二次函数和三角形最大面积的3种求法

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二次函数与三角形最大面积的3种求法

一．解答题（共7小题）

1．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标

为（3，0）．

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；

（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

3．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

4．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．

二次函数与三角形最大面积的3种求法

参考答案与试题解析

一．解答题（共7小题）

1．（2012•广西）解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），

∴，解得a=﹣1，c=3，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）对称轴为x==1，

令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．

如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．

设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得k=﹣1，b=3，

∴直线AB解析式为y=﹣x+3．

当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．

如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．

S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB

=（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB

=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：

S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，S△ABP取得最大值．

当x=时，y=﹣x2+2x+3=，∴P（，）．

所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．

2．（2013•茂名）

解答：

解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），

∴9a﹣×3+2=0，

解得a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+2，

∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，

∴顶点坐标为（﹣，）；

（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，

与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

又∵当x=0时，y=2，

∴C点坐标为（0，2）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，

则，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

∵S△AMC=S△ABC，

∴点B与点M到AC的距离相等，

又∵点B与点M都在AC的下方，

∴BM∥AC，

设直线BM的解析式为y=x+n，