与三角形有关的角

第２讲与三角形有关得角

一、知识重点

1.三角形内角与定理

(1)定理:三角形三个内角得与等于180°。

(2)证明方法:

(3)理解与延伸:

因为三角形内角与为１80°,所以延伸出三角形中很多得角得特定关系如:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角;②一个三角形中最少有一个角不小于6０°;③直角三角形两锐角互余;④等边三角形每个角都就是60°等.

(4)作用:已知两角求第三角或已知三角关系求角得度数、

谈重点三角形内角与定理得理解三角形内角与定理就是最重要得定理之一,就是求角得度数问题中最基础得定理,应用非常广泛.

【例1】填空:

(1)在△ABC中,若∠A=８0°,∠Ｃ=２０°,则∠B=_＿＿＿＿__＿_＿°;

(2)若∠A=８０°,∠B=∠C,则∠C=＿________＿°;

(3)已知△ABＣ得三个内角得度数之比∠Ａ∶∠B∶∠C＝２∶3∶5,则∠B=____＿____＿°,∠C=___＿＿_＿___°。

2、直角三角形得性质与判定

(１)直角三角形得性质:直角三角形得两个锐角互余、

如图所示,在Rt△ABＣ中,如果∠C=９０°,那么∠A＋∠B＝90°、

【例2—1】将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,则∠β得度数就是().

A.43°ﻩＢ.4７°ﻩﻩC。30°ﻩＤ、60°

。

答案:B

(2)直角三角形得判定:有两个角互余得三角形就是直角三角形.

如图所示,在△ＡBC中,如果∠A+∠B＝90°,那么∠C＝90°,即△AＢC就是直角三角形.

【例2－2】如图所示,AB∥ＣD,直线EF分别交AB,CD于点E,Ｆ,∠BＥＦ得平分线与∠ＤFE得平分线相交于点P,求证:△EＰF就是直角三角形、

。

3.三角形得外角

(１)定义:三角形得一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外角.如图,∠ＡCＤ就就是△ABC其中得一个外角.

(2)特点:①三角形得一个外角与与它同顶点得内角互为邻补角,这就是内、外角联系得纽带、

②一个三角形有６个外角,其中两两互为对顶角,如图所示.

破疑点三角形外角得理解外角就是相对于内角而言得,也就是三角形中重要得角,一个角对一个三角形来说就是外角,而对于另一个三角形来说可能就是内角;三角形得角就是指得三角形得内角,这点要注意.

【例3】在△ＡＢC中,∠A等于与它相邻得外角得四分之一,这个外角等于∠B得两倍,那么∠Ａ=____＿＿_＿__,∠B＝_______＿＿_,∠C＝__＿_＿_＿___、

４、三角形外角性质

(1)性质:三角形得外角等于与它不相邻得两个内角得与.如图所示:∠1＝∠Ｂ+∠C(或∠Ｂ＝∠1－∠C,∠C＝∠1—∠Ｂ)、

注意:三角形得外角与不就是所有外角得与,就是每个顶点处取一个外角,就是一半数目外角得与。

(2)作用:①求角得度数,在外角、不相邻得两内角中知道两角能求第三角,也能求出相邻内角得度数;

②证明角相等,一般就是把外角作为中间关系式证明角相等.

析规律三角形外角得性质得理解①三角形得一个外角等于与它不相邻得两内角与,就是由三角形内角与就是180°与邻补角关系推导出来得,就是它们应用得延伸,所以用这个性质能得出得结论,用三角形内角与也能推出,但走了弯路.②因为三角形外角就是通过图表现出来得,具有隐蔽性,所以应用时要注意观察图形.

【例4】如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1＋∠2＝_＿___＿__＿＿。

5.三角形外角与

(1)定义(规定):如图所示,在每一个顶点上取一个外角,如∠1,∠２,∠3,它们得与叫做三角形得外角与。

(2)三角形外角与定理:三角形得外角与等于360°。

注意:三角形得外角与不就是所有外角得与,就是每个顶点处取一个外角,就是一半数目外角得与.

【例5】如图所示、用两种方法说明∠１+∠2+∠3＝３６0°。

点评:同一顶点上得内、外角互为邻补角就是内、外角关系转换得最基础得依据。

６、三角形内角与定理应用

三角形内角与定理就是三角形中最重要得定理之一,就是三角形中关于角度计算得基础,也就是其她多边形求角度数问题必备得基础知识,目前它得应用方式主要表现在以下几个方面:

(1)已知两角求第三角

这就是内角与定理最简单、直接得应用,一般就是直接或间接给出三个内角中得两角,求第三角,比较简单,直接用18０°减去两角度数得出,往往与考查角得单位换算相联系.

(2)已知三角得比例关系求各角

这类题目一般给出三个角得比例关系,通过设未知数列方程得方法求解,一般就是设每一份为x度,用含未知数得式子分别表示出每一个角得度数,根据它们得与就是１80°列方程求解,然后再求出每一个角得度数.有时就是通过求角得度数判断三角形得形状,但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形得形状。

(３)已知三角之间相互关系求未知角

这类题目一般就是已知各角之间得与、差、倍、分等得数量关系,通过等式变形,用一共同得角表示其她两角,然后根据内角与就是18０°列出等式,求出其中一角,然后再根据它们之间得数量关系分别求出另两角,有时也可以列方程(组)求角得度数、

解技巧利用三角形内角与求三角形得内角运用三角形内角与定理求角得度数题目形式多样,方法也不同,要根据实际灵活运用。

7、三角形外角性质得应用

外角性质应用:三角形外角性质就是三角形角度计算中得重要定理,也就是求角度运算中常用得定理.如图所示,∠1就是△ＡＢC得一个外角,在∠1,∠B,∠C三个角中,知道任意两个角就可以求出第三个角.

①∠1＝∠Ｂ+∠C;

②∠B=∠1－∠C;

③∠C＝∠1－∠B、