第四章刚体的运动总结

第三章 刚体的运动
一、基本要求
1.了解转动惯量的概念。

2.理解刚体绕定轴转动的转动定律。

3.通过质点在平面内运动的情况理解角动量（动量矩）概念和角动量守恒定律，并能用它分析解决质点在平面内转动时的简单问题。

4.理解刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。

5.理解力矩对刚体所作的功及刚体转动的动能定理。

二、内容提要
1、 基本概念
（１） 刚体及其运动的描述
刚体：固体物件的理想化模型，是指在外力作用下物体的体积和形状不发生变化的物体。

刚体的运动形式：平动和转动，大学物理学主要研究刚体定轴转动的规律。

刚体绕定轴转动时，刚体中所有的质元都绕定轴作圆周运动，可以用圆周运动中的角位置θ、角位移d θ、角速度ω、角加速度β等物理量来描述刚体的运动。

其相互关系为：
刚体的角量描述： 大小：d d t
θ
ω=
方向：d d t
θω=
v r ω=⨯
22
2
d d d d t n t t v r a r a r ωθβωβω===== ω、β是矢量，在定轴转动中用标量来表示，用正负来表示其方向。

（２） 转动惯量
转动惯量：物体在转动中惯性大小的量度。

其定义为：
2i i i
J m r =∆∑
其中i m ∆为刚体中任一质元的质量，i r 为该质元到转轴的距离。

当刚体的质量连续分布的情况下，可以写成积分式：⎰
=m
dm r J 2
转动惯量只与刚体的质量、质量分布及转轴的位置有关。

（３） 力矩
力矩是反映力的大小、方向、和作用点对物体转动的影响，是物体转动状态改变的原因。

力矩是矢量，定义为：M r F =⨯ 大小：θsin Fr M = 方向：垂直于F 和r
所在的平面，用右手螺旋法则来判断。

在定轴转动中，只用量值表示，用正负表示方向。

（４） 定轴转动时的力矩的功
2
1
W Md θθθ=⎰
（５） 角动量（动量矩）
a.质点的角动量为：
p r L ⨯=
其中，r 为质点相对于参考点的位矢，p
为其在该位置处的动量。

角动量为矢量： 大小：θsin rmv L =，其中θ为r 与p （或v ）的夹角，方向：垂直于r 和p （或v
）所在的平面，用右手螺旋法 则。

b.刚体的角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，即：ωJ L = ２、基本规律 （１） 转动定律
刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即：βJ M =
转动定律是刚体定轴转动的基本定律，揭示了力矩的瞬时作用规律。

（２） 角动量定理
作用在物体上的冲量矩等于其角动量的增量，即：
2
1
2211d t t M t J J ωω=-⎰
⎰
21
t t Mdt ：作用在物体上的合外力矩的冲量矩。

对质点而言，力矩和角动量必须以同一点为参考点；对刚体而言，力矩和角动量必须以同一转轴为参考轴。

（３） 角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，即：=ωJ 恒量。

（４） 转动的动能定理
合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

即：
2
1
222111d 22
W M J J θθθωω==
-⎰ 对于包含有转动刚体的系统，机械能守恒定律形式和使用条件与质点系的机械能守恒定
律一样，其刚体的重力势能以刚体质心的重力势能计算。

（５） 平行轴定理
刚体对任意轴的转动惯量等于刚体对通过物体质心并与该轴平行的轴的转动惯量c J 加上刚体的质量m 与两平行轴的距离d 的平方的乘积。

即：2c J J md =+
（６） 正交轴定理
刚体绕与平面垂直的轴线的转动惯量，等于绕以下两条轴线的转动惯量之和。

此两条轴线在刚体所在的平面内；两条轴线过垂直轴和平面的交点；两条轴线互相垂直
三、解题指导
刚体中涉及到的主要定理有三个：转动定律、角动量守恒定律及转动动能定理，因此这章的问题主要有三个类型：瞬时关系、碰撞等系统的合外力矩为零及系统合外力矩不为零的情况下的能量关系。

1． 应用转动定律和牛顿定律解题的一般方法 对于刚体和质点组成的系统的瞬时关系，应用刚体转动定律和质点的牛顿定律解题，步骤如下：
(1) 选择研究对象，将物体隔离。

对质点进行受力分析，并选择方向；对刚体进行力矩分析，并选择正的绕向，使刚体的绕向与质点的正方向保持一致。

(2) 对质点应用牛顿定律，对刚体应用转动定律，列出正确的表达式。

(3) 通过线量和角量关系将刚体和质点联系起来。

(4) 联立方程解题，必要时进行讨论。

2． 应用角动量守恒定律解题的一般方法
刚体和质点组成的系统中出现碰撞或撞击等问题时，如果系统的合外力矩为零，则应用角动量守恒定律解决问题，即21L L =。

有心力作用下的质点对中心的角动量同样守恒。

应用角动量守恒定律的基本步骤如下：
(1) 根据过程的特点，选择研究系统（对象），进行力矩（受力）分析，说明系统满足角动量守恒的条件。

(2) 列出过程始末状态的角动量，列出角动量守恒方程。

(3) 解方程，必要时进行讨论。

3． 应用转动动能定理解题的一般方法 类似杆的转动、盘的转动和刚体与质点组成的系统的问题中有位置的改变量时，经常应用刚体的转动动能定理和质点的机械能守恒定律。

解题的基本步骤如下：
(1) 根据过程特点，选择研究对象，分析质点的力所作的功及刚体力矩所做的功，说明满足机械能守恒的条件。

(2) 列出过程始末状态的能量，分别列转动动能定理
的方程和机械能守恒的方程。

(3) 联立解方程，必要时进行讨论。

[例3-1]如右图一匀质细杆，长为L ，质量为m ，在摩力的力矩阻M 。

擦系数为μ的桌面上转动，求摩擦解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩
小，远离轴的质元受的
m l 图3-1
阻力矩大，
细杆的质量密度 m L
λ=
质元质量 d d m x λ=
质元受阻力矩 d -d M mgx μ=阻 细杆受的阻力矩 d M M =⎰
阻阻
201
d 2
L gx x gL μλμλ=-=-⎰
由细杆的质量 m L λ= 有：
1
2
M mgL μ-阻＝
[例3-2]质量为1m 和2m 两个物体，跨在定滑轮上2m 放在光滑的桌面上，滑轮半径为R ，
质量为M ，求：1m 下落的加速度和绳子的张力1T 、2T 。

解：受力分析，以1m 为研究对象
111m g T m a -= (1) 以2m 为研究对象
22T m a =
(2)
以M 为研究对象
12()T T R J β-= (3)
21
2
J MR =，
而a R β= (4)
联立方程（1）－（4），解得：
1121211212212,
2()2,2
2
m g
a M
m m M
m m g
T M
m m m m g
T M
m m =
++
+=++
=
++
讨论：当0M =时，121212
m m g
T T m m ==+（即当滑轮质量不计时，滑轮两端绳中张力相等）
[例3-3] 长为L ，质量为0m 的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。

棒原来处于平衡状态。

现有一质量为m 的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒的下端相碰（设碰撞完全
弹性）使杆向上摆到60°处,求小球的初速度。

解：第一过程：小球与棒完全弹性碰撞。

ω2003
1
L m mvL L mv +=
2
m 1
m 1T 2
T ,M R
图3-2
22022031212121ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=L m mv mv 第二过程：从碰撞后得到角速度到棒上升到
60=θ处.取棒、地球为系统。

因系统中无外力和非保守内力作功。

所以系统的机械能守恒，即2200)3
1
(21)60cos 1(2ωL m L g m =- 由上列三式解得：gL m
m
M v 61230+=
[例3-4] 质量为m ，长为l 的均匀长杆，一端可绕水平的固定轴旋转，开始时，杆系静
止下垂，如图所示，现有一质量为m 的子弹，以水平速度v 打击杆于A 点，以后就附在杆上随之一起摆动。

设A 离轴的距离为
3
4
l ，求杆向上摆的最大角度。

解：取子弹和杆为一系统，在子弹射入杆前到与杆一起以角速度ω绕O 点转动的过程中，系统所受的重力与固定轴的作用力的合外力矩为零，则系
统的角动量守恒，即：
22313
()434
mvl ml m l ωω=+ 由系统机械能守恒，得：
22121133
(cos )(cos )222244
l l J J mg mg l l ωωθθ+=-+- 其中： 2113J m l =，2
23()4
J m l =
联立解方程组，得：2
54arccos(1)215v gl
θ=-
l
3
4l m v
o
图3-3。