电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第2章习题解答

代入麦克斯韦第一方程可得 2 ∂D k2 k J= ey ωε − x − y E0 sin ωt − k x x − k y y ∇× H − = ωµ ωµ ∂t
(
)
由此可见， J = 0 的条件是 k x + k y = ω εµ 。
2 2 2
2
I b2 −ex y + ey ( x − d ) 2 2 2 2 2π2 (a − b ) ( x − d ) + y ( x − d ) b2 I yb 2 + − e e d y 2 2 2 2 x 2 2 2π2 (a − b ) (x −d) + y (x − d) + y
ex ∂D ∂ = ∇× H = ∂t ∂x Hx ey ∂ ∂y Hy ez ex ∂ ∂ = ∂z ∂x 0 Hz ey 0 Hy ez ∂ ∂H y ∂H y = −ex + ez ∂z ∂z ∂x 0
而位移电流
x x ππ πH 0 sin sin (ωt − β z ) = ex β H 0 cos cos (ωt − β z ) − ez a a a D 1ππt x x β H0 πH 0 于是有 cos sin (ωt − β z ) + ez sin cos (ωt − β z ) E t ex = = ∇× H d = ∫ 0 a aωε 0 a ε0 ε0 ωε 0 ∂D ππ x x πH 0 而位移电流 Jd = sin sin (ωt − β z ) = ex β H 0 cos cos (ωt − β z ) − ez a a a ∂t
如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为
2π3 R02 ρ S 0 ρS 0 Q = = 3 3 R3 R0 R0 2π/ 3 0 π/ 2 把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为 dr ′ 的球壳产生的电场强度为 ρ dE ( r ) = −ez dr ′ 4ε 0 = ρ




∂B ∂ − = ∇× E = ∂t ∂x Ex
于是有
ex
ey ∂ ∂y Ey
ez
ex
ey 0 0
ez ∂ = ey β E0 sin (ωt − β z ) ∂z 0
∂ = 0 ∂z Ex Ez
B 1 t β E0 H= ey cos (ωt − β z ) = − ∫ ey β E0 sin (ωt − β z ) dt =
2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流 J S = eϕ J S 0 。已知导线的直径为 d ，导线中的电流为 I 0 ，试 求 JS0 。
I0 4I0 = 2 π( d /π 2) d2 4I0 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 J = Jd = S πd 4I0 因此，等效面电流密度为 J S = eϕ πd 2.6 两个带电量分别为 q0 和 2q0 的点电荷相距为 d ，另有一带电量为 q0 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为- q0 时，结果又如何？
µ0
µ0
0
ωµ0
∂D ∂E Jd = = ε0 = −exωε 0 E0 sin (ωt − β z ) ∂t ∂t πx 2.31 已知无源的自由空间内 H ey H 0 cos sin (ωt − β z ) ，其中 H 0 , a, β 和 ω 为常数。试求 E 和 J d 。 = a 解：由于在无源的自由空间 J = 0 ，由麦克斯韦第一方程可得

解：设点电荷的位置分别为 q0 ( 0, 0, 0 ) ， q0 ( a, 0, 0 ) 和 q0 ( 0, a, 0 ) ，由库仑定律可得点 P ( a, a, 0 ) 处的电
1 1 1 q0 + ey E= ex 4π4 2 2 επ 0 4π 2a = (e 2 2 + 1 q0 + ey ) 8 π 2 ε 0a2
那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为
ρ R0 ρ 3ρ E ( r )) = −ez dr ′ = −ez R0 = −ez S 0 ∫ 4ε 0 0 4ε 0 4ε 0
2.14 如题 2.14 图所示， 两个半径分别为 a 和 b ( b > a ) 的球面之间均匀分布着 体电荷，电荷密度为 ρ 0 。两球面的球心相距为 d ，且 d > a 。试求空腔内 的电场。 解： 我们把空腔看成是由电荷密度分别为 ρ 0 和 − ρ 0 的体电荷， 那么在空腔内电场可以看成电荷密度为 ρ 0 、 半径为 b 的大圆球产生的场和电荷密度为 − ρ 0 、半径为 a 的小圆球查收的场的叠加。由高斯定理，大 圆球产生的电场为

2.33 已知无源的自由空间内 = H ex A1 sin 4 x cos (ωt − ky ) + ez A2 cos 4 x sin (ωt − ky ) 试求相应的位移电流密度。 解：由于在无源的自由空间 J = 0 ，由麦克斯韦第一方程可得 ex ey ez ex ey ez ∂D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂H z ∂H z ∂H x 0 = ex = ∇× H = = − ey − ez ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
解：每根导线的体电流密度为
= J
解：设实验电荷 q 0 离 2q 0 为 x ，那么离 q 0 为 d − x 。由库仑定律，实验电荷受 2q 0 的排斥力为
F1 =
实验电荷受 q 0 的排斥力为
1 2q0 4πε x 2
q0 1 4π( ε d −) x 2 q0 1 2q0 1 要使实验电荷保持平衡，即 F1 = F2 ，那么由 = 2 4π4 ) ε d−x ε π(x F2 =
x= 2 2 +1 d = 0.585d 2 2 +1
2
，可以解得
如果实验电荷为 − q 0 ，那么平衡位置仍然为 x = 是排斥力，而是吸引力。
d = 0.585d 。只是这时实验电荷与 q 0 和 2q 0 不
2.7 边长为 a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为 q0 的点电荷，试求第四个顶点上的电场2 I yb 2 e + e d − x y 2 2 2 2 2 2 2π2 (a − b ) (x + d) + y (x + d) + y
2.30 已知无源的自由空间内 = E ex E0 cos (ωt − β z ) ，其中 E0 ， β 和 ω 为常数。试求磁场强度 H 和位移 电流 J d 。 解：由麦克斯韦第二方程可得
(
)
产生的磁场以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到 左腔内 H = H 大 + H 左右 +H
= − =
I −ex y + ey x ) − 2 ( 2π2 2 − b ) ( aπ2
2
I −ex y + ey ( x + d ) 2 (a − b )

解：假设导体中的电流是 + ez 方向的。由于导体的电流密度为 = J 0 I /π2 a 2 − b 2 ，所以可以把空腔看成

那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为 a ， 是两个电流密度也为 J 0 的 −ez 方向的导体柱。
没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律，可以分别得到大圆柱在两个空腔内
ey
ez
ex
ey
ez
∂ ∂ ∂ = ∂y ∂z ∂x H Hy Hz x
∂ ∂H ∂H z 0 = ey x − ∂z ∂x ∂z 0 Hz
k 2E k 2E = −ex z 0 sin (ωt − k x x − k z z ) + x 0 sin (ωt − k x x − k z z ) ωµ0 ωµ0
2
右腔内
H = H 大 + H 左右 +H
I −ex y + ey x ) − 2 ( 2π2 2 − b ) ( aπ2
2
= − =
I b2 −ex y + ey ( x + d ) 2 2 2 (a − b ) ( x + d ) + y
2
I −ex y + ey ( x − d ) 2 2π2 (a − b )
ex ∂B ∂ − = ∇× E = ∂t ∂x Ex ey ∂ ∂y Ey ez ex ∂ ∂ = ∂z ∂x 0 Ez ey 0 Ey ez ∂ ∂z 0


∂E y ∂E y = −ex + ez = −ex k z E0 sin (ωt − k x x − k z z ) + ez k x E0 sin (ωt − k x x − k z z ) ∂z ∂x
(
)
2.32 已知介电常数为 ε ，磁导率为 µ 的空间内
= E ey E0 cos (ωt − k x x − k z z ) 试求：电荷密度 ρ 和电流密度 J ， J = 0 的条件是什么？
解：由麦克斯韦第四方程可得 而由麦克斯韦第二方程可得
ρ = ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = 0
3
于是有 而
B 1 H == −
µ0
µ0
−e ∫ ( ∇ × E ) dt = ωµ
t 0 x