中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案.doc

中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习及答案一、相似

1．如图的中点

1，过等边三角形

M， N，连接 MN ．

ABC 边AB 上一点 D 作交边AC 于点E，分别取BC， DE

（1）发现：在图 1 中，________；

（2）应用：如图2，将绕点 A 旋转，请求出的值；

（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且， M ， N 分别是底边 BC， DE 的中点，若，请直接写出的值．

【答案】（1）

（2）解：如图 2 中，连接AM、 AN，

，

，

都是等边三角形，

，

，，，，

，

，

，

∽，

（3）解：如图 3 中，连接AM、 AN，延长 AD 交 CE于 H，交 AC 于 O，

，，，，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

∽，

，

，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

【解析】【解答】解：（1）如图 1 中，作于H，连接AM，

，，

，

时等边三角形，

，

，

，

，

平分线段DE，

，

、 N、 M 共线，

，

四边形 MNDH 时矩形，

，

，

故答案为：；

【分析】（ 1）作DH ⊥ BC 于 H，连接AM.证四边形MNDH 时矩形，所以MN=DH，则MN ： BD=DH：BD=sin60 ，°即可求解；

（2）利用△ ABC ，△ ADE 都是等边三角形可得AM ： AB=AN： AD，易得∠BAD = ∠MAN ，从而得△ BAD ∽ △ MAN，则 NM： BD=AM：AB=sin60 ，°从而求解；

（3）连接 AM、 AN，延长 AD 交 CE 于 H，交 AC 于 O.先证明△BAD∽△ MAN可得

NM ： BD=AM：AB=sin∠ ABC；再证明△ BAD ≌ △ CAE，则∠ ABD = ∠ ACE ，进而可得∠ABC = 45 ，可求出°答案 .

2．如图， Rt△ AOB 在平面直角坐标系中，已知：B（0，），点OA=3，∠BAD=30°，将△ AOB 沿 AB 翻折，点O 到点 C 的位置，连接A 在 x 轴的正半轴上，CB 并延长交 x 轴于点

D.

（1）求点 D 的坐标；

（2）动点 P 从点 D 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动，当△ PAB为直角三角形时，求 t 的值；

（3）在（ 2）的条件下，当△ PAB为以∠ PBA为直角的直角三角形时，在y 轴上是否存在一点 Q 使△ PBQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由 .

【答案】（ 1）解：∵ B（0，），

∴OB=.

∵OA=OB，

∴OA=3，

∴AC=3.

∵∠ BAD=30 ，°

∴∠ OAC=60 .°

∵∠ ACD=90 ，°

∴∠ ODB=30 ，°

∴=，

∴O D=3，

∴D（﹣ 3，0）；

（2）解：∵ OA=3，OD=3，∴ A（ 3，0）， AD=6，

∴A B=2，当∠PBA=90时°.

∵P D=2t，

∴O P=3﹣2t.

∵△ OBA∽ △ OPB，

2

∴3﹣ 2t==1，解得 t=1，当∠APB=90 时°，则 P 与 O 重合，

∴t=；

（3）解：存在 .

①当 BP 为腰的等腰三角形.

∵OP=1，∴BP==2，

∴Q1（ 0，+2）， Q3（ 0.﹣2）；

②当 PQ2=Q2B 时，设 PQ2=Q2 B=a，

在 Rt△ OPQ2中， 12+（﹣x）2=x2，解得x=，

∴Q2（ 0，）；

③当 PB=PQ 时， Q （ 0，﹣）

4 4

综上所述：满足条件的点Q 的坐标为Q1（ 0，+2）， Q2（ 0 ，）， Q3（ 0.﹣2）， Q4（ 0，﹣） .

【解析】【分析】（ 1）根据已知得出OA、 OB 的值以及∠ DAC 的度数，进而求得∠ ADC，即可求得 D 的坐标；（ 2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；（3）求得 PB 的长，分四种情形讨论即可解决问题.

3．

（1）问题发现：如图① ，

正方形 AEFG的两边分别在正方形ABCD的边 AB 和 AD 上，连接 CF.

①写出线段CF与 DG 的数量关系；

②写出直线CF与 DG 所夹锐角的度数.

（2）拓展探究：

如图②，

将正方形AEFG绕

点

用图②进行说明 .

（3）问题解决

如图③，

A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利

△ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，D 在直线 BC 上运动，连接OE，则在点∠BAC=∠ DAE=90°， AB=AC=4，O 为 AC 的中点 .若点D 的运动过程中，线段OE 的长的最小值.（直接写

出结果）

【答案】（ 1）①CF=

（2）解：如图：

DG，②45

①连接 AC、 AF,在正方形ABCD中，延长CF交 DG 与 H 点，∠CAD=∠BCD=45,

设 AD=CD=a，易得 AC=a=AD,

同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF=AG,

∠CAD=∠FAG,∠ CAD-∠ 2=∠ FAG-∠ 2,

∠1=∠ 3

又

△CAF∽ DAG,