11
,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，由E 是棱11A D 的中点可得1,0,12E ⎛⎫
⎪⎝⎭
， （1）由H 为平面11AA D D 内的点可设(),0,H m n ，则()1,1,1C H m n =--，
()1,1,0DB =，1,0,12DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
若1C H ⊥平面BDE ，
则11101102C H DB m C H DE m n ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，解得1
12m n =⎧⎪⎨=⎪⎩即11,0,2H ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 所以H 是1AA 的中点；
（2）由（1）知平面DBE 的一个法向量为111,1,2n C H ⎛
⎫==-- ⎪⎝⎭
， 连接1BC ，可得1(1,0,1)BC =-，
所以1C 到平面DBE 的距离11121||
1114
BC n
d n --
⋅=
==++
.
23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.
（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2310
【解析】
（1）证明：连接1AB 交1A B 于点E ，连接DE ，则点E 为1A B 中点， 又D 是AC 的中点，所以1//DE B C ， 因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ；
（2）解：因为1//B C 平面1A BD ，所以1B C 到平面1A BD 的距离就等于点1B 到平面1A BD 的距离. 以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()
10,22,3B ，()
0,22,0B ，()11
,0,3A -， ()10,22,3DB =，()
0,22,0DB =，()11,0,3DA =-.
设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，
所以1n DB n DA ⎧⊥⎪⎨
⊥⎪⎩，即100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22030x z ⎧=⎪⎨
-+=⎪⎩，
，
令1z =，则()3,0,1n =. 所求距离为1
310
10
n DB d n
⋅=
=
.
24．（2019·天津南开 崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.
（1）求证：BC PD ⊥；
（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值； （3）求点N 到平面MBD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）35
（35
【解析】
（1）证明：由题意可得：侧面PCD ⊥底面ABCD ， 取DC 中点O ， 因为2PC PD ==， 则PO ⊥交线CD ， 所以PO ⊥底面ABCD ，
如图，以OC ，OP 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，
则(2A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，(0D ，1-，0)，(0P ，03)， (1N ，1-，0)，
则(2,0,0),(0,1,3)BC PD =-=--，
则(2)00(1)0(3)0BC PD ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=， 所以BC PD ⊥；
（2）解：13
(1,1,3),(2,,)22
PN BM =--=--
设异面直线BM 与PN 所成角为θ， 则13|2|
322cos ||5||||
55
PN BM PN BM θ-+
-==
=.
所以异面直线BM 与PN 所成角的余弦值为
3
5
； （3）解：因为13
(2,2,0),(2,,)22
BD BM =--=--.
设平面MBD 的一个法向量为(m x =，y ，)z ，
由·0·0m BD m BM ⎧=⎨=⎩，得220
13
2022x y x y z --=⎧⎪⎨--+
=⎪⎩
， 取1y =-，得1x =，3z =-. 所以(1,1,3)m =--， 又(1,0,0)DN =，
所以点N 到平面MBD 的距离||15
||55
m DN d m =
==.
25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111
ABC A B C -
中,AB AC ⊥.
(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;
(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.
【答案】(1)证明见解析15. 【解析】
(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC
∴1A A AB ⊥ 又AB AC ⊥，1A A
AC A =
∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．
(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴1111
32
C ABC V C C AB AC -=
⋅⋅⋅ 22112
3323
AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅= 当且仅当2AB AC ==
11
3
C ABC V AB AC -=
⋅⋅取最大值 ∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC
∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系
(
)
2,0,0B
，()
0,2,0C ，()10,0,2A
()1
2,0,2A B =-，()2,2,0BC =-
，()
110,2,0AC =
设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =
由1110
n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()122,1n = 同理得(
)
22,0,1n =
∴12121215
cos ,5
||||
n n n n n n ⋅=
=
⋅ 二面角11C A B C --的余弦值为
155
．
26．（2019·浙江衢州 高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，
222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.
（1）证明：AE ⊥平面PCB ；
（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.
【答案】（1）见解析，（2 【解析】
（1）证明：因为AP AC =，E 为线段PC 的中点， 所以AE PC ⊥，
在等腰梯形ABCD 中，作CF AB ⊥于F ， 则由222AB CD BC ===得1
2
FB BC =， 所以1
cos 2
BF CBA BC ∠=
=， 所以60,30CBA FCB ∠=︒∠=︒， 因为2AB BC =，所以
1
2
BC BF AB BC == 所以BCF △∽BAC ,所以30BCF BAC ∠=∠=︒， 所以90ACB ∠=︒， 所以AC BC ⊥， 因为PC CB ⊥，PC AC C =，
所以BC ⊥平面PCA ，
因为AE 在平面PCA 内，所以BC AE ⊥， 因为PC BC C ⋂=，,PC BC 在平面PCB 内， 所以AE ⊥平面PCB ；
（2）解：因为2PB =，1BC =，所以PC =
，AP AC ==取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，
因为BC ⊥平面PCA ，所以PM BC ⊥，又BC AC C ⋂= 所以PM ⊥平面ABCD ，
所以如图，以C 为原点，以CA 所在的直线为x 轴，以CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，
则13
(0,1,0),(0,0,0),(
,,0),()2222
A B C D P -，则13(0,,)22DP =，
由（1）知BC ⊥平面PCA ，则平面PCA 的法向量(0,1,0)n =， 设直线DP 与平面APC 所成角为θ，
则1
10
2sin 10102
n DP n DP
θ⋅=
==, 所以直线DP 与平面APC 所成角的正弦值为
1010
27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．
（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD
（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42
7
． 【解析】
（Ⅰ）证明：取PD 的中点N ，连接,CN MN ， 因为M 为PA 的中点，则//MN AD ，且1
2
MN AD =， 又//BC AD ，且1
2
BC AD =
，所以//MN BC ，MN BC =， 所以四边形BMNC 为平行四边形，
所以//BM CN ，CN ⊂平面PCD ，BM ⊄平面PCD ， 所以//BM 平面PCD
41 / 42
（Ⅱ）由题意可知//BC AD ，所以ADP 或其补角为异面直线BC 与PD 所成角， 又AD PD =，PAD △为钝角三角形，所以120ADP ∠=︒，
又平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =，AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ，
以A 为坐标原点，,AD AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,2,0D ，()0,1,1C ，()3,3,0P ， 向量()3,2,1PC =--，()3,3,1PB =--，
设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =
由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30
0z x y
⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，
得平面PBC 的一个法向量为(1,0,3n =，
同理可得平面PCD 的一个法向量为(1,3,3m =--
设二面角B PC D --的平面角为θ， 则27
cos 727m n
m n θ⋅===
则sinθ==
故二面角B PC D
--
的正弦值为
7
42/ 42。