第20章(量子力学基础)
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算量子力学是描述微观粒子行为的一种物理理论，其中波函数态矢量和算符是基础概念之一。
本文将介绍波函数态矢量与算符的运算，探讨它们在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数态矢量在量子力学中，波函数是描述微观粒子在不同状态下的概率幅度的数学表达式。
波函数可以用复数表示，通常用ψ来表示。
波函数的平方的模的立方和为1，表示粒子的全部可能性。
波函数态矢量可以表示为：|ψ⟩波函数态矢量的内积可以用来计算两个不同态矢之间的相似度。
内积的定义如下：⟨φ|ψ⟩二、算符的运算在量子力学中，算符是对态矢量进行操作的数学对象。
算符可以用来描述对某一物理量的测量或变换。
算符的运算可以通过对应的数学表达式作用于波函数态矢量上实现。
1. 线性算符线性算符是量子力学中常见的算符类型。
线性算符满足加法和乘法的封闭性，并遵循线性叠加原理。
具体而言，对于线性算符A，满足以下两个性质：A(α|ψ⟩+ β|φ⟩) = αA|ψ⟩+ βA|φ⟩A(α|ψ⟩) = αA|ψ⟩2. 基本算符量子力学中常见的基本算符有位置算符、动量算符和能量算符。
它们分别用X、P和H表示，对应的数学表达式如下：X|ψ⟩= x|ψ⟩P|ψ⟩= p|ψ⟩H|ψ⟩= E|ψ⟩3. 算符的本征态和本征值算符的本征态表示在特定算符作用下不发生变化的态矢量，相应的本征值是该态矢量所对应的量子力学量的取值。
用A表示算符，本征态矢量记作|a⟩，本征值记作a，那么有以下关系：A|a⟩ = a|a⟩4. 算符的乘积两个算符的乘积可以通过将第一个算符作用于第二个算符及其参数上实现。
例如，对于算符A和算符B，它们的乘积C可以表示为：C = ABC|ψ⟩= A(B|ψ⟩)三、波函数态矢量与算符运算的应用波函数态矢量与算符的运算在量子力学中有着广泛的应用。
1. 波函数的演化通过算符作用于波函数态矢量，可以得到波函数态矢量随时间演化的表达式。
这对于描述粒子在不同时刻的行为具有重要意义。
量子力学基础知识
量子力学基础知识量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它揭示了微观粒子的性质和行为，与经典力学有着本质的区别。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
1. 波粒二象性量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时物理学家们发现光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一观察结果引发了对物质微粒也具有波粒二象性的思考。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
例如，电子和光子既可以像粒子一样在空间中传播，又可以像波动一样干涉和衍射。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由德国物理学家海森堡提出。
它指出，在测量一个粒子的位置和动量时，这两个物理量的精确测量是不可能的。
简而言之，我们无法同时准确地知道粒子的位置和动量。
这意味着测量的结果是随机的，存在一定的误差。
3. 量子态量子力学中，量子态描述了一个系统的所有信息。
量子态可以用波函数表示，波函数是描述粒子在空间中分布和运动的数学函数。
根据波函数的模的平方，我们可以得到一个粒子出现在空间中某个位置的概率。
量子态还包括诸如自旋、能量等其他信息。
4. 测量问题在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量会导致量子态的塌缩，即系统从一个可能的量子态跃迁到一个确定的量子态。
然而，测量结果是随机的，我们只能得到一定的概率性结果。
这与经典物理学中的确定性测量有所不同。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，由奥地利物理学家薛定谔提出。
它描述了量子体系的演化规律，可以用于求解系统的量子态和能量。
薛定谔方程是量子力学的数学基础，可以解释波粒二象性、不确定性原理和量子态等现象。
总结：量子力学是一门奇特而又挑战性的学科，它已经对人类的科学认知产生了深远的影响。
本文简要介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
了解和理解这些基础知识对于进一步深入学习量子力学以及应用量子技术具有重要意义。
考研物理学量子力学基础知识总结
考研物理学量子力学基础知识总结量子力学是现代物理学中的一门基础学科，它研究微观领域中物质和能量的行为。
考研中的物理学科通常包括量子力学的基础知识，下面是对考研物理学量子力学基础知识的总结。
一、波粒二象性量子力学中最基本的概念之一是波粒二象性。
它表明微观粒子既可以表现为粒子，有时又可以表现为波动。
根据不同实验条件下的观测结果，物理学家引入了波函数来描述粒子的行为。
二、波函数和薛定谔方程波函数是用来描述量子体系的数学函数，它可以通过薛定谔方程来求解。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，它描述了量子体系中粒子的运动和演化。
三、量子力学的不确定性原理量子力学的不确定性原理是由海森堡提出的。
它指出，在量子体系中，不能同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
这意味着在微观尺度下，对粒子的测量是具有一定的不确定性的。
四、量子力学的态和算符在量子力学中，态是用来描述物理体系的状态的概念。
态矢量可以用来表示具体的态。
算符则是量子力学中非常重要的概念，它用来描述物理量的操作和测量。
五、量子力学中的量子数和量子态量子力学中的量子数是用来描述量子体系性质和状态的数字。
电子的自旋、原子的能级等都可以用量子数来描述。
量子态是由一系列量子数确定的。
六、量子力学的叠加态和纠缠态量子力学中的叠加态是多个量子态的线性组合，这意味着量子体系可以同时处于多种状态之间。
纠缠态则是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
七、量子力学的量子力学动力学量子力学动力学用来描述量子体系的时间演化。
在量子力学动力学中，态矢量的演化是由薛定谔方程和哈密顿算符确定的。
八、量子力学中的定态和本征态在量子力学中，定态是永不改变的态，本征态是表示具有确定取值的物理量的态。
本征态对应的物理量取值就是相应的本征值。
九、量子力学中的量子隧穿和量子纠缠量子隧穿是指粒子在能量低于势垒的情况下仍然能够穿过势垒。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
量子力学的基础概念
量子力学的基础概念量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论，它构建了一种不同于经典力学的框架，以解释原子、分子、凝聚态物质等微观领域的现象和行为。
本文将介绍量子力学的基础概念，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等内容。
1. 波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一，它表明微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
根据德布罗意假说，所有物质粒子都具有波动性，波长与粒子动量成反比。
这一假说在实验中得到了验证，例如电子衍射和干涉实验。
波粒二象性的存在使得量子力学与经典物理有根本性的不同。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基础，由海森堡提出。
它指出，在对粒子的某一性质进行测量时，无法同时准确测量它的动量和位置。
也就是说，位置和动量的精确测量是不可能的。
不确定性原理改变了我们对物理世界的认识，揭示了微观领域的不可预测性和局限性。
3. 量子态量子态是描述量子系统的状态，通常用波函数表示。
波函数包含了关于粒子位置、动量和其他性质的概率分布信息。
根据量子力学的计算方法，可以通过波函数预测微观粒子的行为和性质。
量子态还包括叠加态和纠缠态等特殊的量子态，它们展示了量子力学独特的特性。
4. 测量在量子力学中，测量是得到粒子性质信息的过程。
与经典物理不同，量子力学中的测量会导致系统塌缩到一个特定的量子态。
这个过程是不可逆的，而且测量结果是随机的。
根据测量理论，只有对某个性质进行测量后，才能确定该性质的具体取值。
总结：量子力学是一门革命性的物理学理论，它揭示了微观世界的本质和行为规律。
通过对波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等基础概念的介绍，我们可以更好地理解和应用量子力学的理论框架。
这些基本概念为我们解释和预测微观粒子的行为提供了扎实的基础，并在现代科技的发展中发挥着重要作用。
量子力学的发展和应用仍在继续，我们对于微观世界的认知也将逐步深化。
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识量子力学是描述物质结构和物理属性的理论，它在20世纪初的时候被开发出来，由于它的成功应用，此后一直是物理学的重要工具。
它不仅可以帮助科学家们能够理解物质的结构，而且可以用来研究物体的行为，甚至在一定程度上预测它们可能发生的事情。
量子力学的基础知识主要包括量子状态、量子场理论、对称性、态密度矩阵、能量层结构、矩阵力学等。
量子状态是量子力学中最基本的概念，它是一个描述原子或分子等物质态的数学表达式。
量子状态可以用于研究物体的不同状态和物理性质，并可以用来预测物质在极其微小的尺度上的行为和属性。
量子场理论是量子力学中最重要的理论，它可以用来描述和解释物质和粒子的行为。
根据量子场理论，一些粒子例如光子和重子之间会存在相互作用，而这种相互作用的本质是自旋极化的实质性的交互作用。
对称性是很多领域的重要概念，也是量子力学中的重要概念。
"对称"指的是某些系统的性质是不变的，这就意味着，当你对系统的某些变量做出改变时，如果另一个变量也发生相应的改变，那么这种系统就是对称的。
态密度矩阵是量子力学中最重要的概念之一，它描述物质结构下的能量变化。
态密度矩阵可以用来表示物质的状态，并可以用来预测物质的性质，而且也可以用来计算物质的各种性质，比如能量、质量等。
能量层结构是量子力学中常用的概念，通过研究可以发现，能量层结构可以看作一个多层结构，上层由更高能量组成，而下层由更低能量组成。
而每一层都存在一定的跃迁规律，这些跃迁规律将决定能量状态的变化。
最后，矩阵力学是量子力学中近年来研究的重要方向，矩阵力学使用数学方法来分析物质的性质、结构和变化，可以用来研究物质的性质，并用来预测物质的性质变化，从而更好地了解物质的结构和行为。
量子力学基础知识
ψ = A exp[i 2π ( − νt )] λ
x
代入， 动波函数： 将 E = hν， p = h / λ代入，得单粒子一维运 动波函数：
2π ψ = A exp[i ( xp x − Et )] h
定态波函数: 定态波函数 ψ = ψ (x, y, z)
(1.2.1)
§1.2
态
量子力学的基本假设
通过本节的学习，我们可以看到微观体系 通过本节的学习，我们可以看到微观体系 区别于宏观体系的两个显著特点： 区别于宏观体系的两个显著特点： ① 量子化 ② 波粒二象性
§1.2
态
量子力学的基本假设
对于一个微观体系， 假定 I 对于一个微观体系，它的状态和有关情况可 来描述。 用波函数Ψ(x, y, z, t) 来描述。Ψ(x, y, z, t) 是体系的状态函 是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。 数，是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。 两粒子体系： 两粒子体系： 平面单色光： 平面单色光： Ψ = Ψ(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t )
§1.1
实 物 微
微观粒子的运动特征
一切微观体系都是粒性和波性的对立统 一体。 一体。 E = hν，p = h/λ，两式具体揭示了波 性和粒性的内在联系：等式左边体现粒性， 性和粒性的内在联系：等式左边体现粒性， 右边体现波性；它们彼此联系，互相渗透， 右边体现波性；它们彼此联系，互相渗透， 在一定条件下又可互相转化， 在一定条件下又可互相转化，构成矛盾的对 立统一体。 立统一体。
∆ z ⋅ ∆p z ≥ ℏ / 2
h ℏ = 2π
上式表明：对于微观粒子的坐标描述得愈准确（ 上式表明：对于微观粒子的坐标描述得愈准确（即 坐标不确定量愈小），其动量的描述就愈不准确（ ），其动量的描述就愈不准确 坐标不确定量愈小），其动量的描述就愈不准确（即动 量的不确定量愈大）。反之，动量的描述愈准确， ）。反之 量的不确定量愈大）。反之，动量的描述愈准确，坐标 的描述就愈不准确。 的描述就愈不准确。 测不准关系的产生来源于物质的波粒二象性。 测不准关系的产生来源于物质的波粒二象性。 的同时测定， 对于能量 E 和时间 t 的同时测定，有类似的不确定 关系： 关系： ∆E ⋅ ∆t ≥ ℏ / 2 (1. (1 1.5)
量子力学基础
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。 区别 宏观物体：讨论它的位置在哪里 宏观物体：讨论它的位置在哪里 位置 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 几率
波函数的性质
(1) 波函数具有归一性 粒子在整个空间出现的几率：W = ∫ dw = (2) 单值性： 单值性： (3) 连续性 (4) 有限性 波函数的统计解释(玻恩诠释 波函数的统计解释 玻恩诠释) 玻恩诠释
不确定关系
ℏ ∆X ⋅ ∆Px ≥ h ∆X ⋅ ∆Px ≥ 2 ∆t ⋅ ∆E ≥ h ℏ ∆t ⋅ ∆E ≥ 2 尔格秒)，因而在宏观 ℏ 是一个小量(1.05 × 10 −27 世界中，不能得到直接体现。
假如：X的位置完全确定，即∆X → 0 ，则粒子的 动量就完全不能确定，即∆Px → ∞ ， 假如粒子处于 Px 数值完全确定的状态时( ∆Px → 0 ) ，则无法在X方向上把粒子固定住，即X的位置是 完全不确定的。
若体系具有一系列不同的可能状态， 若体系具有一系列不同的可能状态，{Ψ1, Ψ2···}， } 则它们的线性组合Ψ=C1Ψ1,+C2Ψ2+··· 也是该体系的 则它们的线性组合Ψ 一个可能的状态。其中C 为任意复常数。 一个可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。 为任意复常数 态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律。 （而不是几率的相加律）
量子学说
能量量子化(能量子)的观点违背日常生活经 验，当时没有被人接受，而普朗克本人也 踌躇不前。 其实，从这个假说出发，如果再向前一步 ，就可以得出电磁场能量具有不连续性的 结论，甚至可以得出电磁场包括光在内还 有粒子性的结论，但他没有迈出这关键的 一步。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学的基础理论
量子力学的基础理论量子力学是一门描述原子和分子等微观物体行为的理论，它提供了一种新的描述物质运动方式的框架，引领了现代物理学的发展。
在20世纪初，物理学家发现了一些实验违背了经典物理学的基本理论，这些实验结果推动了量子力学的发展。
量子力学的基础理论有三个方面，分别是波粒二象性、不确定关系和量子纠缠。
本文将重点介绍这三个方面的基础理论。
波粒二象性波粒二象性是指物质具有波动性和粒子性两种本质特征。
在物理学中，波动性和粒子性是互相排斥的概念，因此波粒二象性的存在对物理学的观念体系带来了巨大的冲击。
根据量子力学的理论，微观粒子（如电子、光子等）具有同时存在波动性和粒子性的特征。
波动性是指物质通过波的传播方式进行运动的一种特性。
光、电磁波等都是具有波动性的物质，它们能够传播，具有频率和波长等参数。
而粒子性则是指物质的一种离散化状态，例如一个电子、一个质子等都是原子微观粒子的具体表现。
光子是典型的具有波粒二象性的例子，实验证明，光子在表现为电磁波时，具有光速、频率和波长等特性，但在一些情况下，它又表现出光子的粒子性，例如光电效应等现象。
其他粒子也表现出了波粒二象性，例如电子在光栅上的衍射实验中，实验证明电子也具有波动性。
不确定关系不确定关系是指对于粒子的某些性质，如位置和动量，我们无法同时精确地进行测量。
这是由于量子力学的公理确定的基本关系，也称为测不准原理。
根据不确定关系的原理，若对微观粒子某一性质进行测量，另一个性质将变得不确定。
例如，在对电子测量其位置的同时，它的动量就会变得不确定。
或者在对电子测量其动量时，其位置也将变得不确定。
由于这种原理存在，当精确地知道宏观物体的位置和速度时，我们就无法确定粒子的位置和动量，因此也不可能精确地预测微观粒子的运动状态。
量子纠缠量子纠缠是量子物理学中的一个重要现象，它是指两个粒子之间有一种非常奇特的联系。
这种联系不是通过传统的物质流动、电磁场等方式实现的。
它的本质是非局域的，一旦发生，两个粒子之间将会产生不可分割的联系，不管它们相隔多远，这种联系都不会随着距离的增大而减弱。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
第20章(5)-四个量子数
出现对称的 两条细线? 奇怪！
l 0
电子的自旋
怎样解释这一奇怪的现象呢？
美国物理学家克罗尼格（R.L.Kroning) 提出电子绕自身的轴自旋的模型,并作了一 番计算.并急忙去找泡利,但遭到泡利的强 烈反对,并对他说:“你的想法很聪明,但大 自然并不喜它”.因泡利早就想到过这一模 型,并计算出电子速度要超过光速。所以必 须放弃。
分壳层
角量子数( l)
S 0
p 1
d
2
h
5
角动量(L)
0
2
6 12 20 30
3、磁量子数 ml
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴方向,则角动量在Z轴上的分量:
LZ ml
ml 0. 1. 2. 3 l 称为“磁量子数” 或“轨道磁量子数”
LZ 0,,2
N 4 Nn 2 8 18 32 各支壳层最多可容纳的电子数： (2l 1) 2 p d 支壳层符号 s f 3 0 1 2 角量子数 l 2 10 14 6 Nl
例碳原子：原子系数为6，核外有6个电子
O 5 50பைடு நூலகம்
g 4 18
P 6 72
h 5 22
第一壳层最多只能容纳两个电子。余下4个电子填充第 二壳层，第二壳层的s态仅级容纳两个电子，余下电子 2 填充在2p能级： 2 2
32 能有的电子数为___________个．
6. 主量子数n = 2的量子态中，角量子数l的可能取值为 ____________；自旋量子数ms=1/2的量子态中，能够填充的 0，1 4 最大电子数为__________，并写出。
S
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克 和高斯密特（G.E.Uhlenbeck and S.A.Goudsmit)在不知上 述情形下，也提出了同样的想法，并写了一篇论文，请埃 斯费斯特推荐给“自然”杂志。并将论文寄出。接着又去找 洛仑兹，洛仑兹热情地接待了他们。但一周后，洛仑兹交 给他们一叠稿纸。并告诉他们，如果电子自旋，其表面速 度将超过光速，但论文已寄出，他们后悔不已。
量子力学基础概念
量子力学基础概念量子力学是描述微观世界的一门物理学理论，它以粒子和波的二重性以及不确定性原理为基础，揭示了微观粒子行为的奇特性质。
本文将介绍量子力学的基础概念，包括波粒二象性、量子叠加态、测量和不确定性原理等。
一、波粒二象性在经典物理学中，粒子和波被视为相互排斥的概念。
然而，在量子力学中，微观粒子既可以表现出粒子特性（如位置和动量），又可以表现出波特性（如干涉和衍射）。
以光子为例，光子既可以被看作具有能量和动量的粒子，也可以被看作是具有波长和频率的电磁波。
这种波粒二象性在量子世界中普遍存在，对于其他微观粒子（如电子和中子）同样适用。
二、量子叠加态量子叠加态是量子力学中的一个重要概念。
它表示一个量子系统处于多个可能状态的叠加，并且在测量之前不存在确定的状态。
例如，一个电子可以同时处于自旋向上和自旋向下的叠加态，直到进行自旋测量时才会坍缩到一个确定的状态。
量子叠加态的存在使得量子计算和量子通信等领域具有了巨大的发展潜力。
通过灵活地利用量子叠加态，科学家们可以设计更高效的算法和更安全的通信协议。
三、测量在量子力学中，测量是一个关键的概念。
量子测量可以得到关于量子系统性质的信息，但也会导致量子态的坍缩。
测量结果是随机的，而且无法准确预测。
根据量子力学的统计解释，我们只能计算出测量结果出现的概率，并不能准确预测某个具体结果。
这与经典物理学的确定论观念有很大不同。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由海森堡提出。
它表明，在量子系统中，无法同时精确测量两个共轭变量，如位置和动量、能量和时间等。
不确定性原理的数学表达方式是：∆x∆p ≥ h/2，其中∆x表示位置的不确定度，∆p表示动量的不确定度，h是普朗克常数。
这意味着我们无法同时精确测量一个粒子的位置和动量，只能通过牺牲其中一个的精确度来获取另一个的信息。
不确定性原理的存在说明了量子力学的概率性质，也限制了人们对微观世界的观测和理解。
结论量子力学是揭示微观粒子行为的基本理论，其中涉及到许多奇妙的概念，如波粒二象性、量子叠加态、测量和不确定性原理等。
量子力学基础教程
量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。
第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。
为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。
这些思考最终导致了量子力学的诞生。
第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。
然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。
第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。
这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。
不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。
第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。
它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。
通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。
波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。
第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。
例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。
量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。
结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。
本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。
希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
23.03.2020
电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
23.03.2020
30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
量子力学
1 m 2 化为光电子的动能 2
h A mv
1 2
2 m
爱因斯坦光电效应方程
h A mv
1 2
讨论
2 m
爱因斯坦光电效应方程
• 光频率 > A/h 时，电子吸收一个光子即可克服逸
出功 A 逸出。
• 光电子最大初动能和光频率 成线性关系。
• 单位时间到达单位垂直面积的光子数为N，则光强 I =
MB
瑞利 — 金斯公式 (1900年)
维恩公式 (1896年)
试验曲线
维恩公式和瑞利-金斯公式都是用经 典物理学的方法来研究热辐射所得的结 果，都与实验结果不符，明显地暴露了 经典物理学的缺陷。黑体辐射实验是物 理学晴朗天空中一朵令人不安的乌云。
8.普朗克的内插公式
为了解决上述困难，普朗克利用内插法将适 用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利-金斯公 式衔接 起来，提出了一个新的公式：
P
L2
A
L1
B1
B2
B1PB2为分光系统 C为热电偶
C
A为黑体
测定黑体辐出度的实验简图
1. 斯特藩——玻耳兹曼定律
MB (10-7 × W / m2 · m)
M B (T ) M B (T )d T 4
0
10
6000K 可见光
式中
5.67 108 W m2 K 4
e0 ( , T )
2hc
2
5
e
kT
hc
1
式中的k为玻尔兹曼常数，c为光速，h为 普朗克常数。
这个工作在1900年12月14日完成的。
这一天，被称为量子力学的生日。
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识量子力学是物理学的一个分支，它旨在研究细小、基本的属性微观世界。
它是现代物理学的基础，也是其他学科的基础。
量子力学的基础知识主要包括波动粒子双重性、原子与多原子体的结构与能级、原子核的结构、分子的结构与条件引力、量子化中所运用的一些基本原理、量子热力学和量子力学应用。
首先，量子力学的最基本原理是波动粒子双重性。
根据普朗克定律，宇宙中所有物理实体都可以作为同时具有粒子和波动性质的双重性体来描述，即物质既具有粒子性质也具有波动性质。
粒子性质表现为它们可以被视为有形的小粒子，具有线性和有效质量。
而波动性质表现为它们可以被视为一种振幅，可以按照一定的波动模式移动。
紧接着，原子与多原子体的结构与能级是量子力学的另一个基本知识点。
原子与多原子体通常由多个电子组成，每个电子都在其单独的能量状态中运动。
它们的不同的能量状态由电子的总角动量和总角动量的分量来描述。
由于电子的角动量和角动量分量差异，不同的原子和分子会在不同的能量状态之间跃迁，从而产生一系列的光辐射，从而产生一系列的化学作用。
随后，原子核的结构是量子力学研究的另一个重要方面。
核子通常由多个中子和多个质子组成，这些中子和质子受到强大的内部核力的作用，由此产生了一个复杂的核子结构。
这种结构决定了原子核的稳定性，决定了其在环境中的变化，以及原子核可能会产生哪些核反应。
此外，分子的结构与条件引力也是量子力学的基本知识点之一。
分子由多个原子组成，这些原子之间存在着一种叫做条件引力的相互作用，这种作用使得它们可以形成分子结构。
对于一个给定的分子，它的结构由条件引力的强弱来确定，其稳定性也由当时的条件引力来决定。
条件引力也为分子谱研究提供了基础，通过研究条件引力的本质，可以计算出分子的振动能以及分子的吸收光谱。
另外，量子化中所使用的一些基本原理也是量子力学的基础知识。
量子化是描述微观系统的最基本和有效的方法之一，它将粒子和波动性质都考虑在内，并通过求解基本方程式来描述物理系统的行为。
量子力学：薛定谔方程
在汤姆逊电子衍射实验中， 在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。 现的电子数目多。 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 电子作为一个整体，只能在某处出现， 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 粒子性的表现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定， 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性的表现。 波动性的表现 就是它的波动性的表现。
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ 2m ∂t
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 式中： 式中： ∂x ∂y ∂z
称为拉普拉斯算符
二．薛定谔一般方程 当粒子处在势场中时， 当粒子处在势场中时，粒子的能量
p2 E= + U( t , x, y,z ) 2m
与上同样推导： 与上同样推导：
∂Ψ h2 2 ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
2
代入薛定锷方程
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
r r ∂f ( t ) ∂Ψ ( t , r ) =ψ ( r ) ∂t ∂t
r ∂ f(t ) r r h2 2 i hψ ( r ) f ( t )∇ ψ ( r ) + Uf ( t ) ψ ( r ) =− ∂t 2m 2m r 两边同除 ψ ( r ) f ( t )
第20章 薛定谔方程 20章
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201 光电效应中发射的光电子最大初动能随入射光频率n 的变化关系如图所示．由图 中的
(A) OQ .
(B) OP .
(C) OP/OQ .
(D) QS/OS .
可以直接求出普朗克常量． ［ C ］
mv2/2
I
I
U
U
O (A)
O (B)
I
I
n
O
QS
P
思考题 201 图
U
U
O (C)
O (D)
系属于红外区n~ = R( 1 - 1 ) ，所以，只有从 n =3 到 n =2 的跃迁发出的辐射是在可见光区 32 n2
的。从 n =3 到 n =1 的跃迁发出的辐射是在红外区，从 n =2 到 n =1 的跃迁发出的辐射是在
紫外区。
209 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与
思考题 202 图
答： E k
=
mv 2 2
= hν - A 所以，发射光子的最大初动能与入射光频率成正比，比例系数
为普朗克常量，即斜率。答案选 C
202 一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其光电流的曲线如图中实线所示．然 后在光强度不变的条件下增大照射光的频率，测出其光电流的曲线如图中虚线所示．满足题 意的图是哪个？ ［ D ］
一粒子位置的不确定量较大？哪一粒子的动量的
(b)
不确定量较大？为什么？ [ (a) ，(b) ]
答：由不确定关系：Dx·Dpx≥ h / 2 可知，Dx 大，Dpx 小，图（a）Dx 大，所以Dpx 最 小，确定粒子动量的精确度最高。
习题
x x
思考题 203 图
201 已知从铝金属逸出一个电子至少需要 A = 4.2 eV 的能量，若用可见光投射到铝的表面， 能否产生光电效应？为什么？(普朗克常量 h =6.63×10-34 J·s，基本电荷 e =1.60×10-19 C) [ 不能产生光电效应 ]
量 h =6.63×10-34 J·s) [ 1.06×10-24 N·s ]
解：电子的位置不确定量 Dy 为 a = 0.1 nm, 则由 DyDp y ³ h 可得：
Dp y
³
h Dy
=
2p
h ´ 0.1´10-9
=
6.63 ´ 10 -34 6.28 ´1N·s）
解：可见光的波长范围为 390nm760nm，波长为 380nm 时
Ek
=
hν -
A=
hc l
-
A=
6.63 ´10-34 ´ 3.0 ´108 390 ´10-9
- 4.2eV
<
0
显然，波长大于 390nm 时电子获得的初动能小于零，所以不可能产生光电效应。
202 波长为l的单色光照射某金属 M 表面发生光电效应，发
EK= 1.0 eV，求能使该金属产生光电效应的单色光的最大波长是多少？ [ 612 nm ]
解：光电效应方程
hν = A + 1 mv 2 2
以波长l = 410 nm (1 nm = 109 m)的单色光照射某一金属，产生的光电子的最大动能 EK= 1.0
eV，故可知该金属的 A = hν 1 mv2 = h c 1 mv 2
hc l
-
A
Ek = eVa
Va
=
Ek e
已知l = 4910 Å 的入射光，其发射光电子的遏止电压为 0.71 V，由此可得其逸出功为
A
=
hc l
-
Ek
=
hc l
- eVa
=
6.63 ´10-34 ´ 3.0 ´108 4910 ´10-10
- 1.6 ´10-19
´ 0.71 =
2.91 ´ 10 -19
l 2m
2m
习题 202 图
解：电子在该磁场中作圆运动的最大半径为 R，可知其入射速度为
R = mv eB
\ v = Re B m
A=
hν
-
Ek
=
hc l
-
1 2
mv 2
==
hc l
-
(eRB ) 2 2m
遏止电势差U a
=
Ek e
=
mv2 / 2 = e
R 2 eB 2 2m
203 以波长l = 410 nm (1 nm = 109 m)的单色光照射某一金属，产生的光电子的最大动能
(电子质量 me=9.11×10-31 kg，1 eV =1.60×10-19 J, 普朗克常量 h =6.63×10-34 J·s) [ Dp / p =0.062＝6.2％ ]
解：1 keV 的电子，其动量为 p = (2mE k )1/ 2 = 1.71 ´ 10 -23 kg · m · s -1
0
λ = 9.497 ´ 10 -7 m = 949 A 208 被激发到 n =3 的状态的氢原子气体发出的辐射中，有几条可见光谱线和几条非可见
光谱线．[ 1，2 ]
解：赖曼系为紫外区n~ = R( 1 - 1 ) ，巴耳末系属于可见光区n~ = R( 1 - 1 ) ，帕邢
12 n 2
22 n2
长是多少
o
A
？
[
10；955
]
解：氢原子光谱n~ = R( 1 - 1 ) 其中 m 取 1,2,3,4，n 取大于 m 但是小于 5 的值即可， m2 n2
得到的光谱最多有 10 条。
波长：
l
=
1 ~ν
=
m2n2 R(n 2 - m 2
)
所以，n 取 5，m 取 1 时波长最短
R=1.0967758×107 m1
³
h 可得： Dx
³
h Dp
=
250cm 。
（注意：此题把不确定关系式
Dpx
Dx
³
h
改为
Dpx Dx
³
h
，否则答案就是
250 2p
cm）
2011 同时测量能量为 1 keV 作一维运动的电子的位置与动量时，若 Dp × Dx ³ h ，位置的
不确定值在 0.1 nm (1 nm = 10-9 m)内，则动量的不确定值的百分比Dp / p 至少为何值？
答：截止电压 U（曲线与 U 轴的交点的值）随频率的增加而线性增加。由 I = nhn ，n
为光子数密度，光的频率越高，光子数密度变小，一个电子只能俘获一个光子，所以打出的 电子数目变少，饱和电流变小，综合这两点，答案选 D
203 粒子(a)、(b)的波函数分别如图所示，
(a)
若用位置和动量描述它们的运动状态，两者中哪
2
l2
= 4.85 ´ 10-19 1.6 ´ 1019 = 3.25 ´ 10-19
能使该金属产生光电效应的最大波长对应光照射到金属上，产生光电子的动能为零时的波长
hν = A = 3.25 ´10-19
h c = 3.25 ´10-19 l
l
c = h 3.25 ´10 -19
= 612 ´10 -9
当其遏止电压变为 1.43V 时，入射光的波长为：
hc l
=
A
+
eV a
=
2.91 ´ 10 -19
+ 1.6 ´10-19
´1.43 =
5.198 ´10-19
l=
hc
0
= 3.82 ´10-7 = 3820 A
5.198 ´10-19
205 令 lc = h /(mec) (称为电子的康普顿波长，其中 me 为电子静止质量，c 为真空中光速，
它的德布罗意波长的关系．(不确定关系式 Dpx Dx ³ h ). [ Dx ≥ l ]
解：由 Dp × Dx ³ h ，即 Dp ³ h ，根据题意 Dp = mv ，以及德布罗意波公式 l = h / mv Dx
得：mv ³ h \ Dx ³ h
Dx
mv
Dx ³ l （注意：此题把不确定关系式 Dpx Dx ³ h 改为
根据不确定关系 Dp × Dx ³ h ，得： Dp ³ h / Dx = 0.106 ´ 10-23 kg · m · s -1
\ Dp / p = 0.062 = 6.2%
2012 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝
面上，根据 DyDp y ³ h 可知衍射的电子横向动量的最小不确定量Dpy 是多少？ (普朗克常
h 为普朗克常量)．当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是康普顿波长的
lc 的多少倍？． [ 1/ 3 ]
解：由题意 Ek = mc2－m0c2 = m0c2，m0 = me
由P=1 c
Ek 2
+
2Ek m0c2
，l
=
h P
=
1 3
lc
206 在氢原子光谱中，赖曼系的最大波长的谱线所对应的光子的能量是多少电子伏？ [ 10.2eV ]
= 612nm
204 某光电管阴极, 对于l = 4910 Å 的入射光，其发射光电子的遏止电压为 0.71 V．当入
射光的波长为多少 Å 时，其遏止电压变为 1.43 V． ( e =1.60×10-19 C，h =6.63×10-34 J·s )
[ 3.82×103 ]
解：
Ek
= hν - A =
解：赖曼系
n~ = R( 1
-
1 )
12 n 2
取 n=2 有
λ max
=