勒让德多项式-6

——勒让德方程 勒让德方程
二、勒让德方程的求解
d2 Ρ dΡ (1 − x ) − 2x + n( n + 1) Ρ = 0 2 dx dx
2
将上式中的未知函数 P 记成 y ,则勒让德方程变为 则勒让德方程变为
d2 y dy 2 (1 − x ) − 2x + n( n + 1) y = 0 2 dx dx
n 为偶数
( −1) Qn ( x ) =
n +1 2 n −1 n − 1 2 ( )! 2 n ( n + 1) 2 n ( n − 2)( n + 1)( n + 3) 4 ⋅ 1− x + x − ⋯ , n! 2! 4! 2
n 为奇数 是偶数还是奇数, 对于 x ≥ 1 , 则无论 n 是偶数还是奇数 都有
其中, n 为任意实数 实际应用中多为整数 如同求贝塞尔方程的解一样 设其 实际应用中多为整数). 其中 为任意实数(实际应用中多为整数 如同求贝塞尔方程的解一样,设其 形式解为
y = x (a0 + a1 x + a 2 x + ⋯ + a n x + ⋯) = ∑ a k x k + c ,
c 2 n k =0
将上式第一项的导数计算出来， 将上式第一项的导数计算出来，并化简得
d 2Θ dΘ m2 + cot θ n( n + 1) − Θ = 0 2 2 dθ dθ sin θ
作变量代换
x = cos θ
Ρ ( x ) = Θ(θ )
( −1 ≤ x ≤ 1)
缔合(连带 勒让德方程 缔合 连带)勒让德方程 连带
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有 当 分别有
P0 ( x ) = 1 P1 ( x ) = x = cos θ P2 ( x ) = 1 ( 3 x 2 − 1) = 1 ( 3 cos 2θ + 1) 2 4 P3 ( x ) = 1 (5 x 3 − 3 x ) = 1 (5 cos 3θ + 3 cos θ ) 2 8 P4 ( x ) = 1 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3) = 8
上式则变化为
d2 Ρ dΡ m2 (1 − x ) − 2x + n( n + 1) − Ρ=0 2 2 dx dx 1− x
2
若 u( r , θ , ϕ ) 与 ϕ 无关 ，这时可简化成
d2 Ρ dΡ (1 − x 2 ) − 2x + n( n + 1) Ρ = 0 2 dx dx
1 m 2 n
n=k.
利用这些关系 , 我们可以把函数 f ( x ) 展开成级数
f ( x ) = ∑ Ak
k =0
∞
P
mБайду номын сангаасn
( x) .
古人云： 供人以鱼，只解一餐； 授人一渔，终身受用。
——与全体同学共勉， 与全体同学共勉， 与全体同学共勉 并预祝大家考试顺利。 并预祝大家考试顺利。
∞
称为勒让德多项式的生成函数 , 它在导出勒让德多项式的诸多性质时很有用 .
四、勒让德函数的递推公式
2n + 1 n (1) Ρn+ 1 ( x ) = x Ρn ( x ) − Ρn−1 ( x ) n+1 n+1 ( n ≥ 1).
′ ′ ( 2) Ρn+ 1 ( x ) − Ρn −1 ( x ) = ( 2n + 1) Ρn ( x )
∞
a0 ≠ 0 .
其中, 其中 常数 来确定。 来确定。
c和
a k ( k = 0,1,2 ⋯) 可以通过把 y 和它的导数 y ′ 、 y ′′ 代入上式
勒让德方程的解——勒让德多项式 勒让德多项式 勒让德方程的解
在球坐标系下,对拉普拉斯和亥姆霍兹方程分离变量 在球坐标系下 对拉普拉斯和亥姆霍兹方程分离变量, 且当研究的问题 对拉普拉斯和亥姆霍兹方程分离变量 以 极轴为对称时 ,将得到 n 阶勒让德方程 将得到
′ ′ ′ ( 3) Ρn+ 1 ( x ) − 2 xΡn ( x ) + Ρn −1 ( x ) = Ρn ( x ) .
五、第二类勒让德函数
若
x ≤1
n 2
, 相应于 n 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下:
2
n ( −1) 2 n ( )! 2 ⋅ x − ( n + 1)( n + 2) x 3 + ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) x 5 − ⋯ , Qn ( x ) = n! 3! 5!
1
−1
∫Ρ
1
m
( x ) Ρn ( x ) d x = 0 ,
m≠n
2 ∫1Ρn ( x ) d x = 2n + 1 , −
2
m=n.
第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 - 1< x < 1 上正交 .
七、勒让德多项式级数
若 f (x) 满足狄利克雷条件 , 则 f (x) 在区间 – 1 < x < 1 的每一个连续点处 , 存在一个勒让德级数展开式 , 形如
f ( x ) = A0 P0 ( x ) + A1 P1 ( x ) + A2 P2 ( x ) + ⋯ + ∑ Ak Pk ( x ) ,
k =0
∞
其中
2k + 1 Ak = ∫1 f ( x ) Pk ( x ) d x . 2 −
1
在任一间断点 , 第一式右边的级数收敛于 代替 f ( x ) .
2 n ( n + k ) ! ( n + 2k ) ! − n − 2 k −1 Qn ( x ) = ∑ x k ! ( 2n + 2k + 1) ! k =0
∞
.
Ρn ( x ) 的递推公式 同样适合于 Qn ( x ) 的递推公式,
.
六、勒让德多项式的正交性
下列结果是基本的: 下列结果是基本的
d2 Ρ dΡ (1 − x 2 ) − 2x + n( n + 1) Ρ = 0 2 dx dx
当 n 为整数时, 满足在 x = ±1 处有界的解为多项式 为整数时
−1< x < 1
( −1) m ( 2n − 2m )! x n− 2 m , Ρn ( x ) = ∑ n m = 0 2 ⋅ m ! ( n − m )! ( n − 2 m )!
对应的图形: 对应的图形
Ρn ( x)
1 64
( 35 cos 4θ + 20 cos 2θ + 9)
x
在所有情况下, 在所有情况下 都有 Ρn (1) = 1 , Ρn ( −1) = ( −1) n .
三、勒让德多项式的生成函数
函数
1 1− 2x t + t2
= ∑ Ρn ( x ) t n
n= 0
得到
R( r ) = A1 r n + A2 r − ( n +1)
Φ(ϕ ) = B1 cos m ϕ + B2 sin m ϕ
1 d dΘ m2 (sin θ )− Θ + n( n + 1)Θ = 0 2 sin θ d θ dθ sin θ
1 d dΘ m2 (sin θ )− Θ + n( n + 1)Θ = 0 2 sin θ d θ dθ sin θ
m 2
m 2
注意到若
m > n , P n ( x) = 0 .
m
如同勒让德多项式一样 , 连带勒让德函数 是正交的 , 即
P
m n
( x)
在 − 1 < x < 1 上也
−1
∫ P n ( x) P k ( x) d x = 0 ,
m m
1
n≠k,
−1
m )! [P ] d x = 2n2+ 1 ((n + m)! , ∫ n−
1 [ f ( x + 0 ) + ( f ( x − 0 )] . 2
即可以来
缔合)勒让德函数 八、连带(缔合 勒让德函数 连带 缔合
微分方程
m2 (1 − x 2 ) y′′ − 2 x y′ + n ( n + 1) − y=0 2 1− x
称为连带勒让德微分方程 . 若 m = 0 , 就简化为勒让德方程 . 上式的解称为 连带勒让德函数 . 我们考虑 m 和 n 是非负整数的情况 , 这时上式的通解为
y = c1 P n ( x ) + c 2 Q ( x )
m n
m
这里的 P n ( x ) 和
m
Q
m n
( x)
分别称为第一类和第二类连带勒让德函数 . 它们可
以用通常的勒让德函数给出 , 为
dm P n ( x ) = (1 − x ) d x m Pn ( x ) ,
m 2 m 2
dm Q n ( x ) = (1 − x ) d x m Qn ( x ) .
数学物理方法 勒让德多项式
( Legendre Multinomail )
一、勒让德方程的导出
在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程时以
u( r ,θ , ϕ ) = R( r ) Θ(θ ) Φ(ϕ )
代入
1 ∂ 2 ∂u 1 1 ∂ ∂u ∂ 2u (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 =0 r2 ∂ r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ 2 ∂r ∂θ
M
−1< x < 1
其中, 其中
n 2, M = n−1 , 2
n 为偶数 n 为奇数
或
1 dn ( x 2 − 1) n . Ρn ( x ) = n 2 n! d x n
称 Ρn ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式 表达式 罗巨格